计算机辅助几何设计

1、第5章计算机辅助几何设计，5.1自由曲线和5.2自由曲面。由计算机辅助设计中已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线和曲面称为规则曲线和曲面，通常用二次方程的隐函数或显函数来表示。然而，在汽车、船舶、飞机、模具、艺术品等产品的设计中，有大量的曲线和曲面不能用二次曲面来描述。这些曲线和曲面称为自由曲线和自由曲面，是计算机辅助几何设计研究中的主要几何形状。5.1自由曲线，5.1.1曲线和曲面描述的基本原理5.1.2埃尔米特曲线5.1.3贝塞尔曲线5.1.4 B样条曲线5.1.5非均匀有理B样条曲线，5.1.1曲线和曲面描述的基本原理，自由曲线可以由一系列小曲线段连接，自由曲面可以。因此，曲线和曲面的研究

2、重点在于曲线段或曲面片的描述及其连接和组合方法。几何设计的基本概念在描述自由曲线和曲面时，通常使用三种类型的点：(1)特征点(控制顶点)用于确定曲线和曲面的形状和位置，但曲线或曲面不一定通过这一点。(2)类型值点：用于确定曲线或曲面的位置和形状，并通过该点。在曲线曲面设计中，通常使用一组离散的值点或特征点来定义和构造几何形状，构造的曲线曲面应满足光滑性的要求。定义曲线和曲面的主要方法是插值和逼近。(1)插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个严格依次通过所有数值点并满足光滑性要求的函数。(2)近似：对于给定的一组控制顶点，需要构造一个整体上最接近这些控制点的函数，并且不一定要通过这些点。(3)

3、光滑：从数学上讲，光滑意味着曲线或曲面至少有一个连续的导数。(4)公平：到目前为止，它还是一个模糊的概念，没有统一的标准。一方面是主观因素，另一方面是与应用背景有关。然而，仍然有一些客观的标准和处理方法。曲线和曲面可以用隐函数、显函数或参数方程来表示。用隐函数表达不直观，不方便绘制(如用c=0表示ax)；显式函数表示存在多价(如x2 y2=r2)和无限斜率(如y=mx b)等问题。此外，隐函数和显函数只适用于表示简单和规则的曲线和曲面。自由曲线和曲面通常用参数方程来表示，因此称为参数曲线或参数曲面。空间曲线可以表示为运动点随参数t变化的轨迹，其向量函数为：P(t)=P(x(t)，y(t)，z(

4、t)，t的范围为0，1。同样，空间中的一个曲面可以用参数(u，v)表示为p (u，v)=p。某些几何性质不随某些坐标变换而改变，这称为几何不变性。曲线的形状本质上与坐标系的选择无关。(2)可以处理无限坡度。Dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) (3)参数方程将自变量和因变量完全分开，因此参数变化对各因变量的影响可以清楚地表达出来。(4)可以处理多值曲线。(5)规范化参数变量，使其对应的几何分量有界。因为参数被限制在从0到1的闭合区间内，所以所表示的曲线总是有界的，并且不需要其他数据来定义其边界。(6)控制曲线和曲面形状的自由度更大。例如，二维三次曲线明确表示如下：(7)用向量和矩阵表示几

5、何量很容易，因此简化了计算。其中只有4个系数可以控制曲线的形状，其参数表示为：8个系数可以用来控制曲线的形状。5.1.2厄米曲线，厄米曲线是给定曲线段的两个端点的坐标和两个端点的切线向量来描述曲线。空间中的三次参数曲线可以表示为：并且该曲线的向量表达式为：使用端点P0和P1以及端点切线向量P0和P1，我们可以得到：矩阵表达式是：所以，5.1.3贝塞尔曲线。1962年，贝塞尔提出了一种自由曲线和曲面的设计方法，称为贝塞尔方法。具体设计过程如下：从模型或手绘草图中获取数据后，用绘图工具绘制图形，然后从该图形中粗略确定贝塞尔特征多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机进行交互式几何设计，调整特征多边形

6、顶点的位置，直至获得满意的结果；最后，用绘图仪绘制曲线样本。1.贝塞尔曲线定义：给定空间中的n 1个控制顶点Pi(I=0，1，n)，以下参数曲线称为n次贝塞尔曲线。被称为伯恩斯坦基础。一般称为折线，是P(t)的控制多边形；说，每个点是P(t)的控制顶点。(1)三次贝塞尔曲线，常用的三次贝塞尔曲线，由四个控制顶点决定。很容易计算出对应的四个伯恩斯坦基函数是：对应的贝塞尔曲线是，(2)二次贝塞尔曲线，由三个控制顶点决定。此时，对应的曲线表达式为，对应于抛物线。(3)主贝塞尔曲线由两个控制顶点决定。此时，对应的曲线表达式为，即连接P0和P1的直线段。2.贝塞尔曲线的程序设计主要是三次贝塞尔曲线。使用

7、它的参数表达式在区间(0，1)中取多个值，例如100，计算对应于这100个值的坐标点，并依次连接这些点得到一条贝塞尔曲线。为了方便编程，将曲线的表达式改写如下：注意：添加另一个Z坐标以获得空间贝塞尔曲线。3。贝塞尔曲线的属性。在伯恩斯坦基函数中，n是基本曲线的度数，I是基函数的序号。伯恩斯坦基函数的下列性质可以从排列组合和导数运算规则中导出：(1)正(非负):(2)权重：(3)对称性：(4)导数性质：(5)递归性质：贝塞尔曲线的一些性质：1)端点性质：因为，曲线P(t)在P0点与边P0P1相切，在Pn点与，2)对称，所以从伯恩斯坦基函数的对称性可知，在控制点的顺序完全颠倒后，曲线的形状不变，但

8、方向相反。这表明由同一特征多边形定义的贝塞尔曲线是唯一的和相切的。由于(3)的凸性，P(t)是P0、P1、pn的凸线性组合。这证明了贝塞尔曲线完全封闭在其特征多边形的凸包中。因此，控制顶点P0、P1、pn的凸包为：(5)交互能力，(4)几何不变性，由给定控制顶点决定的贝塞尔曲线的形状与坐标系的选择无关。这个性质是贝塞尔曲线的几何不变性。几何不变性是几何图形的一个非常重要的性质。坐标变换常用于计算机图形学。如果同一表达式代表不同坐标系下的不同曲线，将会给图形变换带来许多不便。控制多边形P0P1Pn大致勾勒出贝塞尔曲线P(t)的形状。要改变P(t)的形状，只需改变P0、P1和PN的位置。(6)变差

9、减少和(7)保凸性。如果贝塞尔曲线P(t)的控制多边形P0P1Pn是平面图，则平面中任意直线与P(t)的交点数不大于直线与控制多边形P0P1Pn的交点数。这种性质被称为变异减少。该属性显示贝塞尔曲线比控制多边形所在的折线更平滑。如果平面上的凸控制多边形可以使生成的曲线是凸的，那么这种曲线生成方法称为保凸。我们连接控制多边形的终点和起点。如果以这种方式形成闭合的凸多边形，则相应的贝塞尔曲线是凸平面曲线。这个性质是贝塞尔曲线的保凸性。4.贝塞尔曲线的拼接和反算，贝塞尔曲线的度数由其控制顶点决定。常用的三次贝塞尔曲线由四个控制顶点决定。多控制点三次贝塞尔曲线(n4)存在多条曲线拼接的问题，关键问题是

10、如何保持拼接位置的连续性。不同的问题对连接点处的连续性有不同的要求，常用的有：连续性、参数连续性、切线方向和模数长度、几何连续性、切线方向、1)拼接、P1、P0、P3=Q0、Q2、Q1、P2、Q3、让P()。Q(t)是由齐(i=0，1，2，3)确定的三次贝塞尔曲线。P3=Q0，满足，1)两条曲线的一阶导数在连接点处连续的条件是0=t=1，即P2、P3(Q0)和Q1共线，以及，2)两条曲线的二阶导数在连接点处连续的条件是、根据上述条件，可以调整两条曲线P(t)和Q(t)，使连接点处的一阶几何或导数连续：步骤1:平移多边形，使Q0与P3重合。步骤2:围绕Q0旋转多边形，使、和平行且方向相同(或具有

11、相同的模块长度等)。)。P1，P0，P3=Q0，Q2，Q1，P2，Q3，曲线控制顶点的反算是指从曲线上的一系列点(称为类型点)反算曲线的一系列控制顶点的过程。如果给定了n 1个类型值点，并且需要一系列控制点，则由这些控制点定义的贝塞尔曲线将穿过已知类型值点，这与为给定控制点寻找类型值点的通常过程正好相反。让计算出的控制点为，它定义的贝塞尔曲线，曲线为P(t)，它满足、那么，注意：取t的不同方法，逆向计算的不同控制顶点。2)反算，5.1.4 B样条曲线，贝塞尔曲线是通过逼近特征多边形得到的，存在的缺点是：1)缺少局部修改，即改变某个控制点会对整条曲线产生影响；2)当n较大时，特征多边形的边数较大

12、，削弱了对曲线的控制。1972年，李森菲尔德等人提出了B样条曲线。用b样条基函数代替伯恩斯坦基函数；逼近特征多边形的精度较高，多边形的边数与基函数的阶数无关。具有局部可修改性，控制点P0，P1，pn，k阶(k-1) B样条曲线的数学表达式为：其中Ni，k(t)是k-1 B样条曲线的基函数。它是由节点向量递归定义的，节点向量不等于零，所以B样条曲线具有局部可修改性。1.三次均匀B样条曲线的表达式，一组三次B样条曲线：其中n0，4 (t)=1/6 (1-t) 3，n1，4 (t)=1/6 (3t3-6t24)，N2，4 (t)根据上述公式，可以在平面直角坐标系中设计出生成三次B样条曲线的程序。，p

13、i (0)，pi 3，pi 2，pi 1，pi (0)，pi (1)，pi (1)，2。三次均匀B样条曲线段p-1、Pn、Pn 1，在起点和终点添加一个顶点，P-1和Pn 1，使p-1p0=p0p1，Pn-1 P0=Pnpn 1，然后P0(0)=P0，P0=P1-P0。终点有相似的特征。边界处理在实践中得到应用。因此，有必要处理曲线的边界。有许多处理方法。现在，我们引入控制顶点的反向计算。在实际应用中，我们经常知道曲线上的类型点，但不知道特征多边形顶点的位置。为了构造B样条曲线，需要从这些类型点反算特征多边形顶点，这就是B样条曲线顶点的反算。让qi (I=1)一条三次b样条曲线通过这些点，就可

14、以得到这条曲线的控制顶点Pi(i=0，1，n)。下列线性方程： Pi-1 4Pi Pi 1=6Qi (i=1，2，n-1)可以通过增加两个边界条件得到。例如，独特的解决方案在和齐-1是众所周知的。5.1.5非均匀有理B样条曲线为解析曲线(如二次曲线)和自由曲线提供了统一的数学描述，便于工程数据库的管理和应用。NURBS曲线3360的定义是给定n 1个控制点PI (I=0，1，n)和它们的权重因子W1(I=0，1，n)，然后是K。缺点：计算量大，当权重因子为零或负值时，容易造成计算不稳定，导致曲线失真。因此，当使用NURBS时，它应该有适当的限制，以确保算法的稳定性。5.2自由曲面，5.2.1参

15、数曲面的概念，5.2.2双三次曲面的数学表示，5.2.3曲面的逆向计算、拼接和相互转换，5.2.4新的自由曲面建模技术，5.2.1参数曲面的概念，p (u，w)=x (u，w)，y(y)。u和w切向矢量是：Pu(0，0)，Pu(1，0)，Pu(0，1)，Pu(1，1)，Pw(0，0)，Pw(1，0)，Pw(0，1)，pw 1)，5.2.2三次曲面的数学表示双三次曲面片的代数形式是，它的矩阵表达式是，其中构造双三次曲面片的关键是确定矩阵方程中的系数矩阵。1。Coons曲面由曲面的四个角、每个角上的两个切向量和四个角上的混合偏导数(扭转向量)决定。孔曲面的特点：属于构造插值曲面的方法。曲面构造的几何意义清晰，曲面表达简洁。它主要用于构造通过给定固定点的曲面，但不适用于曲面设计。这是因为，在表面设计的初始阶段，设计师对他设计的产品的形状只有一个非常粗略的概念。为了获得令人满意的形状，有必要不断修改值点的位置。对于位置尚未确定的类型点，构造插值曲面显然是不合理的。由于扭转矢量的几何意义不明显，工程师很难掌握，因此很难提供准确的转角信息，这使得