高等数学第二章.ppt

1、第二章 导数与微分 2.1 导数的概念 2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 2.3 复合函数的求导法则 2.4 隐函数的导数 2.5 初等函数的导数 2.6 导数的经济定义 2.7 高阶导数 2.8 函数的微分,湖南教育出版社,下页,2.1导数的概念,1. 导数的定义,2. 导数的几何意义,3. 可导与连续的关系,首页,上页,下页,2.1导数的概念,1. 导数的定义,例1：求变速直线运动的瞬时速度.,设物体作变速直线运动，它的运动方程,取从 时刻到 这段时间间隔，时间的增量为 ，物体运动路程的增量为,瞬时速度v，即可定义,首页,上页,下页,2.1导数的概念,例2：求曲线切线的斜率.,如果割

2、线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,设曲线C所对应的函数为,其中,是割线MN的倾斜角.,首页,上页,下页,2.1导数的概念,定义1,设函数,y=,f(x),在点x0的湿疹偏方某个邻域内有定义，当,自变量x在点x0处有增量D x（点x0 +D x仍在该邻域内）时，函数有相应的增量,如果当,时，两个增量之比的极限,存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作：,首页,上页,下页,2.1导数的概念,即,此时，也称函数y=f(x)在点x0处具有导数，或导数存在。,如果上述极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处

3、不可导，如果极限为无穷大，这时函数y=f(x)在点x0处不导，但为了方便，也称函数y=f(x)在点 的导数是无穷大。,首页,上页,下页,2.1导数的概念,注意 上述导数的定义式还有以下几种常用的形式：,可以看到，在导数的定义中，比值,首页,上页,下页,2.1导数的概念,例3：求函数f(x)=x2在点 x=x0处的导数.,解： 给自变量x在x=1处以增量x,对应函数的增量是,两个增量之比是,对上式两端取极限，得,首页,上页,下页,2.1导数的概念,定义2,如果函数y=f(x)在区间I内的每一点x都有导数,则称函数y=f(x)在区间I内可导,这时,对于区间I内每一点x,都有一个导数值f(x)与它对

4、应,因此f(x)是x的函数,称为x的导函数,记作,即,首页,上页,下页,例4 设 ,求：,解,于是,2.1导数的概念,首页,上页,下页,2.1导数的概念,用定义求导数，可分为以下三个步骤：,（1）求增量 给自变量x以增量x，湿疹偏方求出对应的函数增量,（2）算比值 计算出两个增量的比值,（3）取极限 对上式两端取极限,首页,上页,下页,例5 求函数f(x)=c(c为常数)的导数.,（1）求增量,（2）算比值,（3）取极限,即,2.1导数的概念,解,首页,上页,下页,例6 求函数f(x)=x3的导数.,解（1）求增量,（2）算比值,（3）取极限,2.1导数的概念,首页,上页,下页,2.1导数的概

5、念,例7 求函数y=sinx的导数.,（2）算比值,（3）取极限,即,首页,上页,下页,例8 求函数,的导数.,解（1）求增量,（2）算比值,（3）取极限,即,特别地，当a=e时，lne=1,则,2.1导数的概念,首页,上页,下页,例9,2.1导数的概念,令,则,即,解,（1）求增量,（2）算比值,（3）取极限,首页,上页,下页,2.1导数的概念,2. 导数的几何意义,首页,上页,下页,2.1导数的概念,例10 求曲线,在点（2，8）湿疹偏方处得切线方程和法线方程。,解 在点（2，8）处的切线斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线斜率为,于是所求法线方程为,首页,上页,下页,定理,3.可导与连

6、续的关系,如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它在点x0处一定连续.,注意,上述定理的逆定理是不成立的.,例如，函数,在x=0连续但不可导，因为,于是有,2.1导数的概念,首页,上页,下页,2.2 函数的和、差、商的求导法则,1. 函数和、差的求导法则,2. 函数积的求导法则,3. 函数商的求导法则,首页,上页,下页,2.2 函数的和、差、商的求导法则,1.函数和、差的求导法则,定理1,如果函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，则函数f(x)=u(x)+v(x)在点x处可导，且,由此可得函数和差的求导法则：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）.,例1,求,的导数.

7、,解,首页,上页,下页,2.2函数的和、差、商的求导法则,例2 设,，求,解,定理2,如果函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，则函数 f(x)=u(x)v(x)在点x处可导，且,由此可得函数积的求导法则：两个可导函数积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数.,2. 函数积的求导法则,首页,上页,下页,2.2函数的和、差、商的求导法则,例3 求,的导数.,解,例4 求,的导数.,解,例5 求,的导数.,解,首页,上页,下页,定理3,2.2函数的和、差、商的求导法则,如果函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，且,则函数f(x)=u(x)/v(x)

8、在点x处可导，且,由此可得函数商的求导法则：两个可导函数的商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方.,3. 函数商的求导法则,首页,上页,下页,2.2 函数的和、差、商的求导法则,例6 求函数,的导数.,例7 求函数,的导数.,解,首页,上页,下页,2.2函数的和、差、商的求导法则,例8 求函数,的导数.,即,解,类似地，可以求得余割函数的导数公式,首页,上页,下页,2.3复合函数的求导法则,定理,如果函数,在点x处可导，而函数,在对应点,处可导，则复合函数,在点x处可导，且其导数为,由此可得函数商的求导法则：两个可导函数的复合函数的导数等于函数对中间变量

9、的导数乘上中间变量对自变量的导数.,复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的的情形.,首页,上页,下页,2.3 复合函数的求导法则,例1 求函数,的导数.,解,例2 求函数,的导数.,解,首页,上页,下页,2.3 复合函数的求导法则,例3 求函数,的导数.,解,例4 求函数,的导数.,解,首页,上页,下页,2.3复合函数的求导法则,例5 求函数,的导数.,解,例6 求函数,的导数.,解,首页,上页,下页,2.3复合函数的求导法则,例7 求函数,的导数.,解,例8 证明幂函数的导数公式：,证,首页,上页,下页,2.4 隐函数的导数,我们把由方程,所确定的函数叫作隐函数.,例1 求

10、由方程,所确定的隐函数的导数,解,自变量x和函数y之间的函数关系用明显的表达式给出的函数,叫做显函数.,利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x求导数,得,在方程中，将y看作x的函数，则是x的复合函数.,首页,上页,下页,2.4隐函数的导数,例2 求由方程,所确定的隐函数的导数,解,方程两端对x求导数，得,例3 求椭圆,在点,处的切线方程.,解,所求切线斜率为,方程两边对x求导,得,首页,上页,下页,2.4隐函数的导数,将,代入上式，得,于是所求切线方程为,即,例4 求幂指函数,的导数.,解,两边取对数，得,两边对x求导，得,先取对数,再利用隐函数的求导法求导的方法叫做对数求导法.,对数求导法

11、,首页,上页,下页,2.4 隐函数的导数,例5,的导数.,解,例6 求函数,的导数.,解,两边取对数，得,两边对x求导数，得,首页,上页,下页,例7 求函数,2.4 隐函数的导数,的导数.,解,两边对x求导数，得,首页,上页,下页,例8 求函数,的导数.,解,类似地，可求得,2.4 隐函数的导数,两边对x求导数，得,首页,上页,下页,2.5 初等函数的导数,1. 导数的基本公式,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,3. 复合函数的求导法则,首页,上页,下页,2.5 初等函数的导数,1. 导数的基本公式,首页,2.5 初等函数的导数,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则

12、,首页,上页,下页,例1 设,，求,解,例2 设,，求,解,2.5 初等函数的导数,首页,上页,下页,2.5 初等函数的导数,例3 设,，求,解,例4 设,，求,解,首页,上页,下页,2.6导数的经济意义,1. 边际分析,2.函数的弹性,首页,上页,下页,2.6导数的经济意义,1. 边际分析,一般地,设函数,可导，则导数,叫作边际函数.,成本函数,的导数,叫作边际成本，收入函数,的导数,叫作边际收入，利润函数,的导数,叫作边际利润.,“平均”,“边际”,首页,上页,下页,例1,某产品生产x个单位的总成本C为x的函数,求:（1）生产1000件产品时的总成本和平均单位成本 （2）生产1000件产品

13、时的边际成本,解,（1）生产1000件产品的总成本为,每件产品的平均成本为,（2）,2.6导数的经济意义,首页,上页,下页,2.6导数的经济意义,例2,某企业每月生产的总成本C（千元）是产量x（吨）的函数,如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润.,解,首页,上页,下页,2.函数的弹性,定义,设函数,可导，函数,在x处的增量为,，自变量的增量为,，则比值,分别称为在点x处函数y的相对改变量及自变量x的相对改变量.,当,时，两个相对改变量之比的极限,2.6导数的经济意义,首页,上页,下页,2.6导数的经济意义,表示在点x处函数y的相对变化率,称为函数y=f(

14、x)在点x处的弹性,记作,经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性.,例3,某部门对市场上某种商品的需求量Q与价格P之间的关系进行研究后，建立了下面的函数关系,试求在 、 、2（元）的价格水平下，需求的价格弹性.,首页,上页,下页,2.6导数的经济意义,解,首页,上页,下页,2.6导数的经济意义,例4,某商品的需求函数为,（1）求需求的价格弹性. （2）讨论当价格为多少时，需求是单位弹性、低弹性和有弹性的？,解,（1）,（2）,首页,上页,下页,2.7 高阶导数,如果函数,的导函数,仍然可导，则我们把,的导数叫作函数,的二阶导数，记作,即,一般地，,的,阶导数的导数叫作,的,阶导

15、数，分别记作,首页,上页,下页,例1,求函数,(a,b,c,为常数)二阶导数.,解,对,依次求导，得,例2,设,，求,解,2.7 高阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.,首页,上页,下页,例3,证,验证函数,（C1,C2为常数）的二阶导数,满足关系式,例4,求由方程,所确定的隐函数,的二阶导数,解,2.7 高阶导数,首页,上页,下页,例5,求,的,阶导数.,解,一般地，可得,例6,解,求,的,阶导数.,2.7 高阶导数,一般地，可得,首页,上页,下页,例7,求,的,阶导数.,解,例8,求,( 为任意常数)的,阶导数.,解,一般地，可得,2.7 高阶导数,一般地，可得,首页,上页,下页,

16、例9,已知物体作直线运动的方程是,(,都是常数),求物体运动的加速度.,解,2.7 高阶导数,速度,加速度,首页,上页,下页,2.7 高阶导数,例10,已知物体运动的方程为,，其中,都是常数。求物体运动的加速度.,解,首页,上页,下页,2.8 函数的微分,1. 微分的定义,2. 微分的几何意义,3. 微分公式与微分运算法则,4. 微分在近似计算中的应用,首页,上页,下页,2.8 函数的微分,1. 微分的定义,定义,设函数,在点,处可导，则,叫作,在点,处的微分，记作,此时，也称函数,在点,处可微.,例1,求函数,当,，,时的增量及微分.,解,即,微商,首页,上页,下页,2.微分的几何意义,的纵

17、坐标对应于,的增量.,2.8函数的微分,N,M,）,函数,在点,的微分就是曲线,在点,处的切线,首页,上页,下页,3.微分公式与微分运算法则,I.微分的基本公式,2.8函数的微分,首页,上页,下页,II函数的和、差、积、商的微分法则,2.8函数的微分,其中u，v都是x的函数，C为常数.,. 复合函数的微分法则,复合函数的微分法则,如果,且都可导，,则复合函数,的微分,微分形式不变性,首页,上页,下页,例2,设,，求,解 法一 利用微分的定义,解 法二 利用微分形式不变性,2.8函数的微分,首页,上页,下页,例3,设,，求,解,2.8函数的微分,首页,上页,下页,例4,求方程,确定的隐函数,的微分,及导数,解,2.8函数的微分,首页,上页,下页,例5,在下列等式左边的括号中填入适当的函数，使等式成立.,解,（1）,一般地，有,（2）,一般地，有,2.8函数的微分,首页,上页,下页,4.微分在近似计算中的应用,由微分的概念知，当,，且当,很小时，有,（1）,（2