7、2、2单位圆与正弦、余弦数线

1、,7、2、2,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,1.单位圆的概念,一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为 A(1，0)，A(1，0). 而与y轴的交点分别为 B(0，1)，B(0，1).,设任意角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N，,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.,2. 三角函数线,根据三角函数的定义有点P的坐标为(c

2、os,sin),其中cos=OM，sin=ON.,这就是说，角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.,过点A作 轴的垂线与角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T )，则tan=AT(或AT ),我们把向量 分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.,的终边,T,P,M,P,M,A,T,A,(),(),(),(),问题2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,正弦线和余弦线,为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定

3、线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.,规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sin，OM=cos，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线,（1） ；（2） ,例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1sin1.5,cos1cos1.5,探究：当0/2时，总有 sintan.,SPOAS扇形AOPSAOT,MPOA/

4、2,OA OA /2,OA AT /2,MPAT,sintan,例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:,P,N,T,A,例4. 利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.,证明：在OMP中，OP=1，OM=|cos|, MP=ON=|sin|， 因为三角形两边之和大于第三边，所以 |sin|+|cos|1。,例5. 利用单位圆中的三角函数线,若 ，试确定sin的取值范围.,cos呢?,变式： 写出满足条件 cos 的角 的集合.,二、探究三角函数的定义域,R,R,| k(kZ),三、探究三角函数在各象限的符号,+,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,-,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,全 +,例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三象限角:,四、诱导公式一：,终边相同的角的同一三角函数的值相等。,例4 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证。,全 +,课堂小结,1、三角函数线