2019年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值学案 理 北师大版

1、第二节函数的单调性与最值考纲传真(教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质(对应学生用书第10页)基础知识填充1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间2函数的最值前

2、提函数yf(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xD，都有f(x)M；(2)存在x0D，使得f(x0)M(3)对于任意的xD，都有f(x)M；(4)存在x0D，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值，记作ymaxf(x0)M为函数yf(x)的最小值，记作yminf(x0)知识拓展函数单调性的常用结论(1)对任意x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0f(x)在D上是减函数，即x与y同号增，异号减(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(3)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”(4)

3、函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”(5)f(x)x(a0)的单调性，如图221可知，(0，减，)增，0)减，(，增图221基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)若定义在R上的函数f(x)有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(5)如果一个函数在

4、定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(6)所有的单调函数都有最值()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|By3xCyDyx24Ay3x在R上递减，y在(0，)上递减，yx24在(0，)上递减，故选A.3设定义在1,7上的函数yf(x)的图像如图222所示，则函数yf(x)的增区间为_图222答案1,1，5,74函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_由题意知2k10，得k.5(教材改编)已知f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2易知函数f(x)在x2,6上为减函数，故f

5、(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).(对应学生用书第11页)确定函数的单调性(区间)(1)(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)(2)试讨论函数f(x)x(k0)的单调性(1)D由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D.(2)法一：(导数法)f(x)1.令f(x)0得x2k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，)令f(x)

6、0得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，)故函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减法二：(定义法)由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令0x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).因为0x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(，)上单调递增当x1，x2(0，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，)上单调递减考虑到函数f(x)x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上单调递增，在(，0)上

7、单调递减综上，函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减规律方法1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论.(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性.(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.(2)

8、如有多个单调增(减)区间应分别写，不能用“”联结.跟踪训练(1)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()AyBycos xCyln(x1)Dy2x(2)yx22|x|3的单调递增区间为_. 【导学号：】(1)D(2)(，1，0,1(1)选项A中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；选项B中，ycos x在(1,1)上先增后减；选项C中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项D中，y2x在R上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数(2)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次

9、函数的图像如图由图像可知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数求函数的最值(1)函数yx的最小值为_；(2)函数f(x)(x2)的最大值为_(1)1(2)2(1)令t，则t0，xt21，yt2t1，由二次函数的性质可知，当t0时，函数为增函数，当t0时，ymin1.(2)法一：f(x)，x2时，f(x)0恒成立，f(x)在2，)上单调递减，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的图像是将y的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的y在1，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)1.x

10、2，x11，01，112，即12.故f(x)在2，)上的最大值为2.规律方法求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.跟踪训练(1)函数f(x)的最大值是_. 【导学号：】(2)(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关(1)2(2)B(1)当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(

11、x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.(2)法一：设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B.法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定随着b的变动，相当于图像上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图像左右移动，故函数f(x)在区间0,1的最大值M和最小值m变化，则Mm的值在变化，故与

12、a有关故选B.函数单调性的应用角度1比较大小已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacbDbacD根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.角度2解抽象不等式f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(x)f(x8)2的解集为_(8,9因为211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(

13、9)，f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.角度3求参数的取值范围已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_(2,3要使函数f(x)在R上单调递增，则有即解得2a3，即实数a的取值范围是(2,3规律方法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略,(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练(1)若函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A. B.C