引言-留作自学.PPT.ppt

1、线弹性系统有限元分析的一般概念,应力与平衡方程,一点的变形由它的位移的三个分量来表示,作用在边界面 上的表面力集度为 ：,边界面 上的位移是给定的：,在 上,作用在i点的外荷载可由它的三个分量表示：,作用在微元体dV上应力表示为：,当微元体dV收缩为一个点时，可以将应力张量的分量写成一个（33）的对称矩阵，但人们习惯于用6个独立分量来表示：,考察微元体的平衡问题，首先由应力乘上对应的面积得到合力，然后沿三个坐标轴方向取平衡，注意dV=dxdydz，可以得到平衡方程：,弹性体内任一点满足平衡方程：,边界条件：,如在 上：,当然可以考虑形如 的边界条件，其中，a 为已知。,位移边界条件：,应力边界

2、条件：考察四面体ABCD的平衡问题,图中的DA、DB，DC分别平行于x，y，z轴，面积ABC（由dA）表示位于表面，如果 为dA的单位法线，则有 BDC=nxdA， ADC=nydA， ADB=nzdA,在 上,沿三个轴取平衡有：,在外力所施加的边界ST上 ，这些条件必须满足，对于集中荷载，可以视为作用在一个很小和有限区域上的分布荷载。,令： l=nx，m=ny，n=nz 则有：,在 上,在 上,下面从平衡方程入手推导弹性体平衡的虚功原理: 弹性体内任一点满足平衡方程：,或：,在给定表面力的边界上满足应力边界条件。,在 上,或,在 上,因为式（1）在弹性体内恒成立，因而：,成立,对(A)式第一

3、部分分部积分,高斯积分,微分公式,方程移项后得：,式（B）成立得条件：,为任意，在V+S上为连续函数，且具有分片连续的一阶偏导数，即（B）为恒等式。,取 为与真实位移场 偏离无限小的任意协调虚位移,即：,恒等式(B)变为：,（虚应变）永远成立,式（C）适用于任意连续介质。,虚功原理的一般形式：,物理意义：,外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体的虚应变能。,注意：虚功原理反映且仅反映平衡条件； 而且没有引入应力-应变关系。,单元离散化后，虚功原理为：,一般文献表述：,单位体积内应力所做的功称为应变能密度，记为,应变能密度 是 曲线右边的面积,对于一般的空间问题：,2 势能驻值原理,对于线弹性体，应

4、力应变关系为：,注意：这里引入了应力应变关系,则应变能密度为：,在弹性体整个体积内积分得弹性体的应变能：,弹性体的外力势能W :,外力势能用该力的数值P对于位移所做的负功表示，之所以是负功，是因为从变形状态到参考状态（未变形），施力点位移与外力P在指向上是相反的。,弹性体的总势能定义为应变能U与外力势能W之和,设u为弹性体的真实位移,u为虚位移(满足边界条件的与真实位移相差无限小的位移),u*指的是u的邻域内的容许位移。,微分算子,现在考察总势能在u的邻域内的变化值,(u*)= (u+ u), = (u*)- (u),=(u)+ + (1/2) 2,从而,其中：,若对选定的某个容许位移u，对任意的u都有, 0,则称u为的 “驻值点”, 和2 分别称为的一阶变分和二阶变分。,势能驻值原理 ：,在一切容许位移中，使总势能取驻值者必为真实位移，反之，真实位移必使总势能取驻值。,设容许位移u 使总势能 取驻值，则,由容许位移定义即知，u在V 上连续可导，并满足指定的位移边界条件 :,容许位移u使总势能 取驻值，即对任意u都有, 0,由（D）式可得：,由虚功原理即知， 必满足平衡方程和应力边界条件。,3 最小势能原理,在一切可能的位移中，真实位移u使弹性体的总势能取最小值。