2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.2 函数的单调性与最值学案 文

1、2.2函数的单调性和最大值知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)函数单调性的三种等价形式设任何x1，x2a，b和x10f (x)是a，b上的递减函数。 0f (x)是a，b上的递增函数；0f (x)是a，b中的递减函数。 (x1-x2) f (x1)-f (x2) 0f (x)是a，b的递增函数；(x1-x2) f (x1)-f (x2) 0f (x)是a，b中的递减函数。注：研究函数单调区间应注意的问题(1)单调性是一个与“区间”密切相关的概念。一个函数在不同的区间可以有不同的单调性。(2)函数的单调性只能在函数域中讨论。要找到函数的单调区间，首先必须找到函数的定义域。(3)函数

2、的单调性受到一定区间的限制。例如，函数y=在(-，0)和(0，)中单调递减，但不能说它在整个域(-，0)(0，)中单调递减，只能单独编写2.函数的最大值函数的最大值对应于最高点的纵坐标，最小值对应于最低点的纵坐标。注：(1)函数的范围必须存在，但函数的最大值不一定存在。(2)如果函数的最大值存在，它必须是范围内的一个元素；如果一个函数的值域是开区间，那么这个函数没有最小值。如果一个函数的值域是一个闭区间，那么闭区间上的端点值就是该函数的最大值。诊断自检1.概念推测(1)函数y=的单调递减区间是(-，0)(0，)。()(2)如果x1，x2a，b是任意的，并且x1x2，那么f(x)是递增函数0 (

3、x1-x2) f (x1)-f (x2) 0。()(3)如果函数y=f (x)是0，)上的递增函数，则函数y=f (x)的递增区间是0，)。()(4)对于闭区间上的单调函数，最大值必须取在区间的末尾。()回答(1) (2) (3) (4)。2.教科书演变(1)(强制A1P39B组T3)在下列函数中，区间(-，0)中的递减函数是()A.y=2xB.y=logxC.y=x-1D.y=x3答案三解析函数y=2x是区间(-，0)中的递增函数；函数y=logx在区间(-，0)中没有意义。函数y=x-1是区间(-，0)中的递减函数。函数y=x3是区间(-，0)中的递增函数，所以c .(2)(强制A1P45

4、B群T4)如果已知函数F (x)=是R上的递增函数，那么A的取值范围是f(x)=A.-3a0B。-3a-2C.a-2D.a0回答乙解析函数f (x)=是r的递增函数，设g (x)=-x2-ax-5 (x 1)，h (x)=(x1)，根据分段函数的性质，函数g (x)=-x2-ax-5在(-，1)单调增加，函数h(x)=(1，)单调增加，g(1)h(1)，溶液为-3A2。因此，乙.3.预热一个小问题(1)(2014天津高考)函数f (x)=log (x2-4)的单调递增区间为()A.(0，+)B.(-，0)C.(2，+)D.(-，-2)答案DX-2或x2是从x2-40获得的。让u=x2-4。很容

5、易知道u=x2-4是(-，-2)上的递减函数，是(2，)上的递增函数，y=logu是递减函数，所以f(x)的单调递增区间是(-，-2)(2)(保定年末，2017)直角梯形OABC中的ABOC，AB=1，OC=BC=2，用直线L切割梯形所得的l:x=t侧的图形面积为S，则函数S=F (t)的图像大致为()答案三从问题的含义分析可知：何时00。(1)如果2f (1)=f (-1)，求a的值；(2)证明了当a1时，函数f(x)在区间0，内单调递减。本主题使用定义方法。解(1)由2f (1)=f (-1)表示，得到2-2a=a，得到a=。(2)证明了x1，x20，)可以使用，x10，f(x)在0，上单

6、调下降。方法技巧确定函数单调性(区间)的常用方法1.定义方法：本例采用定义方法。一般步骤是设置元素产生差异变形判断符号得出结论。关键是要使差异变形。为了判断差的符号，差通常被转化为因子乘(除)或平方和的形式，然后结合变量的范围，假设两个自变量之间的大小关系和不等式的性质。请看典型的例子。2.图像法：如果f(x)是以图像的形式给出的，或者如果f(x)的图像容易制作，它的单调性可以由图像的直观性来决定。例如，冲关的目的是训练1。3.导数方法：导数方法也可用于本例。函数的单调性由导数的正值和负值决定。参见“冲关培训2”。冲关的目的是训练1.如果已知函数f (x)=f (2-a2) f (a)，实数a

7、的取值范围是f(x)=1A.(-，-1)(2，+)B.(-1，2)C.(-2，1)D.(-，-2)(1，+)答案三根据问题的意义，f(x)是r上的一个增函数，从f (2-a2) f (a)，得到2-a2a，并得到(0，)上-20的单调性。解f(x)=x(A0)，f(x)=1-=，让f(x)=0，计算x=，当f(x)0时，即x，f(x)单调增加。当f(x)0时，即x4或x-2为00。假设t=x2-2x-8，那么y=ln t是递增函数。要求函数f(x)的单调递增区间，即得到函数t=x2-2x-8的单调递增区间。函数t=x2-2x-8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间是(4，)，所

8、以d .【条件查询】如果这个例子的自然对数变成指数函数，如何解决这个问题？示例：y=x2-4x。设u=x2-4x，xR，y=u，u=(x-2) 2-4，其中u在 x (-，2)上减小，u在x2上增大，y=求函数f(x)=x2-4x 3 |的单调区间。本主题使用图像方法。首先，创建函数y=x2-4x 3的图像，由于绝对值的作用，通过将x轴的下部旋转到上部，可以获得函数y=| x2-4x 3 |的图像，如图所示。从图中可以看出，f(x)是(-，1和2，3上的减函数，是1，2和3，)上的增函数，所以f(x)的增区间是1，2，3，)，减区间是(-)条件查询如果本例中的绝对值符号被移动，如何解决？示例：

9、f (x)=-x2 2 | x | 3。解f(x)=如图所示，函数y=f (x)的单调递增区间为(-，-1)和0，1；单调递减区间是-1，0和1，)。找到了函数f (x)=x-ln x的单调区间。本主题使用导数方法。解决问题的意思，得到x0。Y=1-=。x=1，y=0。列表如下：x(0，1)1(1，+)y-0+y1从上表可以看出，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)。条件询问如果这个例子变成f (x)=ax ln x，在研究单调区间时应该注意什么问题？因为参数A的范围是不确定的，所以应该对A进行分类和讨论。f (x)=ax ln x的定义域是(0，)。f(x)=a+=，(1)

10、当a0，f(x)0时，因此，函数f(x)的单调递增区间是(0，)；当a0，x，f(x)0，当x，f(x)0；因此，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为。方法技巧1.研究函数的单调性，找出单调区间。首先，找到函数的定义域(定义域优先原则)。2.分析已知解析函数的组成，将其转化为由几个基本初等函数组成的形式，然后根据基本初等函数的性质研究函数的单调性。例如，函数f (x)=ln (x2-2x-8)由y=ln u，u=x2-2x-8组成，u是一个中间变量。3.如果分辨率函数是由y=ln x，y=ex和其他基本函数组成的复函数，则有必要考虑导数方法，如例3。冲关的目的是训练1.(2017洛阳第二模式)函数y=f (x) (x r)的图像如图所示，然后当函数g (x)=f (logax) (0x11)，f (x2)-f (x1) (x2-x1) 0成立时，让A=f。A.cabB.cbaC.acbD.bac对称性被用来变换到相同的单调区间，然后单调性被用来比较大小。答案D根据分析可知，函数f(x)的像关于直线x=1是对称的，并且它是(1，)上的递减函数，所以a=f=f=f，所以bac。所以d .角度2利用函数的单调性解决不等式F(x)是定义在(0，)上的单调递增函数，它满足f (xy)=f (x) f (y)和f (3)=1。当f (x) f (x-8)