函数的一般概念.ppt

1、1.3 函数的一般概念,映射 函数的概念 几个特殊的函数举例 函数的性质,一、映射,定义1：,设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X,中的每一个元素 x，均可找到 Y 中唯一确定的,元素 y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合,Y 的一个映射，记为 f ，或者更详细地写,将 x 的对应元 y 记作,1.映射的概念,并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的 原像(或称为逆像).,集合 X 称为映射 f 的定义域，,记作,，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合,称为映射 f 的值域，记为,概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：,有唯一 确定的 y=f

2、(x) 与之对应.,需要指出的是：,（1）映射要求元素的像必须是唯一的.,（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.,定义2：,设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射，,若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两 个不同元素 x1 x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满 足 y1 y2 ，则称 f 为单射；,如果映射 f 满足 Rf = Y ，则称 f 为满射；,如果映射 f 既是单射， 又是满射，则称 f 为双射（又称一一对应 ）.,2 一一对应,3.逆映射,逆映射：,如果映射 f 既是单射，又是满射，则,逆映射，,4.复合映射：,那就可以构造出一个,和,新的对应关系,复合映射.,二 函数概

3、念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对 函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚 的认识.,例 圆内接正多边形的周长,因变量,自变量,D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D .,函数值的全体构成的数集称为值域，记为：,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概

4、念, 坐标平面上的,函数的表示法,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,下页,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =0, + ).,(2),(1)常值函数 y=c. 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =c.,下页,三几个特殊的函数举例,(3) 符号

5、函数,其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf =-1, 0, 1.,(4) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,其定义域为D=(-, +), 其值域为 =Z.,（5）“非负小数部分”函数,它的定义域是,(6) 狄利克雷函数,其定义域为D=(-, +) , 其值域为 =0, 1.,(7) 取最值函数,y,x,o,x,o,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,分段函数,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,例2,解,故,三、函数的性质,有界,无界,1函数的有界性:,1函数的有界性:,四、函数的性质,f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.,所以函数无上界.,下页,有界函数举例,