2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程学案理北师大版

1、9.1直线方程最新教学大纲测试情况和测试方向分析1.在平面直角坐标系中，直线位置的几何特征是结合具体图形确定的。2.理解倾角和直线斜率的概念，掌握两点直线斜率的计算公式。3.掌握确定直线位置的几何特征，掌握线性方程的几种形式(点斜、斜截面、截距、两点和一般)，了解斜截面与线性函数的关系。主要考查直线方程的解，直线的斜率和倾角也是考查的重点。题型主要与答题中的圆和二次曲线知识相交，有时出现在选择题和填空题中。1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴的正方向与直线l的向上方向形成的角度称为直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角为0。(2)范围：直线的倾

2、角范围为0，180。2.斜率公式(1)如果直线l的倾斜角90 ,斜率k=tan 。(2)如果P1 (x1，y1)和P2(x2，y2)在直线l上，x1x2，那么l=的斜率k。3.线性方程的五种形式姓名等式适用范围点斜型y-y0=k(x-x0)不包括直线x=x0斜截式y=kx+b不包括垂直于x轴的直线两点公式=不包括直线x=x1 (x1 x2)和直线y=y1 (y1 y2)截距公式+=1不包括垂直于坐标轴并穿过原点的直线通式Ax+By+C=0(A2+B20)平面直角坐标系中的直线是适用的问题群一思维分析1.判断以下结论是否正确(请在括号内打或“)(1)不能根据直线的倾角来确定直线的位置。(2)坐标

3、平面上的任何直线都有倾角和斜率。()(3)直线的倾角越大，其斜率越大。()(4)如果直线的斜率为tan ，则其倾角为。()(5)两条斜率相等的直线的倾角不一定相等。()(6)通过任意两个不同点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线可以由等式(y-y1) (x2-x1)=(x-x1) (y2-y1)表示。()第二组问题的教材改编2.如果通过点m (-2，m)和N(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值是()a1 b . 4 c . 1或3 D.1或4回答一从问题的意义来看，分析结果是=1，从解来看，m=1。3.穿过点P(2，3)并在两个坐标轴上具有相等截距的直线方程是。答案是3x-2y=0

4、或x y-5=0分析上，当截距为0时，线性方程为3x-2y=0。当截距不是0时，让线性方程为=1。那么=1，解是a=5，所以线性方程是x y-5=0。问题集三很容易改正4.(2018石家庄模拟)直线X (A2 1) Y 1=0的倾角取值范围为()A.B.C. D回答乙从分析上来说，直线的斜率是，和-10，因此，倾斜角的范围是。5.如果AC0和BC0，c=0的直线ax将不会通过()A.第一象限第二象限第三象限第四象限答案三根据分析，已知直线ax的截距c=0在x轴上为-0，在y轴上为-0，因此直线穿过第一、第二和第四象限，但不穿过第三象限。6.穿过直线L上的点P(2，2):Y=X作为直线M。如果由

5、直线L、M和X轴围成的三角形的面积为2，则直线M的方程为。答案是x-2y 2=0或x=2解析如果直线M的斜率不存在，直线M的方程为X=2，直线M、直线L和X轴围成的三角形的面积为2，这符合问题的含义；如果直线M的斜率k=0，则直线M与X轴之间没有交点，这不符合问题的含义； i0，)，所以,也就是说，倾斜角的范围是。(2)如果直线L通过点P(1，0)，并且与以A(2，1)和B(0)为端点的线段有一个公共点，则直线L的斜率范围为。答案(-，-；1，)分辨率如图所示，=1。kBP=-，k(-,-；1，+)。扩展查询1.如果本例(2)中的P(1，0)变为p (-1，0)，而其他条件不变，则求直线l斜率

6、的取值范围.解p(-1，0)，A(2，1)，B(0)，kAP=，kBP=。从图中可以看出，直线L的斜率范围是。2.如果本例(2)中点B的坐标变为(2，-1)，而其他条件不变，则求直线l的倾斜角的取值范围.如图所示，直线的倾斜角为45。线PB的倾斜角是135，l的倾斜角度范围是0，45135，180。思维升华线的倾角范围为0，。根据坡度计算倾角范围时，应讨论两种情况。追踪训练(南昌模拟，2017)显示直线L通过固定点P(2，0)和曲线Y=在两点A和B相交，并且O是坐标的原点。当AOB的面积达到最大时，直线L的倾角为()A.150b.135c.120d .不存在回答一通过分析y=，得到X2 y2=

7、2(y0 ), y=，表示以原点o为圆心和半径的圆的一部分，其图像如图所示。显然直线l的斜率是存在的，设通过点P(2，0)的直线l为y=k (x-2)，那么从圆心到这条直线的距离为，弦长| ab |=2=2，所以s AOB=21。当且仅当(2k) 2=2-2k2，即k2=时，等号成立。根据图表，k=-，因此，直线l的倾斜角是150。问题2:找出直线的方程式在典型示例(1)中，直线y=-4x斜率的直线方程是通过点A(1，3)获得的；(2)找到一个直线方程，该方程通过点A (-5，2)，X轴上的截距等于Y轴截距的两倍。(1)假设直线的斜率为k，根据问题，k=-4=-。并且直接通过点A(1，3)，因

8、此，线性方程是y-3=-(x-1)，也就是4x 3y-13=0。(2)当直线没有通过原点时，让直线方程为=1，将(-5，2)代入集合方程，得到一个=-，所以直线方程为x2y 1=0；当直线通过原点时，直线方程为y=kx，然后-5k=2，解为k=-，所以直线方程为y=-x，即2x 5y=0。因此，线性方程为2x 5y=0或x 2y 1=0。思维的升华求解线性方程时，首先要选择合适的线性方程形式，注意各种形式的适用条件。如果采用截距类型，应注意分类讨论，判断截距是否为零；如果采用点斜型，应首先考虑边坡的不存在。跟踪训练根据给定的条件找到直线方程；(1)当直线通过一个点(-4，0)时，倾角的正弦值为

9、：(2)穿过点P(4，1)，并且在两个坐标轴上具有相同的截距；(3)直线穿过点(5，10)，到原点的距离为5。解(1)是从直线的斜率存在的问题得知的，所以可以采用点斜型。假设倾角为，那么sin =(0 )。因此，cos =，k=tan =。因此，线性方程为y=(x 4)。也就是说，x 3y 4=0或x-3y 4=0。(2)设直线在X轴和Y轴上的截距为.如果a=0，即l穿过(0，0)和(4，1)，l方程是y=x，这意味着x-4y=0。如果a0，让l的方程为=1。* l交叉点(4，1)，=1，a=5，l方程是x-y-5=0。总而言之，直线l的方程式是x-4y=0或x y-5=0。(3)当斜率不存在

10、时，线性方程为x-5=0；当斜率存在时，让它为k，线性方程为y-10=k (x-5)，也就是说，kx-y (10-5k)=0。从点到直线的距离公式，得到=5，求解k=0。因此，线性方程为3x-4y 25=0。总而言之，线性方程是x-5=0或3x-4y 25=0。问题型三线方程的综合应用命题1点与基本不等式相结合来寻找最大值问题一个典型的例子(纪| | | |=-=-(a-2，-1)(-2，b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)-5=+4，当且仅当A=B=3时，直线L的方程为X-Y-3=0。命题2用线性方程解决参数问题典型的例子表明，直线l1: ax-2y=2a-4，l2:

11、2x a2y=0a2 4，当0a2时，直线l1、l2和两个坐标轴形成四边形，当四边形的面积最小时，得到实数的值。解表明，直线l1和l2通过固定点P(2，2)，直线l1在Y轴上的截距为2-，直线l2在X轴上的截距为A2 2，所以四边形的面积S=2(2-)2(A2 2)=A2-4=2，当=时与思维升华和线性方程相关的常见问题类型及解决策略(1)求解与直线方程相关的最大值问题，首先建立直线方程，建立目标函数，然后用基本不等式求解最大值。(2)求出直线方程，找出确定直线的两个条件，从直线方程的几种特殊形式直接写出方程。(3)计算参数值或范围。如果该点在一条直线上，则该点的坐标适用于直线方程，然后结合函

12、数的单调性或基本不等式求解。跟踪训练显示直线l穿过点P(3，2)，并分别在点a和b与x轴和y轴的正半轴相交。如图所示，求出ABO的最小面积和此时直线l的方程。第一种求解方法是线性方程为=1 (A0，b0)，将点P(3，2)代入，得到=1 2，得到ab24。因此，s AOB=ab 12，当且仅当=，等号成立，那么k=-=-，所以线性方程是2x 3y-12=0。根据这个问题，直线l的斜率k存在，k0，直线l的方程是y-2=k (x-3) (k0)，有a，b (0，2-3k)，SABO=(2-3k)=(12+12)=12。当且仅当- 9k=，即k=-，等号成立。也就是说，ABO的最小面积是12。因此

13、，直线方程是2x 3y-12=0。找出与截距相关的直线方程直线l的方程式是(a 1) x y 2-a=0 (a r)。(1)如果l在两个坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)如果l在两个坐标轴上的截距是相反的数，求a .错误的解决方案显示：现场误差校正解(1)当直线穿过原点时，直线在x轴和y轴上的截距为0， A=2，方程为3x Y=0。当直线不通过原点时，截距存在，并且都不为零。线性方程可以写成=1，=a-2，即a+1=1=1。 a=0，方程为x y 2=0。总而言之，直线l的方程式是3x y=0或x y 2=0。(2)从=-(a-2)，得到a-2=0或a-1=-1。 A=2或A=-2。误

14、差修正结果表明，在求解与截距相关的线性方程时，应注意对直线截距是否为零的分类和讨论，以免忽略截距为零的情况而导致解的缺失。1.直线x-y a=0 (a是常数)的倾角为()A.30 B.60C.150 D.120回答乙解析线性方程是y=x a，k=tan=1。0180,=60.2.(2018北京海淀区模拟)与点(2，1)相交且倾角小于直线Y=-x-1倾角的直线方程为()A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2回答一解析如果直线y=-x-1的斜率为-1，则倾角为，根据问题，直线的倾角是-=，斜率不存在，交叉点(2，1)的线性方程为x=2。3.如果直线L和直线Y=1，X=7分别在点P和Q相交，

15、并且线段PQ的中点坐标是(1，-1)，那么直线L的斜率是()A.b-c-d回答乙根据问题的意思，如果P(a，1)和Q(7，b)被设置，那么就有解是A=-5，B=-3，所以我们可以知道直线的斜率是。4.(2017深圳调查)在同一平面直角坐标系中，直线L1: AX Y B=0和直线L2: BX Y A=0可能是()回答乙分析a0和b0，-A0和-B0。选项B符合。5.如图所示，直线l1、l2和l3的斜率分别是k1、k2和k3，然后是()k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k26.假设两点M(2，-3)，N (-3，-2)和一条直线L穿过点P(1，1)并与线段MN相交，直线L的斜率K的范围是()A.K 或K4 B- 4KC.k4 D.-k4回答一分辨率如图所示，kpn=，kPM=-