2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案

1、4.1任意角、弧制及任意角的三角函数最新的试验纲思情思向分析1 .理解任意角的概念和电弧制的概念2 .弧度和角度可以相互化3 .了解任意三角函数(正弦、侑弦、正切)的定义了解任意角三角函数的概念，以能进行弧度与角度的相互化和扇形弧长、面积的修正为主，始终结合向量、三角恒等的变换来查找三角函数定义的应用以及三角函数的简化和评估，从而查找分类讨论思想和数形结合思想的应用意识1 .角的概念(1)任意角：定义：角可以看作是平面内的一个放射性射线从端点周围的位置向另一个位置旋转的图形分类：角根据旋转方向分为正角、负角和零角(2)拥有与角的末边相同的所有角，包含角而构成的角的集合为S=|=k360 ，kZ

2、。(3)象限角：角的顶点和原点重合，角的起始边和x轴的非负的轴重合，角的终边在第几个象限，如果该角是第几个象限角的角的终点在坐标轴上，则认为该角不属于任何象限2 .电弧制(1)定义：长度等于半径长度的弧成对的圆心角称为1弧的角，用符号rad表示，读为弧。 正的角弧数为正数，负的角弧数为负数，零的角弧数为0。(2)角度控制与电弧控制的相互化： 180= rad、1=rad、1 rad=。(3)扇形的弧长公式： l=|r，扇形的面积公式： S=lr=|r2。3 .任意角的三角函数任意角的终端与单位圆和点P(x，y )相交时，成为sin =y、cos =x、tan =(x0 )。三角函数的性质如下表

3、所示三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号符号第四象限氮化合物r-核糖核酸r-三聚氰胺k、k-z-4 .三角函数线如下图所示，假设角的末边和单位圆相交于点p，p为PMx轴，脚为m，a (1，0 )为单位圆的切线与的末边或末边的倒延长线相交于点t。三角函数线有向线段MP是正弦线。 有向线段OM是侑弦线，有向线段AT为正切线知识广博1 .三角函数值的编码规则三角函数值各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四侑弦2 .任意角三角函数的定义(展开)如果将P(x，y )设为在角的末边与顶点不同的任意点，将到原点o的距离设为r，则成为sin =、cos =、tan =(x0 )。问题小组思考

4、分析1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也是锐角(2)角的三角函数值与其终端上的点p的位置无关。(3)不相等的角的终端必定不同。(4)是第一象限角，sin cos 1.()问题小组2教材的改编2.P10A群T7角- 225=_ _ _ _ _ _ _弧度，该角位于第_ _ _ _ _ _ _象限中。答案-23 .假设角的末端通过点P(4，-3)，则2cos -sin =_ .答案分析是从已知结合的三角函数的定义得到sin =-、cos =，所以2cos -sin =2-=。4.P10A组T6根弦的长度等于半径，该弦成对的圆心角的大小为_弧

5、度。答案问题组3容易出错5.(2018秦皇岛模拟)在与下一条终边相同的角公式中正确的是()阿尔伯特尼古拉斯凯特C.k360-315(kZ) D.k (kZ )答案c分析可以把和的末边相同的角写成2k (kZ )，但角度制和弧制不能混合，所以只有答案c是正确的6 .集合中的角所表示的范围(阴影部分)为()答案c分析在k=2n(nZ )时，2n 2n，此时由表示的范围与由表示的范围相同。 在k=2n 1 (nZ )时，为2 n2 n，此时表示的范围与 表示的范围相同，因此选择c。7 .如果已知角(-0 )的最后一条边与单位圆之间的升交点的横坐标是，则sin=_ _ _ _ _ _ _ _ .回答-

6、解析由题意得到，角的终边和单位圆的升交点的坐标是，sin =-。8.(2018济宁模拟)函数y=的关定义域字是：答案(k-z )解析2 cos x-1，是cos x。用三角函数的线描绘x满足条件的终边范围(图中用阴影线部分表示)x-(k-z )。问题型一角及其表示设集合M=，N=的话()A.M=N B.MNc.NMD.m-n=答案b分析在m中，x=180-45=k 90-45=(2k1) 45，2 k 1是奇数。 另一方面，在n中，x=180-45=(k-1 ) 45，k 1为整数，因此mn是必要的，因此选择b。2 .角是第二象限角()a .第一象限角b .第二象限角c .第一或第三视角d .

7、第二或第四视角答案c分析-是第二象限角日语： 2k 2k，k-z，kk，k-z。当k是双位数时，是第一象限角当k是奇数时，是第三象限角是第一或第三个象限角3.(2018宁夏质量检验)终端边在直线y=x上，-2，2内的角的集合为答案如解析图那样，在坐标系上描绘直线y=x时，与x轴所成的角在 0，2内，末边的直线y=x上的角为2个：；在-2，0内满足条件的角有-、-两个，所以由满足条件的角构成的集合是。思考热升华(1)利用与终端边相同的角的集合，可以求出符合某个条件的角。 先写出与该角的终端边相同的所有角的集合，然后通过给集合中的残奥仪表k赋予值来求出必要的角。(2)决定k，(kN* )的终端位置

8、的方法在导出k或的范围之后，基于k的可能值来确定k或的末尾位置问题型2电弧制已知扇形的周长为4 cm，扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数为()A.2 B.1 C. D.3答案a设解析扇形的半径为r，则弧长l=4-2R，扇形面积S=lR=R(2-R )=-R2 2R=-(R-1)2 1，R=1时，s为最大，这时l=2，扇形的圆心角为2弧度。(2)如果圆弧的长度等于此圆内接正方形的边的长度，则其圆心角的弧度数为答案设解析圆半径为r，则圆内接正方形的对折角线长度为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数为=。用思维热升华电弧制解决问题的方法(1)用扇形的弧长和面积公式求解时，留心角的单位必须为弧度(2

9、)求扇形面积最大值的问题总是变换为二次函数的最大值问题(3)为了解决弧长问题和扇形面积问题，合理利用有圆心角的三角形跟踪训练(1)(2018湖北七校联合试验)如果圆弧长度等于圆内切正三角形边长，则其圆心角弧度数为()甲骨文。三维空间。答案d如解析图所示，如果全等三角形ABC是半径r的圆o的内接三角形，则线段AB相对的圆心角AOB=、作为OMAB，垂下脚的是m，在RtAOM中，AO=r，AOM=、am=r，AB=r，l=r，从弧长公式得到=。(2)圆o与直线l相接的点a、点p、q从a点向云同步出发，p沿直线l向右，q沿圆周逆时针方向以相同速度运动，q向点a运动时，点p也停止运动，连接OQ、OP

10、(图)时，阴影部分面积S1、S2的答案S1=S2分析是将运动速度设为m，将运动时间设为t，将圆o的半径设为r，于是=AP=tm，从切线的性质可知OAAP，S1=tmr-S扇形AOB，S2=tmr-S扇形AOB，S1=S2始终成立。问题型三角函数的概念及应用命题点1三角函数定义的应用典型例(1)(2018山东重点中学模拟)知道角的终点通过点P(-8m，-6sin 30 )，如果cos =-的话，则m的值为()A.- BC.- D答案b分析r=、cos =-，m 0，m=，即m=。(2)设为第三象限角，且=-cos时()a .第一象限角b .第二象限角c .第三象限角d .第四象限角答案b分析是以

11、第三视角已知的第二或第四视角cos，cos 0，cos 0，正如综合所知，是第二个象限角命题点2三角函数线的应用例示函数y=lg(2sin x-1 )的定义域是。答案(k-z )分析是为了使原函数有意义即，如图所示，当制作与单位圆对应的三角函数线时，从图中可以看出，原来的函数的定义域(k-z )。如果已知角末端的点p的坐标可以通过使用思考热升华(1)三角函数的定义来获得的三角函数值，则也可以获得点p的坐标.(2)利用三角函数线求解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数周期性写出角的范围如果跟踪训练(1)(2017经南模拟)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的末端在()a .第一象限

12、b .第二象限c .第三象限d .四象限答案b分析tan 0，cos 0，在第二象限(2)(2017石家庄模拟)若-，从单位圆中的三角函数线看到的sin ，cos ，tan 的大小是()A.sin 0，解为m=3。4.(2018广州品质检查)点p的坐标为(2，0 )，在放射性射线OP顺时针旋转了2 010圈之后，当圆x2 y2=4与点q相交时，点q的坐标为()A.(-，) B.(-，1 )C.(-1，) D.(1，- )答案b分析从题意来看是Q(2cos(-2 010 )，2sin(-2 010 ) )，即Q(-，1 )。5 .已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数为4，扇形的周长为()A.2 B.4 C.6 D.8答案c设解析扇形的半径为r，则4R2=2R=1，弧长l=4，扇形的周长为l 2R=6。已知，为第二象限的角，其结束点为P(x，)，若cos =x，则tan 为()甲骨文。C.- D.-答案d分析=x且位于第2象限，x=-，tan =-。7.(2017怀化模拟) sin 2cos 3tan 4的值()小于a.0b大于. 0c .等于0 D .不存在答案a分析sin 20、cos 30、tan 40，三合二cos 3坦40。8 .给出以下命题第二象限角大于第一象限角三角形的内角为第一象限角或第二象