信号、系统与数字信号处理 第9章 有限冲激响应（FIR ）数字滤波器设计.ppt

1、统具有IIR系统没有的许多特点，现在，FIR DF得到了,没有因果稳定问题，因为任何一个非因果的有限长序列,般是以相位的非线性为代价的。相对IIR系统，FIR系统,效的完成一些DF的设计。但IIR DF幅度特性的改善一,IIR DF由于吸收了AF的设计成果，所以可以简便、有,有限时宽，FIR系统可以利用FFT技术。总之， FIR系,越来越广泛的应用。,第9章 有限冲激响应（FIR ）数字滤波器设计,1、系统函数,有N-1个零点，在原点处有N-1阶极点。,频响,2、有限序列的DFT,DFT,IDFT,3、频域取样与插值的关系。,取样,插值,9.1、线性相位FIR系统的条件和特点,线性相位FIR数

2、字滤波器也称线性相位FIR 系统。线性,相位FIR 系统广泛应用在数据通信、图像信号处理等领,域，在实际工程中具有重要意义。但并不是FIR 系统就,具有线性相位，只有满足一定条件的FIR 系统才具有线,性相位。,1、线性相位条件,线性相位相移与频率成正比,的对称性，可以得到两种类型的线性相位,或是,实数，,是实数，且满足,由,偶对称,(1),其中,幅度函数，是实函数，可有正负。,相位函数，是严格的直线。,0,为实序列，且有,FIR滤波器具有严格的线性相位，群时延为,个采,样周期，如图9-1所示。,是幅度函数，,其中,是实函数，可有正负。,是相位函数,的截距。,是一条不过原点的直线，在零频处有,

3、0,的相移 ，如图9-2,所示。,为实序列，且有,FIR滤波器是具有线性相位的正交网络。不仅有,个采样周期的延迟，而且还产生,0 1 2 3 4 5 6,(1) 第一类线性相位滤波器,如图9-3所示。,2、 幅度函数特性,N为奇数,例,由 (9-4) 式第一类线性相位滤波器的幅度函数为,和式内，第 N项与第N-1项相同，系数可以合并，中,中间项,另算。,或取后一半：,令：,这样,因为,所以,在,这些点偶对称；,这些点偶对称。,在,即,0,第一类线性相位滤波器幅度如图9-4所示。,(2)第二类线性相位滤波器,例 N=6，如图9-5所示。,N为偶数,第二类线性相位滤波器的幅度函数为,分析：同(1)

4、 ，可以两两合并，无单独项。,这样,或取后一半：,令：,其中,即,所以,在,奇对称，不宜做高通。,时为零，且奇对称；,在,因为,0,第二类线性相位滤波器幅度如图9-6所示。,N为奇数,4 5 6,0 1 2 3,(3)第三类线性相位滤波器,例 N=7 ，如图9-7所示。,第三类线性相位滤波器的幅度函数为,中间项,和式内，第 N项与第N-1项相同，系数可以合并，中,令：,取后一半：,其中,第三类线性相位滤波器幅度如图9-8所示。,即,所以,因为,这些点奇对称。,这些点奇对称；,在,在,3 4 5,0 1 2,(4)第四类线性相位滤波器,N为偶数,例 N=6如图9-9所示。,第四类线性相位滤波器的

5、幅度函数为,分析：同(3) ，可以两两合并，无单独项。,这样,或取后一半：,令,其中,即,所以,偶对称，不宜做低通。,在,时为偶对称；,在,因为,时为零,在,0,第四类线性相位滤波器幅度如图9-10所示。,3、线性相位 FIR系统零点特性,因为线性相位滤波器的系统函数有：,所以，如果,或,结构,(1)单零点,综上所述，共有三种情况的零点。,对应一阶节结构,(2)在单位圆或在实轴上的双零点，对应的系统为二阶节,例,在单位圆上:,零极点如图9-11所示,零极点如图9-12所示,在实轴上,例9-1,例9-2,一组出现。,零极点如图9-13所示,(3)四个一组的复数零点，对应的系统为四阶节结构,为任意

6、复常数，由零点特性可推得此时零点为四个,例9-3,器。,从对幅度特性的讨论，我们知道四类FIR线性相位滤波,小结：,由这三种零点情况做成的基本一阶节、二阶节、四阶,节网络的级联，可以构成FIR系统。,第二类：,第四类：,第三类：,有单零点,有单零点,有单零点,在,在,在,滤波器类型，并在设计时遵循它们的约束条件。,了解了FIR线性相位滤波器的部分频率特性，使我们在,实际设计使用数字滤波器时，可根据需要选择合适的,9.2 FIR DF 的窗函数设计,1、窗函数设计基本方法,积分的结果一般是非因果无限时宽的IIR系统。,希望得到的是理想滤波器频响为Hd(e j) ，对应的脉冲,响应是,n=,1,0

7、,1,要做的是用一个有限时宽的h(n)去逼近hd(n)，从而使,所设计的系统频响H(e j)逼近Hd(ej)。,其频响特性为,Hd(ej),图 9-14是一个截止频率为c ，时延为 的理想低通,0,1,c,c,d(),对应的冲激响应,0,如图9-15所示，它是一个物理不可实现的系统。,hd(n)是以为中心，偶对称无限长非因果序列。,hd(n),c/,+c/,c/,n,h(n)。为了保证h(n)的因果性，我们取hd(n)的0N1一,这是一个物理不可实现的系统。如何用一个有限长因,果序列逼近它？最简单的方法是直接截取它的一段做,段，这可以由乘矩形序列RN(n)实现；为了保证系统的,称中心，则取=(

8、N 1)/2。,线性相位，h(n)要满足偶对称条件， 应该是h(n)的对,上式所表示的h (n)与hd(n)关系，是hd(n )乘以矩形截短,函数，可以认为是通过一个矩形 “窗”看到的hd(n ) 。如,果hd(n)乘以不同形式的截短函数， h (n)就是通过不同,形式“窗”看到的hd(n) 。这种用hd(n )乘以不同截短函数,设计FIR滤波器的方法即为窗函数设计法。,其中,在窗函数设计中 h(n)与hd(n)的关系可记为,h(n) =hd(n) w(n),w(n)是窗函数,在FIR数字滤波器窗函数设计中，就是要选择合适的,窗函数w(n)，达到所需要的设计要求。,对窗函数的要求, h (n)

9、。而h(n) =hd(n) w(n) H (e j)= Hd(e j) W (e j),希望得到的是hd(n) Hd(e j) ，实际可实现的是H (e j),要保证线性相位滤波器性质，以及尽量逼近理想Hd(e j),对w(n) ，或W (e j)有一定的要求。,由线性相位的约束条件，原本hd(n)所具有的对称性，,经加窗函数后的h(n)仍应不变。即,这就要求 w(n) = w(N1n),又因为,当,时,着窗函数w(n)是无限时宽序列，而这是不可能的。所以,总是会有频谱泄漏存在。我们可以做的是，设计频谱,能量尽量集中在低频（主瓣）的窗函数。,能量尽量集中在低频（主瓣）的窗函数。,H (e j)

10、= Hd(e j),以低通为例讨论。,2、矩形窗,显然w(n) = w(N1n),加了矩形窗后的H (e j)与理想的Hd(e j)相差多少？,如图9-16所示。,(1) 矩形窗函数的频率特性,其中,当,面积不变；主瓣宽度,宽度,主瓣高度,当,面积不变。,宽度,旁瓣高度,旁瓣峰值衰减 13dB，第一旁瓣比峰值低13dB。,-13,0,WR() ,20lgWR() ,N1=2N2,N2=N1/2,2/N1,2/N2,2/N1,2/N2,4/N1,4/N2,2、加矩形窗函数后FIR系统的频响H(e j),W(e j)= WR(e j)ej，,理想滤波器的频响为,Hd(e j)= e j c,矩形窗

11、函数的频响为,所以系统的频响H(e j)是二者的卷积，即,是两个幅度函数的卷积。,其中：,0,0,卷积造成H()的频响起伏如下：,c,c,Hd(),WR()=WR(),c,=0,0,即当c 2/N，H(0)近似等于WR()的全部面积。, =0,WR()=WR(),c,c,=0,若c 2/N,0,卷积值正好是H(0)的一半，即,=c,=c,WR(),c,c,0,整个主瓣在积分区间内，一个大的旁瓣在积分区间外，,此时卷积值最大，响应出现峰值。,c,WR(),=c 2 /N，,=c 2 /N，,c,整个主瓣在积分区间外，一个大的旁瓣在积分区间内，,此时卷积值最小，响应出现谷值。, =c +2/N,W

12、R(),c,c,0,1,0,的主、旁瓣在通、阻带的面积变化而起伏。, 0的情况可以对称得到。,当在=c 2/N两边变化，卷积值WR()随着,=4/N 过渡带宽与主瓣宽度相同。,c,c,c +2/N,H()/H(0),c 2/N,不能改变主、旁瓣面积的相对比。,(3)阻带最大衰减为20lg0.08921dB，,(4)截取长度N的影响,分析H()/H(0),的主瓣宽度4/N；,(1)在c 的两边c 2/N，H()出现最大肩峰值。在肩,峰的两侧形成长长的余振，N越大旁瓣越多余振越长。,(2) 肩峰值之间形成H()的过渡带，其宽度等于WR(),防卫度,最小衰减（防卫度），只有改变窗函数。,N变化阻带最

13、小衰减（防卫度）不会改变。要改变阻带,布斯效应,不能改变肩峰值的大小，只能改变起伏的密度吉, N过渡带=4/N ,加矩形窗的频响（分贝）如图9-18所示。,矩形窗的主要数据如下,W(ej)=WR()ej，,过渡带=4/N，与主瓣宽度相同,旁瓣峰值衰减-13dB，阻带最小衰减21dB。,w (n)= RN (n)，,=(N 1)/2,-21,2/N1,2/N2,20lgH (),因为过渡带宽,用矩形窗函数设计的滤波器阻带最大衰减只有21dB，这,是由矩形窗与理想特性频响卷积后产生的肩峰值确定的。,而21dB的阻带衰减在工程上往往是很不够的，因此要改,变滤波器的阻带最小衰减指标，只有改变窗函数的形

14、状，,减小窗函数与理想特性频响卷积后产生的肩峰值。另外，,带，还希望主瓣宽度要尽量的窄。,等于主瓣宽度，为了获得较陡的过渡,3、其它窗,一对矛盾，设计中往往是用过渡带的加宽换取阻带衰减,的提高。,矩形窗频响有一个大的旁瓣如图9-16a所示，是使H(),0，没有过渡的变化。为此可以把矩形窗的顶部缩窄，,产生大肩峰的原因，这是因为矩形窗RN(n)的取值非1即,实际应用中是希望在不加宽过渡带宽的情况下，提高阻,这样做的代价是加宽了主瓣宽度（过渡带宽度），而,使窗函数的两端平缓过渡到零，以期减少旁瓣的幅度。,带衰减。从下面分析可知，阻带衰减与过渡带宽实际是,，比矩形窗宽了一倍；,过渡带,阻带最小衰减2

15、5dB(防卫度)，只比矩形窗提高了4dB,介绍几种常用窗函数,(1)Bartlett(巴特利特)窗（三角窗）,(两个(N1)/2矩形窗卷积),若N1,(2)Hanning（汉宁）窗升余弦窗,幅度谱如图所示,0.5WR(),0.25WR(2/N),0.25WR(+2/N),2/N,4/N,0,4/N,W(),4/N,此时幅度函数为三项频谱之和。,由三部分频谱的叠加，使旁瓣得到很大的抵消，使能量,有效的集中在主瓣之内。不过主瓣的宽度增加了一倍。,升余弦窗的技术指标为,过渡带=8/N（主瓣宽度）,旁瓣峰值衰减31dB,阻带最小衰减44dB,(3) Hamming（海明）窗改进升余弦窗,若N1，则上式

16、可改写为,与升余弦窗相比在过渡带相同情况下，获得了更好的,改进升余弦窗的技术指标为,过渡带=8/N（主瓣宽度）,旁瓣峰值衰减44dB,阻带最小衰减54dB,旁瓣抑制及阻带衰减。,(4) Blackman（布莱克曼）窗二阶升余弦窗,五部分叠加,若N 1,过渡带=12/N（主瓣宽度）,旁瓣峰值衰减57dB,阻带最小衰减74dB,以上几种窗函数都是以一定的主瓣加宽为代价，换取,旁瓣抑制。Kaiser（凯塞）窗是可以调整主瓣宽度与旁,瓣抑制之间交换关系的一种窗函数。,(5) Kaiser（凯塞或凯泽）窗,增长上去。,主瓣宽度与旁瓣衰减的关系。,凯泽窗的特点,时，,及,2）,从中点两边逐渐减小。,时，,

17、1）在中点，,窗函数的计算公式很难导出。凯泽给出了经验公式。,是可以选择的参数，由于贝塞尔函数的复杂性，这种,给定通带截止频率,，通带最大衰减,；阻带最低,频率,，最小阻带衰减,，则归一化过渡带宽为,滤波器阶数为,不同时凯泽窗不同。例如,，凯泽窗曲线近,似改进升余弦窗；,，凯泽窗曲线近似二阶升,余弦窗；,，凯泽窗就是矩形窗。,不同,的Kaiser（凯塞）窗曲线如图9-21所示。,其中,利用窗函数设计FIR线性相位滤波器的的优点是设计简,单，使用方便。,例9-4 设计一个线性相位低通数字滤波器，要求的频率,解,特性为：,由阻带指标决定用什么窗,取多少,由过渡带决定,矩形窗,偶对称,对,0,为方便

18、，实际取,因为,对,偶对称，只用计算一半，另一半对称得到,如图9-23所示，,及幅度特性,矩形窗一般不是最佳设计，但简单快速。,0,0.5,21 22,28 29,如图9-23所示。,（分贝），如图9-24所示。,及幅度特性,时，,例题中若,上式提供了一种设计FIR DF的方法。就是直接从频域,由此H(k)求出对应的H(z) 。,一个有限长序列可以用N个频率采样值唯一确定。,出发，对理想频响Hd(e j)采样，其采样H(k) =Hd(k),式中,是单位圆上的取样值。,9.3 频率取样法设计线性相位FIR DF,1、基本原理,此系统的频响为,由上式可知在取样点上,式中,有关。,是内插函数,频率取

19、样法设计的目的是使 H(e j)逼近Hd(e j) ，逼近,程度与取样的疏密（N的多少），以及Hd(e j)的形状,1,0,(1)确定N,过渡带确定N。,2、设计方法,带。所以由所要求的,通带最后的取样点与阻带第一个取样点之间形成过渡,所以,即,N是Hd(z)在单位圆上的等间隔取样数。如图9-251所示,|Hd(e j) |,= 2/N,N =2 / ,可归纳为,(2)如果设计的是线性相位滤波器， H(k)要满足线性相位,滤波器的四种类型的幅度、相位条件。,。,(2) 确定,要求模频特性逼近理想特性，理想特性为,由图9-26模频特性可知,例9-5 用频率取样法设计一个线性相位 FIR 低通DF

20、。,解 (1) 确定,频率取样间隔,0,0,由线性相位FIR DF的幅度特性，、型不适合作低,通，又因为N为偶数，所以是型。,型幅度特性有,相位特性,所以,0 1 2 3 4,1,1,0 2 3 4,(3)单位脉冲响应h(n),3,0 1 2,-0.104,0.604,系统的脉冲响应如图927a所示。,可见h(n) =h(N1n)，只用计算h(0) 、h(1),0.604,-0.104,系统的横截型结构如图9-27b所示。,(4)系统函数H(z),(5) 频响,代入可得到,验证：将,其余部分由这两个三角函数延伸叠加形成。,法设计的系统函数，也可用于窗函数法设计的系统函数，,即可用于任何FIR系

21、统。而现在所讨论的频率取样设法，,是应用6.4的频率采样理论设计得到FIR系统的系统函,数。而由此得到的系统函数，既可以用7. 4讨论的频,率取样结构实现，也可以用横截型结构实现。,通过此例进一步指出本节讨论的频率取样设计法和7. 4,讨论的频率取样结构的联系与区别。二者的理论根据都是,6.4的频率采样理论。 不过，在7. 4中是用此理论建,立一种实现FIR系统的结构，这种结构既可用于频率取样,0,频率取样结构的取样点上频响与理想特性相同，其余由,各采样的内插函数延伸叠加。所以当采样点之间理想特,性越平缓，则内插值就越接近理想特性，逼近程度就越,好。例如：梯形频响,相反，采样点附近的理想特性变

22、化越剧烈，内插值与理,的多。这时，最小阻带衰减与矩形窗差不多，只有，,20dB左右一般,不满足设计要求。,我们用最优化方法,改善设计指标。,想值的误差就越大。因为在理想特性的每一个不连续点,附近，都会出现肩峰与起伏。例如，理想特性是一矩形，,它在频率取样间断点之间出现的肩峰与起伏就比梯形大,变，引起频响发生较大的起伏振荡，使阻带最小衰减指,标不高。可以用类似窗函数的方法以加宽过渡带为代,方法之一N保持不变，过渡带加倍，即在理想,价换取阻带衰减指标的增加。,特性不连续的边缘加过渡点。如图9-29所示加一个,Hc1 0、1的过渡点， Hc1可以通过最优化的方法求。,引起阻带衰减指标不理想的原因是理

23、想采样点之间的突,3、过渡带采样的计算机辅助设计（CAD）,0,，可,最小。这时，,阻带衰减可达44-54dB，但过渡带为=4/N 。,以找到一个Hc1使,所以频响是Hc1与的函数：,方法求。,Hc1,因为H(0), H(1), H(N1),都是已知的，只有Hc1待求。,例如：加一个过渡点Hc1 0、1 ， Hc1可以通过最优化的,=4/N,0,0,要进一步提高阻带衰减指标，可以将过渡点再加至2、,3、点，如图9-30所示。代价是过渡带也成倍,增加。,，,，边沿上设一点过渡点,，因为,，,且为低通，只能是型，即,，在8、9之间，,例9-6用频率取样法设计一个线性相位滤波器（低通），,其中,解：

24、频率间隔,又因为,取过渡点n=9,24 (型的滤波器Hk= H Nk ),这时，阻带最大衰减可达44dB,过渡带宽,，,。,若保持过渡带宽基本不变，还要进一步改善阻带,过渡带就会有两个过渡点。这使得阻带指标得到改善。,代价是N计算量增加、运算速度要增加、复杂。,例9-7 N加倍后再求上例，过渡点取,第二种方法(在原来有过渡点的情况下有效）。因,为当N加倍时，原来过渡区只有一个过渡点，现在,指标，只有通过N加倍，使过渡带内的过渡点增加。即,解,，在16、17之间，,取N=65,又因为,频率间隔,取过渡点,取奇数点同前一样为型，有,这时，阻带衰减增加24dB ，阻带最大衰减可达68dB,左右。,过

25、渡带宽,型的滤波器的相位,频率不易控制。尽管从理论上讲N充分大，就可以,频率取样设计法简单直观，实用，尤其适用只有少数,取样值为非零值的窄带滤波器，在此情况下计算量少，,结构简单。但因为所有取样点都在的 2/N整数倍上,(带为1，阻带为0，过渡带不为1或0)，通、阻带截止,接近任何给定频率，但N计算量 成本,低效。,类滤波器要根据具体情况，权衡多种因素。因此下面对,这两章讨论了 IIR 滤波器与FIR 滤波器的设计方法。,重点是根据频域指标设计滤波器系统函数。对IIR 滤波器,这两类滤波器作大概的比较。,处理领域中都占有重要地位。在实际应用中选择使用哪,设计书中详细研究了脉冲响应不变法和双线性变换法；,对FIR 滤波器设计主要讨论了窗函数法和频率取样法。,IIR和FIR 滤波器这两类频率选择性滤波器在数字信号,9.4 IIR滤波器与FIR 滤波器比较,的极点，所以要获得与IIR 滤波器相同的设计指标，FIR,从性能上看， IIR 滤波器系统函数的极点可以位于单位,圆内的任意地方，因此可以用较少阶数获得很高的选择,滤波器的阶数可能是IIR 滤