2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算学案理北师大版

1、3.1衍生工具的概念和操作最新教学大纲测试情况和测试方向分析1.理解导数概念的实际背景。2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。3.根据导数的定义，函数y=c(c (c是常数)，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数。4.基本初等函数的导数公式和导数的四个算术规则可以用来求简单函数的导数，以及简单复合函数的导数(限于f (ax b)的复合函数)。导数的概念和运算是高考必不可少的内容，普遍渗透到导数的应用中；导数的几何意义经常与解析几何中的直线相交；问题类型是选择题或答案的第一个问题，难度较低。1.导数和导数函数的概念(1)当x1趋向于x0时，也就是说， x趋向于0，如果平均变化率趋向于

2、固定值，那么这个值就是函数y=f (x)在x0的瞬时变化率。在数学中，瞬时变化率称为函数y=f (x)在x0处的导数，它通常用符号f(x0)表示，并记录为f(x0)(2)如果函数f(x)在区间(a，b)中的每个点x都有导数，则导数的值表示为f(x):f(x)=，那么f(x)是关于x的函数，并且f(x)被称为f(x)的导数函数。2.导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k=f(x0)。3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导数F (x)=c (c是常数)f(x)=0F (x)=x (是实数)f(x)=x-1f(x

3、)=sin xf(x)=cos xf(x)=cos xf(x)=-sin xf(x)=exf(x)=exf(x)=ax(a0，a1)f(x)=axln af(x)=ln xf(x)=f(x)=logax(a0，a1)f(x)=4.导数算法如果f(x)和g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)=f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)(3)=(g(x)0)。5.复合函数的导数一般来说，对于两个函数y=f (u)和u= (x)=ax b，给定x的值，得到y=f(u)的值，然后确定y的值，这样y可以表示为x的函数，我们称之为y=f (u)和u= (x)的复合函数，表示为y=知识发展1.奇函数的导数是

4、偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数是周期函数。2.af(x)+BG(x)=af(x)+BG(x)。3.函数y=f(x)的导数f(x)反映函数f(x)的瞬时变化趋势，其符号反映变化方向，其大小| f(x)|反映变化速度。| f(x)|越大，曲线在该点的切线越陡。问题群一思维分析1.判断以下结论是否正确(请在括号内打或“)(1)f(x0)是函数y=f (x)在x=x0附近的平均变化率。()(2)f(x0)和f(x0)具有相同的含义。()(3)与曲线只有一个公共点的直线必须是曲线的切线。()(4)函数f (x)=sin (-x)的导数是f(x)=cos x .()第二组问题的教材改编2.如

5、果f (x)=xex，则f (1)=。回答2e分辨率为f(x)=ex xex，f(1)=2e。3.曲线y=1-在点(-1，-1)的切线方程是。答案是2x-y 1=0当x=-1，y=2时，分辨率为y =。因此，切线方程为2x-y 1=0。问题集三很容易改正4.如图所示，它是函数y=f (x)和y=g (x)的导数函数的图像，那么y=f (x)和y=g (x)的图像可以是()答案D根据y=f(x)的图像，y=f(x)在(0，)处减小，这表明函数y=f (x)的切线斜率也在(0，)处减小，因此可以排除a和c。从图像中可以看出，y=f(x)和y=g(x)的图像在x=x0处相交，这表明y=f (x)和y

6、=g (x)的图像在x=x0处的切线斜率是相同的，所以可以排除b，所以d .5.如果机器人的运动方程是S=T2 (T是时间，S是位移)，机器人在时间T=2的瞬时速度是()A.不列颠哥伦比亚省答案D6.让函数f(x)的导数为f(x)，f(x)=fsin x cos x，然后f=。回答-解析，因为f(x)=f in x cos x，因此，f (x)=f cos x-sin x，因此f=f 因为，也就是说，f=-1，所以f (x)=-sin x cos x，f(x)=cos x-sin x。因此，f=-cos-sin=-。7.如果函数为f (x)=ax3 x 1的图像的切线通过点(1，f(1)处的点

7、(2，7)，则a=。回答1解析方程f(x)=3a x2 1，f(1)=3a 1，f(1)=2，正切方程是y-(a 2)=(3a 1) (x-1)，如果点(2，7)在切线上，可以得到a=1。问题类型一阶导数的计算1.f (x)=x (2 018 ln x)，如果f(x0)=2019，x0等于()a2 b . 1 c . in 2d . e回答乙f(x)=2 018 ln x x=2 019 ln x的解析方程，因此，如果f(x0)=2 019给出2 019 ln x0=2 019，那么ln x0=0给出x0=1。2.如果函数f (x)=ax4 bx2 c满足f (1)=2，则f (-1)等于()

8、A.-1b-2C.2 D.0回答乙解析f(x)=4 ax3 2 bx，f(x)是奇数函数，f(1)=2，f(-1)=-2.假设f (x)=x2 2xf (1)，那么f (0)=。答案-4等式f(x)=2x 2f(1)，f(1)=22f(1)，即f(1)=-2。f(x)=2x-4,f(0)=-4.计算思维升华导数的技巧(1)在求导之前，先对函数进行简化，然后进行求导，以减少计算量。(2)推导复合函数时，首先确定复合关系，从外向内逐层推导，必要时改变元素。题型二阶导数的几何意义求切线方程的命题1典型示例(1)曲线f (x)=在x=0时的切线方程为。答案是2x y 1=0根据问题的含义，切点的坐标是

9、(0，-1)、f(x)=，因此，切线k=f(0)=的斜率=-2，直线的方程式是y-(-1)=-2 (x-0)，也就是2x y 1=0。(2)给定函数f (x)=xlnx，如果直线l穿过点(0，-1)并与曲线y=f (x)相切，则直线l的方程为。答案x-y-1=0解析点(0，-1)不在曲线f (x)=xlnx上，让切点为(x0，y0)。f(x)=1ln x，:直线l的方程式是y 1=(1 lnx0) X .经过X0=1，y0=0。直线l的方程是y=x-1，也就是说，x-y=x-1=0。扩展查询在本例(2)中，如果曲线y=xln x上点p的切线平行于直线2x-y 1=0，则点p的坐标为。答案(e，

10、e)分析y=1 ln x，让y=2，即1 ln x=2， x=e，点p的坐标是(e，e)。命题2寻求参数的值典型示例(1)如果直线y=kx 1和曲线y=x3 ax b与点A(1，3)相切，则2a b=。回答1分析表明y=x3 ax b的导数是y=3 x2 a，然后采用这种解决方案，k=2，a=-1，b=3， 2a b=1。(2)假设f(x)=ln x，g(x)=x2 MX (m0)，直线L与函数f(x)和g(x)的图像相切，并且f(x)的图像的切点是(1，f(1)，那么m=0。答案2解析f(x)=，直线l的斜率为k=f(1)=1。f (1)=0，正切l的方程是y=x-1。g(x)=x+m，假设

11、直线l和g(x)的图像的切点是(x0，y0)，那么x0 m=1，y0=x0-1，y0=x mx0，m0，m=-2.命题点3的导数与函数图像示例(1)如果已知函数y=f (x)的图像是以下四个图像之一，并且其导数函数y=f(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()回答乙根据y=f(x)像先升后降的分析可知，函数y=f (x)像的切线斜率先升后降，所以b .(2)已知Y=F (x)是一个可导函数。例如，直线Y=kx 2是曲线Y=f (x)在x=3时的切线，让g(x)=xf (x)，g(x)是g(x)的导数函数，然后g(3)=x回答0从分析上讲，从主题图中可以看出，曲线y=f (x)在x=3时的切线

12、斜率等于to-, f (3)=-。g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf(x)，g(3)=f(3)+3f(3)，从标题图可以看出，f (3)=1，g(3)=1+3=0.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)求已知切点A(x0，f(x0)的斜率k，即求该点的导数k=f(x0)。(2)如果点P(x0，y0)的切线方程被求解，则切点可以被设置为(x1，y1)。(3)函数图像各点切线斜率的变化反映了函数图像在相应点的变化。跟踪训练(1)(山西孝义仿真2017)如果f (x)=x2已知，则曲线y=f (x)交点p (-1，0)的切线方程为。答案是y=0或4

13、x y=0切点坐标为(x0，x)、f(x)=2x，正切方程为y-0=2x0 (x 1)，x=2x0(x0+1)，X0=0或x0=-2，正切方程是y=0或y=-4 (x 1)，也就是说，y=0或4x y=0。(2)让曲线y=在该点的切线平行于直线x-ay 1=0，然后实数a=0。答案-1当x=，y=-1时，分辨率为y =，。根据条件=-1， a=-1。找出曲线的切线方程在一个典型的例子中，如果通过点O(0，0)的直线l与曲线y=x3-3x2 2x和y=x2相切，则可以得到的值。错误的解决方案显示：现场误差校正容易知道的点O(0，0)位于曲线y=x3-3x2 2x上。(1)当0(0，0)是切点时，

14、Y=3x2-6x 2，当x=0，y=2时，也就是说，直线l的斜率是2，所以直线l的方程是y=2x。X2-2x a=0，根据问题=4-4a=0的含义，我们得到a=1。(2)当O(0，0)不是切点时，让直线l和曲线y=x3-3x2 2x与点P(x0，y0)相切，然后y0=x-3x 2x0。k=3x-6x0+2，k=x-3x 0 2，同时 ，x0=(x0=0被丢弃)，所以k=-，因此，直线l的方程是y=-X .X2 x a=0，根据问题的含义，=-4a=0，a=1。总而言之，a=1或a=1。为了通过误差修正得到曲线与一点相交时的切线方程，需要考虑两种情况：已知点是切点，已知点不是切点。1.函数f (

15、x)=(x 2a) (x-a) 2的导数为()a2(x2-a2)b . 2(x2+a2)C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)答案三f(x)=(x-a)2(x-2a)(2x-2a)的分析=(x-a)(x-a+2x+4a)=3(x2-a2)。2.如果函数f(x)在域中是可导的，并且y=f (x)的图像如图所示，那么导数函数f(x)的图像可以是()答案三解析原函数的单调性是当x0时f(x)增加；当x0时，f(x)的单调性变化是递增、递减和递增的。因此，当x0，f(x)0；当x0时，f(x)的符号变化是-，反过来，c也是.3.(2017 Xi安质监)如果曲线F (x)=x3-x 3在点P的切线平

16、行于直线Y=2x-1，那么点P的坐标为()A.(1，3) B.(-1，3)C.(1，3)或(-1，3) D. (1，3)答案三解析f(x)=3 x2-1，让f(x)=2，然后3x2-1=2，解是x=1或x=-1，P(1,3)或(-1，3)。经检验，分(1，3)、(。4.让曲线y=eax-ln (x 1)在x=0时的切线方程为2x-y 1=0，那么a等于()A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析地说，当x=0时，y=eax-ln (x 1)， y=aeax-,，曲线y=eax-ln (x 1)在x=0时的切线方程是2x-。5.(2018广州测量)如果曲线y=ln x的切线通过原点，则该切线的斜率为()a . e . b .-e . c . d .-答案三y=ln x的解析域为(0，)，y=，假设切点是(x0，ln x0)，那么当x=x0，y=，切线方程为y-lnx0=(x-x0