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文档简介

1、课前练习,课前练习,课前练习,原级数绝对收敛。,原级数发散。,收敛半径为：,课前练习,解:,收敛.,发散.,(*),对于(*),一、函数项级数的概念,微,积,分,电,子,教,案,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的性质,11.4 泰勒级数与幂级数,四、泰勒级数,五、函数展开成幂级数,三、幂级数的性质,在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数。,上式两边积分得：,于是,幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，但是收敛区间可能改变。,三、幂级数的性质,解：,三、幂级数的性质,例4,发散;,发散;,故幂级数的收敛区间为,解：,三、幂级数的性质,例4,上式求导：,解：,三、幂级数

2、的性质,例4,解,三、幂级数的性质,收敛;,发散;,故幂级数的收敛区间为,解,两边积分得,三、幂级数的性质,解：,三、幂级数的性质,例6,发散;,收敛;,故幂级数的收敛区间为,解：,三、幂级数的性质,例6,练习.求 的和函数，并求,解：,当 x=1/2 时，,三、幂级数的性质,幂级数的和函数 S(x).如,使得幂级数在其收敛区间X内恰好等于 f(x)？即,相反的问题：,f(x)如果能展开为幂级数，则称 为f(x)的幂级数展开式,对于给定的函数 f(x)能不能找到一个幂级数,四、泰勒级数,含义不同: (1)表示幂级数的和函数 (2)表示函数变为幂级数即展开为幂级数.,(1),(2),f(x)如果

3、能展开为幂级数(分为两种):,四、泰勒级数,1.泰勒级数与麦克劳林级数,四、泰勒级数,定理不仅给出求函数幂级数展开式的系数的方法，而且说明函数的幂级数展开式是唯一的。,定义,特别地当 x0=0时，则称,四、泰勒级数,泰勒级数和定理1的微妙区别:,如果函数f(x)在点x0处能展开为幂级数, 则其幂级数展开式一定是泰勒级数.,?,如果按这种方法构造一个级数,该级数的收敛区间?,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,四、泰勒级数,定理 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有直到n+1阶的导数，则对该邻域内任意的x，有：,拉格朗日余项,四、泰勒级数,（泰勒中值定理）,f(x)在点x0处的n阶泰勒公式,2、 泰勒公式,拉格朗日中值定理,2阶：,1阶：,0阶：,四、泰勒级数,特别地,若x0= 0,则有:,比较泰勒级数和泰勒公式:,即泰勒级数收敛于f(x).,此时必须,四、泰勒级数,函数展开成幂级数的充分必要条件,定理,特别地,若x0= 0,则有:,称f(x)在x=

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