2018版高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修

1、2.3.4平面矢量共线性的坐标表示学习目标：1 .理解坐标表示的平面向量的共线性条件；2.根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；3.掌握三点共线性的判断方法。知识点共线平面向量的坐标表示已知下列向量组：(1)a=(0，3)，b=(0，6)；(2)a=(2，3)，b=(4，6)；(3)a=(-1，4)，b=(3，-12)；(4)a=(，1)，b=(-，-1)。思考1在上述向量组中，A和B之间的关系是什么？在答案(1)、(2) b=2a、(3) b=-3a和(4) b=-a中.思考2:在上述向量组中，a和b是共线的吗？答案是共线的。当ab时，a和b的坐标成比例吗？当答案坐标不是0时，它是成比例的。

2、思考4如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是在同一个方向还是在相反的方向吗？答案可能是：当0，b和a在同一个方向，当0，b和a在相反的方向，把b写成a。梳(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0，a和b共线，当且仅当有实数，设a= b .(2)如果用坐标表示，可以写成(x1，y1)= (x2，y2)。当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a和b(b0)共线。注：(2)的形式容易写错。例如，写X1Y1-X2Y2=0或X1X2-Y1Y2=0是错误的。因此，为了理解和记忆这个公式，它可以简单地写成：叉积减法。类型向量共线性的判断与证明例1 (1)在下列矢量中，共线的是()

3、A.a=(-2，3)，b=(4，6)B.a=(2，3)，b=(3，2)C.a=(1，-2)，b=(7，14)D.a=(-3，2)，b=(6，-4)答案D解析一个选项，(-2) 6-34=-24 0，a和b不是平行的；选项b，22-33=4-9=-5 0，a和b不平行；c选项，114-(-2) 7=28 0，a和b不平行；选项d，(-3) (-4)-26=12-12=0，ab，所以d .(2) A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D(5，-3)是已知的。它们是共线的吗？如果它们是共线的，它们是在同一个方向还是相反的方向？解=(0，4)-(2，1)=(-2，3)，=(5，-3)-(1，

4、3)=(4，-6)。方法12(-6)-34=0和(-2) 40，与共线，与相反。方法22，与方向共线，方向相反。要思考和理解这样的问题，我们应该充分利用矢量共线定理或矢量共线坐标条件来判断，特别是在利用矢量共线坐标条件来判断时，要注意坐标之间的搭配。跟踪训练1知道三个点A、B和C的坐标是(-1，0)、(3，1)、(1，2)、=、=、验证：。让我们证明E(x1，y1)，F(x2，y2)。=(2，2)，=(-2，3)，=(4，-1)，=(,),=(-,1).(x1,y1)-(-1,0)=(，(x2，y2)-(3，-1)=(-，1)，(x1,y1)=(-,),(x2,y2)=(,0).=(x2,y2

5、)-(x1,y1)=(,-).4(-)-(-1)=0,.类型2使用向量共线性来寻找参数实施例2已知a=(1，2)和b=(-3，2)。当k不同时，ka b平行于a-3b。第一种解法是ka b=k (1，2) (-3，2)=(k-3，2k 2)。a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)，当ka b平行于a-3b时，有一个唯一的实数。使ka b= (a-3b)。方程为(k-3，2k 2)= (10，-4)。解的结果是k=-。在第二种方法中，我们知道ka b=(k-3，2k 2)。a-3b=(10，-4)，* ka b平行于a-3b， (k-3) (-4)-10 (2k 2)=0，解是k=

6、-。扩展查询1.如果例2的条件不变，当ka b和a-3b平行时，判断它们是在同一个方向上还是在相反的方向上。例2表明，当k=-，ka b平行于a-3b。此时ka b=-a b=-(a-3b)，=-0， ka b与a-3b相对。2.在这个例子中，已知条件不变。如果将问题改为“当什么是K时，A KB与3A-B平行吗？”如何计算k的值？解a kb=(1，2) k (-3，2)=(1-3k，2 2k)，3a-b=3(1，2)-(3，2)=(6，4)，* a kb平行于3a-b，(1-3k)4-(2+2k)6=0，解是k=-。基于向量共线性的参数问题一般有两种解决方法。一是利用向量共线性定理A= B (

7、b 0)求解方程组，二是利用向量共线性坐标表达式X1Y2-X2Y1=0。跟踪训练2:让向量a=(1，2)，b=(2，3)。如果向量 a b与向量c=(-4，-7)共线，那么=_ _ _ _ _ _ _。回答2解析 a b= (1，2) (2，3)=( 2，2 3)， a b与c共线，(+2)(-7)-(2+3)(-4)=-2=0，=2.三型三点共线问题例3已知向量=(k，12)=(4，5)=(10，k)。当k是值时，a，b和c共线。解=-=(4-k，-7)，=-=(10-k，k-12)，如果a，b和c共线，那么，(4-k)(k-12)=-7(10-k)，解是k=-2或11，此外，还有一个共同点

8、，当k=-2或11时，三个点a、b和c共线。反思与感悟(1)三点共线性问题的实质是向量共线性。两个向量共线性只需要满足相同或相反的方向，并且两个向量共线性和两个向量平行度是一致的。利用向量平行性证明三点共线性需要分两步完成：证明向量是平行的；证明两个向量有公共点。(2)如果三个点A、B和C共线，那么由这三个点组成的任何两个矢量都是共线的。追踪训练3知道A(1，-3)，B，C(9，1)，并且证明A，B和C是共线的。证明=，=(9-1，1+3)=(8，4)，74-8=0，和AB有一个共同点，A、b和c共线。1.已知a=(-1，2)和b=(2，y)。如果ab，那么y的值是()a . 1 B- 1 c

9、 . 4d-4答案D分辨率为ab， (-1) y-22=0， y=-4。2.平行于A=(12，5)的单位向量是()A.B.C.或者D.答案三平行于a的单位向量是e=(x，y)，然后/或者3.众所周知，点A (1，2)，B (2，4)和C (3，M)共线，所以M的值是_ _ _ _ _ _。回答6解析=(2，4)-(1，2)=(1，2)。=(3，m)-(1，2)=(2，m-2)。*甲、乙、丙共线，即矢量共线，有一个实数，即，(1，2)= (2，m-2)=(2， m-2)。也就是说，当m=6时，a、b和c共线。4.已知四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D的坐标依次为(3，-1)、(1，2)、(1

10、，1)、(3，-5)。证明了四边形ABCD是梯形的。证明：A(3，-1)，B(1，2)，C (-1，1)，D(3，-5)。=(-2,3),=(4,-6).=-2，即| |=| |，ABCD，ABCD，四边形ABCD是梯形。5.假定A (3，5)，B (6，9)，M是直线AB上的一个点，并且| |=3 | |，求M点的坐标.让点m的坐标为(x，y)。从| |=3 | |，你得到=3或=-3。根据问题的意思，=(6-x-3，y-5)，=(6-x，9-y)。当=3，(x-3，y-5)=3 (6-x，9-y)时，解决方案当=-3，(x-3，y-5)=-3 (6-x，9-y)时，解决方案因此，点m的坐标

11、是或。1.两个向量共线条件的表达方法已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，(1)当b0时，a= B .(2)x1y2-x2y1=0。(3)当x2y20时，即两个矢量的对应坐标成比例。2.矢量共线性坐标表示的应用(1)知道两个矢量的坐标确定两个矢量共线。结合平面几何平行和共线的知识，我们可以证明三点共线和直线平行等几何问题。我们应该注意区分向量的共线性和平行性与几何中的共线性和平行性。(2)已知两个矢量共线，求点或矢量的坐标，参数值和轨迹方程。注意方程思想的应用，向量共线性和向量相等的条件可以作为序列方程的基础。课堂作业首先，选择题1.让kR，在下列向量中，不平行于向量a=(1，-1)的向

12、量是()A.b=(k，k) B.c=(-k，-k)C.d=(k2+1，k2+1) D.e=(k2-1，k2-1)答案三从分析上看，从向量共线性的判断条件来看，当k=0时，向量b、c和a是平行的；当k=1时，向量e平行于a .对于任何kR，1(k2 1)1(k2 1)0，a和d不平行，所以c .2.假设向量A=(1，-2)| B |=4 | A |，AB，那么B可以是()A.(4，8) B.(8，4)C.(-4，-8) D.(-4，8)答案D3.已知三个点A (-1，1)，B (0，2)和C (2，0)。如果和是相反的向量，点D的坐标是()A.(1，0) B.(-1，0)C.(1，-1)d .(

13、1，1)答案三4.众所周知，向量A=(2，3)和B=(-1，2)等于()如果(马铌)(2B)A.-2 B.2 C.- D答案三Ma nb=(2m-n，3m 2n)是通过分析问题的含义得到的。a-2b=(4，-1)，(ma+nb)(a-2b)，-(2m-n)-4 (3m 2n)=0，=-，所以c .5.在下列向量组中，()是平面中所有向量的基础A.e1=(0，0)，e2=(1，-2)B.e1=(-1，2)，e2=(5，7)C.e1=(3，5)，e2=(6，10)D.e1=(2，-3)，e2=(，-)回答乙分析a选项，e1=0，E1E2，不能作为基数；选项b,-17-25=-170，e1与e2不共

14、线，因此它可以用作基点；c选项，310-56=0，E1E2，因此它不能用作基底；选项d，2 (-)-(-3)=0，e1e2，不能用作基底。因此，乙.6.众所周知，E1=(1，0)，E2=(0，1)，A=2e1 E2，B= E1-E2。当ab时，实数等于()A.-1 B.0 C.- D.-2答案D解析方程E1=(1，0)，E2=(0，1)，a=2e1 E2，b= E1-E2，a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=(1,0)-(0,1)=(,-1).另外，ab， 2 (-1)-1=0，解是=-2。因此，d .7.假设向量A=(x，3)和B=(-3，x)，下列语句中的正确数字是()(1)有一

15、个实数x，所以ab；有一个实数x，所以(a b)a；有实数x，m，所以(ma b)a；有实数x，m，使得(ma b)b .A.0 B.1 C.2 D.3回答乙该分析仅在中是正确的，因此如果m=0，那么ma b=b，不管x是什么值，都有bb .8.假设平行四边形的三个顶点的坐标是(-1，0)，(3，0)，(1，5)，第四个顶点的坐标是()A.(1，5)或(5，5)B.(1，5)或(-3，-5)C.(5，-5)或(-3，-5)D.(1，5)或(5，5)或(-3，5)答案D第二，填空9.假设向量A=(m，4)，B=(3，-2)，AB，那么M=_ _ _ _ _ _。答案-6分析上，因为ab，从(-2

16、) M-43=0，解是M=-6。10.给定a (-1，4)，B(x，-2)，如果c (3，3)在直线AB上，那么x=_ _ _ _ _ _ _。答案2311.假设向量a=(1，2)和b=(-2，3)，如果 a b与a b共线，和之间的关系是_ _ _ _ _ _ _ _。答案=12.让=(2，-1)、=(3，0)、=(m，3)。如果a、b、c三点可以构成一个三角形，则实数m的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _。答案m|mR和m6从分析上来说，甲、乙、丙可以组成一个三角形。，不共线。和(1，1)，=(m-2，4)，14-1(m-2)0.解是m6。m的范围是mR和m6。13.直角坐标平面中的两个向量a=(1，3)和b=(m，2m-3)是已知的，因此平面中的任何向量c都可以唯一地表示为c= a b，那么m的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案m|mR和m - 3 根据平面向量的基本定理，a和b不共线，即2m-3-3m 0，解为m -3。因此，m的范围是mR和m3。第三，回答问题14.给定向量=(6，1)，=(-2，-3)，=(x，y)和| |=，求x和y的值.解决问题的意思，得到=-=-()=-(6，1)+(x，y)+(-2，-3)=(-x-4，-y+2)，和