2018版高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1.2 指数函数学案 新人教B版必修1

1、31.2指数函数1理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点)2能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点)基础初探教材整理1指数函数的定义阅读教材P90P91“第12行”以上内容，完成下列问题指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是指数函数()(2)函数y2x1是指数函数()(3)函数y(2)x是指数函数()【解析】(1).因为指数幂2x的系数为1，所以函数y2x不是指数函数(2).因为指数不是x，所以函数y2x1不是指数函数(

2、3).因为底数小于0，所以函数y(2)x不是指数函数【答案】(1)(2)(3)教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材P91P92，完成下列问题a10a1图象a10a1性质定义域R值域(0，)过定点(0,1)，即当x0时，y1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方()(2)当a1时，对于任意xR，总有ax1.()(3)函数f(x)2x在R上是增函数()【解析】(1).因为指数函数的值域是(0，)，所以指数函数的图象一定在x轴的上方(2).当x0时，ax1.(3).因为f(x)2x，所以函数f(x)2x在R上是减函

3、数【答案】(1)(2)(3)小组合作型指数函数的概念(1)下列一定是指数函数的是()AyaxByxa(a0且a1)CyDy(a2)ax(2)函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3 Ba1Ca3 Da0且a1【精彩点拨】根据指数函数的定义判断、求解【自主解答】(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中yxa(a0且a1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y显然是指数函数；D中只有a21即a3时为指数函数(2)由指数函数定义知所以解得a3.【答案】(1)C(2)C1指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2

4、)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1；(4)指数函数不会是多项式，如yax1(a0且a1)不是指数函数2求指数函数的解析式常用待定系数法再练一题1(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(x)_.(2)已知函数f(x)(2a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_. 【导学号：】【解析】(1)由题意设f(x)ax(a0且a1)，则f(2)a29，又因为a0，所以a3，所以f(x)3x.(2)由题意可知解得a且a1，所以实数a的取值范围是(1，)【答案】(1)3x(2)(1，)指数函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域： 【导学号：】(1)y；(2)y；

5、(3)y4x2x12.【精彩点拨】【自主解答】(1)要使函数式有意义，则13x0，即3x130，因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0因为x0，所以03x1，所以013x0，所以4x2x12(2x)222x2(2x1)21112，即函数y4x2x12的值域为(2，)1求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是yax型还是yaf(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)2函数yaf(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令tf(x)；(2)求tf(x)的定义域xD；(3)求tf(x)的值域t

6、M；(4)利用yat的单调性求yat，tM的值域3求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数函数的单调性再练一题2求下列函数的定义域和值域【解】(1)函数的定义域为x|xR且x3令t，则t0，y2t0且2t1，故函数的值域为y|y0且y1(2)函数的定义域为R，令t2xx2，则t(x1)211，探究共研型指数函数的图象探究1指数函数yax(a0且a1)的图象过哪一定点？函数f(x)ax12(a0且a1)的图象又过哪一定点呢？【提示】法一(平移法)yax过定点(0,1)，将函数yax向右平移1个单位

7、，再向上平移2个单位得到yax12，此时函数yax图象过定点(1,3)法二(解方程法)指数函数yax(a0且a1)的图象过定点(0,1)；在f(x)ax12中令x10，即x1，则f(x)3，所以函数f(x)ax12(a0且a1)的图象过定点(1,3)探究2指数函数yax(a0且a1)的图象可能在第三或四象限吗？为什么？【提示】不可能因为指数函数yax(a0且a1)的定义域是(，)，值域是(0，)，这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限探究3从左向右，指数函数yax(a0且a1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？【提示】当0a0且a1)的图象从左向右呈下降趋势；当a1时，指数

8、函数yax(a0且a1)的图象从左向右呈上升趋势指数函数的图象下凸(1)在同一坐标系中画出函数yax，yxa的图象，可能正确的是()(2)函数ya|x|(0a1)的图象是()【精彩点拨】(1)分a1和0a1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性，单调性和函数的最值，以及函数的凹凸性即可判断【自主解答】(1)a为直线yxa在y轴上的截距，对应函数yxa单调递增，又当a1时，函数yax单调递增，当0a1时，函数yax单调递减，A中，从图象上看，yax的a满足a1，而直线yxa的截距a1，不符合以上两条；B中，从图象上看，yax的a满足0a1，而直线yxa的截距a1，不符合以上两条

9、；C中，从图象上看，yax的a满足a1，而函数yxa单调递减，不符合以上两条，只有选项D的图象符合以上两条，故选D.(2)ya|x|，易知函数为偶函数，0a1，1，故当x0时，函数为增函数，当x0时，函数为减函数，当x0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.【答案】(1)D(2)A1可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题2要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点3指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小(2

10、)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大这一性质可通过x取1时函数值的大小关系去理解，如图311所示的指数函数的底数的大小关系为0dc1ba.图311再练一题3定义一种运算：gh已知函数f(x)2x1，那么函数yf(x1)的大致图象是()【解析】f(x)f(x1)其图象为B，故选B.【答案】B1若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)()A()xB2xC. D. 【解析】由题意，设f(x)ax(a0且a1)，则由f(2)a22，得a，所以f(x)()x.【答案】A2当x2,2)时，y3x1的值域是() 【导学号：】A. B.C. D.【解析】y3x1，x2,2)是减函数，321y321，即0且a1)的图象恒过定点P(m,2)，则mn_.【解析】令2x40，即x2，f(x)1n.mn3.【答案】35已知f(x)9x23x4，x1,2(1)设t3x，x1,2