2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.2 函数的单调性与最值学案 文_第1页
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文档简介

1、2.2函数的单调性和最大值知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)函数单调性的三种等价形式设任何x1,x2a,b和x10f (x)是a,b上的递减函数。 0f (x)是a,b上的递增函数;0f (x)是a,b中的递减函数。 (x1-x2) f (x1)-f (x2) 0f (x)是a,b的递增函数;(x1-x2) f (x1)-f (x2) 0f (x)是a,b中的递减函数。注:研究函数单调区间应注意的问题(1)单调性是一个与“区间”密切相关的概念。一个函数在不同的区间可以有不同的单调性。(2)函数的单调性只能在函数域中讨论。要找到函数的单调区间,首先必须找到函数的定义域。(3)函数

2、的单调性受到一定区间的限制。例如,函数y=在(-,0)和(0,)中单调递减,但不能说它在整个域(-,0)(0,)中单调递减,只能单独编写2.函数的最大值函数的最大值对应于最高点的纵坐标,最小值对应于最低点的纵坐标。注:(1)函数的范围必须存在,但函数的最大值不一定存在。(2)如果函数的最大值存在,它必须是范围内的一个元素;如果一个函数的值域是开区间,那么这个函数没有最小值。如果一个函数的值域是一个闭区间,那么闭区间上的端点值就是该函数的最大值。诊断自检1.概念推测(1)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,)。()(2)如果x1,x2a,b是任意的,并且x1x2,那么f(x)是递增函数0 (

3、x1-x2) f (x1)-f (x2) 0。()(3)如果函数y=f (x)是0,)上的递增函数,则函数y=f (x)的递增区间是0,)。()(4)对于闭区间上的单调函数,最大值必须取在区间的末尾。()回答(1) (2) (3) (4)。2.教科书演变(1)(强制A1P39B组T3)在下列函数中,区间(-,0)中的递减函数是()A.y=2xB.y=logxC.y=x-1D.y=x3答案三解析函数y=2x是区间(-,0)中的递增函数;函数y=logx在区间(-,0)中没有意义。函数y=x-1是区间(-,0)中的递减函数。函数y=x3是区间(-,0)中的递增函数,所以c .(2)(强制A1P45

4、B群T4)如果已知函数F (x)=是R上的递增函数,那么A的取值范围是f(x)=A.-3a0B。-3a-2C.a-2D.a0回答乙解析函数f (x)=是r的递增函数,设g (x)=-x2-ax-5 (x 1),h (x)=(x1),根据分段函数的性质,函数g (x)=-x2-ax-5在(-,1)单调增加,函数h(x)=(1,)单调增加,g(1)h(1),溶液为-3A2。因此,乙.3.预热一个小问题(1)(2014天津高考)函数f (x)=log (x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)答案DX-2或x2是从x2-40获得的。让u=x2-4。很容

5、易知道u=x2-4是(-,-2)上的递减函数,是(2,)上的递增函数,y=logu是递减函数,所以f(x)的单调递增区间是(-,-2)(2)(保定年末,2017)直角梯形OABC中的ABOC,AB=1,OC=BC=2,用直线L切割梯形所得的l:x=t侧的图形面积为S,则函数S=F (t)的图像大致为()答案三从问题的含义分析可知:何时00。(1)如果2f (1)=f (-1),求a的值;(2)证明了当a1时,函数f(x)在区间0,内单调递减。本主题使用定义方法。解(1)由2f (1)=f (-1)表示,得到2-2a=a,得到a=。(2)证明了x1,x20,)可以使用,x10,f(x)在0,上单

6、调下降。方法技巧确定函数单调性(区间)的常用方法1.定义方法:本例采用定义方法。一般步骤是设置元素产生差异变形判断符号得出结论。关键是要使差异变形。为了判断差的符号,差通常被转化为因子乘(除)或平方和的形式,然后结合变量的范围,假设两个自变量之间的大小关系和不等式的性质。请看典型的例子。2.图像法:如果f(x)是以图像的形式给出的,或者如果f(x)的图像容易制作,它的单调性可以由图像的直观性来决定。例如,冲关的目的是训练1。3.导数方法:导数方法也可用于本例。函数的单调性由导数的正值和负值决定。参见“冲关培训2”。冲关的目的是训练1.如果已知函数f (x)=f (2-a2) f (a),实数a

7、的取值范围是f(x)=1A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)答案三根据问题的意义,f(x)是r上的一个增函数,从f (2-a2) f (a),得到2-a2a,并得到(0,)上-20的单调性。解f(x)=x(A0),f(x)=1-=,让f(x)=0,计算x=,当f(x)0时,即x,f(x)单调增加。当f(x)0时,即x4或x-2为00。假设t=x2-2x-8,那么y=ln t是递增函数。要求函数f(x)的单调递增区间,即得到函数t=x2-2x-8的单调递增区间。函数t=x2-2x-8的单调递增区间为(4,),函数f(x)的单调递增区间是(4,),所

8、以d .【条件查询】如果这个例子的自然对数变成指数函数,如何解决这个问题?示例:y=x2-4x。设u=x2-4x,xR,y=u,u=(x-2) 2-4,其中u在 x (-,2)上减小,u在x2上增大,y=求函数f(x)=x2-4x 3 |的单调区间。本主题使用图像方法。首先,创建函数y=x2-4x 3的图像,由于绝对值的作用,通过将x轴的下部旋转到上部,可以获得函数y=| x2-4x 3 |的图像,如图所示。从图中可以看出,f(x)是(-,1和2,3上的减函数,是1,2和3,)上的增函数,所以f(x)的增区间是1,2,3,),减区间是(-)条件查询如果本例中的绝对值符号被移动,如何解决?示例:

9、f (x)=-x2 2 | x | 3。解f(x)=如图所示,函数y=f (x)的单调递增区间为(-,-1)和0,1;单调递减区间是-1,0和1,)。找到了函数f (x)=x-ln x的单调区间。本主题使用导数方法。解决问题的意思,得到x0。Y=1-=。x=1,y=0。列表如下:x(0,1)1(1,+)y-0+y1从上表可以看出,函数的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1)。条件询问如果这个例子变成f (x)=ax ln x,在研究单调区间时应该注意什么问题?因为参数A的范围是不确定的,所以应该对A进行分类和讨论。f (x)=ax ln x的定义域是(0,)。f(x)=a+=,(1)

10、当a0,f(x)0时,因此,函数f(x)的单调递增区间是(0,);当a0,x,f(x)0,当x,f(x)0;因此,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为。方法技巧1.研究函数的单调性,找出单调区间。首先,找到函数的定义域(定义域优先原则)。2.分析已知解析函数的组成,将其转化为由几个基本初等函数组成的形式,然后根据基本初等函数的性质研究函数的单调性。例如,函数f (x)=ln (x2-2x-8)由y=ln u,u=x2-2x-8组成,u是一个中间变量。3.如果分辨率函数是由y=ln x,y=ex和其他基本函数组成的复函数,则有必要考虑导数方法,如例3。冲关的目的是训练1.(2017洛阳第二模式)函数y=f (x) (x r)的图像如图所示,然后当函数g (x)=f (logax) (0x11),f (x2)-f (x1) (x2-x1) 0成立时,让A=f。A.cabB.cbaC.acbD.bac对称性被用来变换到相同的单调区间,然后单调性被用来比较大小。答案D根据分析可知,函数f(x)的像关于直线x=1是对称的,并且它是(1,)上的递减函数,所以a=f=f=f,所以bac。所以d .角度2利用函数的单调性解决不等式F(x)是定义在(0,)上的单调递增函数,它满足f (xy)=f (x) f (y)和f (3)=1。当f (x) f (x-8)

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