第4讲 静电场(II)(B422).ppt

1、2020年7月31日星期五,电磁场与电磁波,主讲：李龙,Field and Wave Electromagnetics,L,2,Review,库仑定律 电场强度 静电场的高斯定理 静电场的电位,L,3,Review,静电场的电位 电场强度：,L,4,Review,静电场是无旋场，其在任意闭合回路的环量为零； 静电场是保守场，沿某一路径的积分仅与起点和终点位置有关，而与路径无关 称(P)-(P0)为P与P0两点间的电位差(或电压),L,5,第4讲 静电场（II）,电偶极子 介质极化 束缚电荷 介质高斯定理 介质中的场方程 静电场边界条件 电位微分方程,L,6,电偶极子(electric dipo

2、le),电偶极子是由间距很小的一对等值异号的点电荷所构成的一种电荷分布. 由迭加原理，r处产生的电位为： 因为 ，故可将上式展开， 略去一些次要项，可得：,称为电偶极子的矩，简称电偶极矩,电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向. 它定义为电荷q乘以有向距离.,L,7,电偶极子,电偶极子的电场 电场强度与电位的关系：,Note: 电偶极子的电位和电场分别与 和 成反比. 电偶极子的场分布具有轴对称性.,L,8,电偶极子,外电场对电偶极子的作用 当电偶极子放入外电场中， 其两端均受到电场力的作用 外电场对电偶极子总作用力 如果外电场是均匀的，即 处处相等， 则电偶极子所受的力 显然，电偶极子中心不会

3、发生位移。,L,9,电偶极子,外电场对电偶极子中心的力矩 显然， 故电偶极子将围绕其中心转动，直至 即 的取向与电场方向平行.,L,10,介质极化,从电特性讲，物质有导电与不导电之分： 导电的物质称之为导体： 其内部有大量自由电荷，在外电场作用下可做宏观运动。 不导电的物质(绝缘体)称为电介质或介质： 介质中的带电粒子被约束在介质的分子中，不能做宏观运动，在外加电场作用下介质内带电粒子会做微观位移，使分子产生极化。,L,11,介质极化,构成介质的分子可分为两类： 正、负电荷中心不重合，其本身即为一个电偶极子，具有固有偶极矩，这类分子称为有极分子。 没有外电场时固有偶极矩的取向是随机的，所有偶极

4、子的作用相互抵消，对外不显电性。 在外加电场的作用下，每个分子都受到一个力矩，向外电场方向转动，但由于热运动和分子之间的相互作用，并不是所有的分子都转到与电场平行的方向，这样，每个分子在电场方向有一平均偶极矩 正、负电荷中心在无外电场时重合，偶极矩为0，称为无极分子。 在外电场作用下，分子的正、负电荷受电场力的作用而在电场方向上发生相对位移，这时分子相当于两个等量的正、负电荷离开一个小距离，构成一个电偶极子 。,L,12,介质极化,不论是有极分子还是无极分子构成的介质，在外电场作用下，其内部分子中的正、负电荷都沿电场方向重新排列，形成一系列等效电偶极子，这种现象叫介质的极化。 在一定的外电场下

5、，不同介质的极化程度不同；同一介质在不同外电场作用下的极化程度也不同。 为定量描述介质的极化程度，引入极化强度矢量 ，介质中 处的极化强度定义为该处单位体积内的偶极矩，即：,L,13,介质极化,在各向同性的电介质中，某点处的分子平均偶极矩与该处的外电场强度成正比，而在很小的体积元内，可看作是均匀的，故电极化强度矢量也与该处的电场强度成正比，可表示为： 其中 称为介质的电极化率，是一个无量纲的常数。 Note：若介质是非各向同性，则 与电场方向不一致， 不成立，故 与 不同向；,L,14,束缚电荷(Bound Charges),介质极化后，其内部电荷的重新排列， 出现沿电场方向的一系列等效电偶极

6、子。 若外电场和介质都是均匀的，则电偶极 子排列的结果使得介质内部正负电荷相 互抵消，在介质表面出现一层面电荷。 若介质或外加电场不均匀，则介质内部 出现体电荷，这些电荷被紧紧地束缚在 分子内，不能自由移动，称为束缚电荷。 束缚电荷在空间激发电场，介质中的总电场是外加电场与束缚电荷产生的场之和，因此，介质中的电场不同于真空中的电场。,L,15,束缚电荷,设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。 在介质中r处取一个体积元V， 因|r - r|远大于V的线度，故可将V中介质当成一偶极子，其偶极矩为p=PV，它在r处产生的电位是 则V内所有电偶极子产生的电位为：

7、,L,16,束缚电荷,表示对源点坐标的微分运算，而表示对场点坐标的微分运算.,S是包围 体积V表面， 是S的 外法线 单位矢量。,L,17,束缚电荷,回顾分布电荷电位： 体电荷电位 面电荷电位 由束缚电荷的电位可知 相当于面电荷密度 相当于体电荷密度,L,18,束缚电荷,定义：介质极化后在其表面出现的束缚面电荷密度和其内 部产生的束缚体电荷密度分别为： Note：略去算符上一撇是因为此处只涉及源点坐标， 不会引起混乱。(Polarization Charge Densities) 束缚电荷的电位表达式,L,19,介质高斯定理,介质中的电场是自由电荷和束缚电荷共同激发的； 极化介质可以看作有秩序

8、地排列在真空中的电偶极子的集合，所以介质极化的效应可认为在真空中相应位置上放置了与束缚电荷数值相等的电荷。 其中Q为S内的自由电荷；Qp为S内的束缚电荷,L,20,介质高斯定理,电感应强度(Electric Flux Density or Electric Displacement) 称为电位移或电感应强度，单位是库仑/米 介质中的高斯定理，其意义是：电位移矢量 穿过介质中某一闭合曲面S的通量等于S内包围的自由电荷。 在真空中，由于 ，则 ，此时上式退化为真空中的高斯定理，所以它是高斯定理的一般形式，真空中的高斯定理只是它的一个特例。,L,21,介质高斯定理,微分形式的介质高斯定理 真空中高斯

9、定理微分形式中的电荷是指自由电荷。在电介质中，极化介质产生的电场等效于束缚电荷的影响，高斯定理的微分形式可写为 电位移矢量（电感应强度矢量） 显然，其散度即为自由电荷密度,L,22,介质高斯定理,介电常数(dielectric constant or permittivity) 极化强度表征电介质的极化性质，它与电场强度之间的关系是由介质的固有特性决定的，这种关系称之为组成(本构)关系。 若P与E同向，则称之为各向同性介质(isotropic)，反之，称之为各向异性介质(anisotropic)； 若P与E成正比，则称之为线性介质(linear)，反之称之为非线性介质(nonlinear)。

10、实际上，大多数介质都是线性各向同性介质.,L,23,介质高斯定理,各向同性的线性介质的组成关系： 其中，e为极化率，无量纲，从而有： 为介质的相对介电常数，而 称为介电常数，单位为法拉/米。在真空中 。 当电荷分布具有某种对称性时，可应用介质中的高斯定理求解介质中的场。,L,24,介质高斯定理,例2 在一个半径为a的导体球面上均匀分布着总量为Q 的电荷，其周围充满均匀介质，介电常数为，求 介质中任一点的 ，以及球与介质的交界面上 的束缚电荷，以及介质内束缚体电荷密度p。 解 由对称性知， 是球对称的，且指向 方向。 如图做高斯面S，由高斯定理：,r,L,25,介质高斯定理,球面上束缚电荷密度为

11、 Note： 介质中 与真空中的区别仅在于将o换成，如 果已知某种电荷分布在真空中的场，将o换成即 得该电荷分布在介质中的场.,r,L,26,介质中的场方程,静电场是一种矢量场，场的性质由场矢量通量特性（穿过闭合曲面的通量）和环量特性（沿闭合曲线积分）描述。 静电场的这两种特性可表示： 静电场是有源场，场源即为电荷 静电场是保守场 另外，场又与介质的特性有关： 介质的本构方程 此三方程为描述静电场特性的积分形式的基本方程,L,27,介质中的场方程,微分形式的场方程 由高斯散度定理 因为V是任意的 由斯托克斯公式 因为S是任意的 静电场的微分形式的基本方程组,L,28,静电场边界条件,如果电场中

12、存在两种或两种以上的介质，由于极化效应，在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷，这层面电荷在分界面两边产生的场是不一样的，因此在分界面上电场强度和电位移都将发生突变。 介质分界面上各个场量发生突变的规律即为边界条件。 推导边界条件应从积分形式的基本方程出发,L,29,静电场边界条件,电场强度的边界条件 在界面上某点处取闭合矩形回路l，其长边分别位于介质1和介质2中，且紧贴界面，即 h0； 为该点处切线方向单位矢量，显然有 为该点处法线方向单位矢量； 界面两侧的电场强度分别为 静电场电场强度满足：,介质1,介质2,h,l,L,30,静电场边界条件,由于h0，路径l在h方向的两条边上的积分0 由于

13、l足够小，电场强度在 上可看作常矢； 在介质交界面上，电场强度的切向分量连续,L,31,静电场边界条件,电位移的边界条件 设界面上某点处取一个很小的柱面S，两底面分别处于介质1、2中，其底面面积为S 法向单位矢量 从介质1指向介质2； 柱面侧面平行于 柱面上下底面紧贴界面h0 界面两侧的电位移分别为 静电场电位移满足：,h,S,L,32,静电场边界条件,由于h0，电位移在侧面的积分0； S 很小，底面上的电位移可看作常矢； Q为S所包含的自由电荷，若界面上有密度为s的自由电荷，则 电位移法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续，在无自由面电荷的介质交界面上连续,L,33,静电场边界条件,导体的边界条件 导体内部电场为0，因而 在导体表面上： 电场强度只有法向分量 电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度,L,34,静电场边界条件,电位的边界条件 紧贴边界的两点之间的电位差：,L,35,静电场边界条件,在导体与介质的分界面上，因为导体表面是等位面，所以在导体表面上有 另外，利用电位移法向边界条件： 即在导体与介质分界面