2018版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（一）学案 新人教B版必修5

1、23.2等比数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?梳理设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得Sna1a1qa1q2a1qn1.则qSna1qa1q2a1qn1a1qn.由得(1q)Sna1a1qn.当q1时，Sn.当q1时，由于a1a2an，所以Snna1.结合通项公式可得等比数列前n项和公式：S

2、n知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a127，a9，q，用哪个公式比较合适？梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q1的情况；(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn，知道其中任意三个，可求其余两个类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1根据题干中的条件，求相应的等比数列an的前n项和Sn.(1)a13，q2，n6；(2)a18，q，an.反思与感

3、悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.命题角度2通项公式与前n项和公式的综合应用例2在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.反思与感悟(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用Sn比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn比较方便跟踪训练2在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.类型二等

4、比数列前n项和的实际应用例3借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？1等比数列1，x

5、，x2，x3，的前n项和Sn等于()A. B.C. D.2设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4 C. D.3等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是()A179 B211 C243 D2754某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，b

6、n是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和答案精析问题导学知识点一思考比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S642641.知识点二思考(1)用Sn.(2)用Sn.题型探究类型一命题角度1例1解(1)a13，q2，n6，Sn189.(2)a18，q，an，Sn.跟踪训练122n12命题角度2例2解方法一由题意知解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN.方法二若q1，则S3S232，而事实上，S3S2316，故q1.所以两式作比，得，解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN.跟踪训练2解由题意，得若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1

7、，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.类型二例3解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因为1.0161.061，所以a1 739(元)故每月应支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)61041.016(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a1 739(元)故每月应支付1 739元跟踪训练3解用an表示热气球在第n分