1.3.2_函数的奇偶性

1、1.3.2函数的奇偶性,引 例：,问题：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值,解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-)=(-)2= f()= 2=,f(-2)=f(2)f(-)=f(),x,y,o,问题：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？,思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?,函数y=f(x)的图象 关于y轴对称,1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(x)=f(-x),三、偶函数的定义,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x

2、)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。,解: g(-2)=(-2)3=-8 g (2)=8,g(-1)=(-1)3=-1 g(1)=1,g(-x)=(-x)3=-x3,思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?,g(-2)= - g(2) g(-1)= - g(1) g(-x)= - g(x),-x,g(-x),x,g(x),问题.已知g(x)=x3,画出它的图象,并求出g(-2),g(2),g(-1), g(1)及g(-x),函数y=f(x)的图象 关于原点对称,1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(-x)=-f(x),五、奇函数的定义,如

3、果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=- f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function) 。,奇函数的图象(如y=x3 ),偶函数的图象(如y=x2),o,a,P/(-a ,f(-a),p(a ,f(a),-a,(-a,-f(a),(-a,f(a),偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴 对称,那么这个函数是偶函数.,奇函数的图象关于原点对称. 反之,若一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数是奇函数.,对奇函数、偶函数定义的说明:,(1).函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。,(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或

4、偶函数,那么我们就说 函数f(x) 具有奇偶性。,问题： (1)定义在-2,7上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？ (2)定义在-2,2上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？,练习1. 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _, f(x)=x _,奇函数,f(x)=x -2 _,偶函数, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,例1：判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2,

5、解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),即 f(-x)= - f(x),f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R,即 f(-x)= f(x),先求定义域，看是否关于原点对称;, 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:,再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。,x,y,O,1,-1,-2,也可以通过图像 的对称性判断函数的奇偶性,练习2. 判断下列函数的奇偶性,(3) f(x)=5,(2) f(x)= x2 +2，x-4,4)，若x（-4,4）呢？,(4) f(x)=0,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶,偶函数,奇函数,偶函数,非奇非偶,o,y,x,例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,解：画法略,例3、研究函数 的性质并作出它的图像,解：已知函数的定义域是x0的实数集，即xR|x0 分析略：请一位同学一边分析，一边画出函数图像来！,由图像可以看出这个函数的单调区间是什么？,练习3 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。,本课小结:,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=