第一章第二节-X射线衍射原理.ppt

1、（一）点阵与晶胞 1晶体与非晶体 1）晶体 长程有序 2）非晶体原子排列短程有序，长程无序 3）气体无序 2.点阵与晶胞（自己复习） 点阵：将晶体结构抽象为无数几何点在三维空间作周期性的规则排列所形成的三维阵列； 晶胞：构成点阵的基本重复单元； 晶胞选取原则： 3.十四种布拉菲点阵、七大晶系：,1.2.1 晶体学基础,1.晶胞参数：,（二）描述晶体点阵的几个参数,2.晶向与晶面指数的标定 晶向：穿过物质质点所组成的直线方向称为晶向； (1)晶向指数的确定方法： 即该直线方向以a、b、c为基矢的矢量系数；,(2)晶面指数（密勒指数） 晶面：由物质质点所组成的平面称为晶面； (1)晶向指数的确定方

2、法： 即该平面在a、b、c为基矢的截距系数的倒数之比；,(101),(111),(3)四轴定向法标识 亦称“密勒布拉菲指数”适于六方晶系标定。 (4)四轴定向标识与三轴定向标识的关系 四轴标识：各120夹角同一面上的三条线，另一与此面垂直：（h，k，i，l） i（h+k） h，k，l为三轴坐标中的晶面指数。 晶向：若三轴晶向指数u，v，w，则四轴为 2u-v/3，2v-u/3，-u-v/3，w 对于立方晶系，凡同名的晶向与晶面均互相垂直。,3矢量代数计算 （1）叉积 两个矢量的叉积（矢量积）ab为另一矢量c，c垂直于a及b，大小为absin，乘积数值等于矢量a、b所作平行四边形的面积。 单胞体

3、积为 V （ab）c （cb）a （ac）b （2）点积 两矢量的数量积（即点积） 为以数量，其值等于二矢量的模及其夹 角余弦的连积。 a babcos,4.晶面间距与晶面夹角 （1）晶面间距 用dhkl表示，若ABC面为某平行晶面族中最靠近坐标原点的一个晶面(hkl)。 根据晶面指数的定义可知， ABC面在晶轴a、b、c上截距分别为1/h、1/k、1/l。很显然a/h在晶面法线nhkl上的投影就等于这个晶面的面间距d。 即: dhkl=（a/h）nhkl =（b/k）nhkl =（c/l）nhkl 由右图可知，ABC面的单位法向量 可表示为：,图12 晶面间距的计算,（2）晶面夹角（） 可用

4、晶面法线的夹角来表示，若二晶面的单位法向量为n1、n2 则 cos=n1n2 若二晶面为（h1k1l1）、（h2k2l2） 计算晶向夹角时，把上述的晶面指数换成晶向指数即可。,10,5 、干涉指数,图1-11 （010）与（020）面（干涉指数引例）,若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，与A1，A2，A3，一样，均以晶面指数（010）标识，但若进一步考虑二者晶面间距之不同，则可分别用（010）和（020）标识，此即为干涉指数。,重点,11,干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识。 干涉指数与晶面指数的关系： 若将（hkl）晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkln（n为正整数

5、）的晶面干涉指数为（nh nk nl），记为（HKL），dhkln则记为dHKL。 例如晶面间距分别为d1102，d110/3的晶面，其干涉指数分别为（220）和（330）。 干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布。,12,（三）倒易点阵,1.倒易点阵的定义 2.例易点阵基矢表达式 3.倒易矢量及其基本性质 4.晶面间距与晶面夹角公式 （倒易矢量的应用） 5.晶带定律（倒易矢量的应用）,1、倒易点阵的定义,倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间（几何）点（的）阵（列），此对应关系可称为倒易变换。 假设点阵参数分别为a、b、c、和a*、b

6、*、c*、*、*、*两个点阵的基矢间存在如下关系： 这两个点阵互为倒易，假设V为正点阵单胞体积，则 而,因（a b）/c*，故,同理有：,如果设V为倒易点阵的单胞体积，同样有如下关系：,正点阵单胞的体积V和倒易点阵单胞的体积V*之间也存在倒易关系：,（1-23）,正点阵基矢间夹角和倒易点阵基矢夹角间的关系,根据基矢间的夹角的定义，有,把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得到,最后得到,同理可得到：,（1-24）,16,式（1-23）与式（1-24）为对各晶系普遍适用的表达式，结合不同晶系特点可得到进一步简化。 以立方晶系为例：立方晶系有a=b=c，=，V=a3；将其代入式（1-24），则有

7、*=90 同理可得b*、c*、*、*，即 a*=b*=c*=1/a *=*=*=90,17,2、倒易矢量及其基本性质,以任一倒易阵点为坐标原点（以下称倒易原点，一般取其与正点阵坐标原点重合），以a*1、a*2、a*3分别为三坐标轴单位矢量。 由倒易原点向任意倒易阵点（以下常简称为倒易点）的连接矢量称为倒易矢量，用r*表示。 若r*终点（倒易点）坐标为（HKL）（此时可将r*记作r*HKL），则r*在倒易点阵中的坐标表达式为 （1-47） r*HKL的基本性质为：r*HKL垂直于正点阵中相应的（HKL）晶面，其长度r*HKL等于(HKL)之晶面间距dHKL的倒数。,18,图1-15 晶面与倒易矢

8、量（倒易点）的对应关系,19,图1-14 倒易矢量性质（与正点阵中对应晶面的关系）的导出,20,3、倒易点阵与正点阵（HKL）晶面的对应关系 一个倒易矢量与一组（HKL）晶面对应，倒易矢量的大小与方向表达了（HKL）在正点阵中的方位与晶面间距； （HKL）决定了倒易矢量r*HKL的方向与大小； 正点阵中每一个（HKL）对应着一个倒易点，该倒易点在倒易点阵中的坐标即为HKL； 若r*1与r*2均为某晶体的倒易矢量，则r*1r*2必定也是该晶体的倒易矢量。 倒易点阵的建立 已知晶体点阵参数，据前式可求得其相应倒易点阵参数。,4、晶面间距与晶面夹角,(1)晶面间距的计算,由倒易矢量的性质可知：倒易矢

9、量垂直于所对应的（HKL）晶面，其模大小是其晶面间距的倒数。,此表达式适于各个晶系,对于立方晶系：,其倒易点阵的基矢为：,故有：,带入上式可得：,即：,采用同样的方法可以求得其它晶系的晶面间距的公式表达式；,(2)晶面夹角的计算,假设已知（H1K1L1）和（H2K2L2），求两晶面的夹角；,由倒易矢量可知： 倒易矢量垂直于所对应的晶面，即与所对应的晶面的法向方向平行； 由此，可以得知两晶面的夹角即为两倒易矢量的夹角表示：,此表达式适于各个晶系;,对于立方晶系：,其倒易点阵的基矢为：,由此可以得出其两晶面的夹角：,25,5、晶带定律,晶体中，与某一晶向uvw平行的所有（HKL）晶面属于同一晶带，

10、称为uvw晶带。 晶向uvw中过（点阵坐标）原点的直线称为晶带轴，其矢量坐标表达式为 ua+vb+wc=0（a、b、c为点阵基矢）。 由于同一uvw晶带各（HKL）晶面中法线与晶带轴垂直，也即各（HKL）面对应的倒易矢量r*HKL与晶带轴垂直，故有 得 Hu+Kv+Lw=0 此式称为晶带定理,26,同一uvw晶带中各（HKL）面对应的倒易（阵）点（及相应的倒易矢量）位于过倒易原点O*的一个倒易（阵点）平面内。 反之，也可以说过O*的每一个倒易（阵点）平面上各倒易点（或倒易矢量）对应的（正点阵中的）各（HKL）晶面属于同一晶带，晶带轴uvw的方向即为此倒易平面的法线方向，此平面称为(uvw)*0

11、零层倒易平面。 在倒易点阵中，以uvw为法线方向的一系列相互平行的倒易平面中，(uvw)*0即为其中过倒易原点的那一个倒易平面。 uvw晶带与(uvw)*0零层倒易平面的关系如图1-16所示。,27,图1-16 uvw晶带与(uvw)*0零层倒易平面,28,若已知uvw晶带中任意两晶面(H1K1L1)与(H2K2L2)，则可按晶带定理求晶带轴指数。按式（1-53），有 H1u+K1v+L1w=0 H2u+K2v+L2w=0 解此联立方程，得,29,应用 晶带方程是判别晶面平行某晶向的条件，也是判别晶面属于某晶带轴的条件。,1.2.2 布拉格方程,（1）X射线衍射概述,电子散射：X射线照射到晶体

12、时，被晶体中电子散射，每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率同位相的电磁波。,31,原子散射：原子内各电子散射波相互干涉合成一个新的散射波源，它们各自向空间辐射与入射波同频率同位相的电磁波；,晶体衍射：由于晶体内原子的周期排列，这些原子散射波将相互产生干涉，从而产生晶体衍射。,高温超导材料,34,衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结果。 衍射波的两个基本特征衍射线（束）在空间分布的方位（衍射方向）和强度，与晶体内原子分布规律（晶体结构）密切相关。,35,（2）布拉格实验,设入射线与反射面之夹角为，称掠射角或布拉格角，则按反射定律，反射线与反射面之夹角也应为。,3

13、6,布拉格实验得到了“选择反射”的结果，即当X射线以某些角度入射时，记录到反射线（以Cu K射线照射NaCl表面，当=15和=32时记录到反射线）；其它角度入射，则无反射。,38,（3）布拉格方程的导出,考虑到： 晶体结构的周期性，可将晶体视为由许多相互平行且晶面间距（d）相等的原子面组成； X射线具有穿透性，可照射到晶体的各个原子面上； 光源及记录装置至样品的距离比d数量级大得多，故入射线与反射线均可视为平行光。 布拉格将X射线的“选择反射”解释为： 入射的平行光照射到晶体中各平行原子面上，各原子面各自产生的相互平行的反射线间的干涉作用导致了“选择反射”的结果。,39,设一束平行的X射线（波

14、长）以 角照射到晶体中晶面指数为（hkl）的各原子面上，各原子面产生反射。 任选两相邻面，反射线光程差： =ML+LN=2dsin 干涉一致加强的条件为=n，即 2dsin=n 式中：n为反射级数，d为（hkl）晶面间距，即dhkl。,41,（4）布拉格方程的讨论,1）描述了“选择反射”的规律。 2）表达了反射线空间方位（）与反射晶面面间距（d）及入射线方位（）和波长（）的相互关系。 3）“反射线”实质是各原子面反射方向上的相干散射线，即各原子面反射方向上散射线干涉一致加强的结果，即衍射线。,42,4）布拉格方程由各原子面散射线干涉条件导出，即视原子面为散射基元。原子面散射是该原子面上各原子散

15、射相互干涉（叠加）的结果。,43,5）干涉指数表达的布拉格方程 （5-2） （5-3）,6）衍射产生的必要条件 “选择反射”即反射定律+布拉格方程是衍射产生的必要条件。 即当满足此条件时有可能产生衍射；若不满足此条件，则不可能产生衍射。,44,布拉格方程反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化，未反映出晶胞中原子的种类、数量和位置。,45,三、衍射矢量方程,“反射定律+布拉格方程” ，可用一个统一的矢量方程式即衍射矢量方程表达。 设s0与s分别为入射线与反射线方向单位矢量，s-s0称为衍射矢量，,46,由图亦可知s-s0=2sin，故布拉格方程可写为s-s0=/d。综上所述，“反射定律+布拉格方程

16、”可用衍射矢量（s-s0）表示为： 由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量r*HKL/N且r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可写为 (s-s0)/=r*HKL(r*HKL=1/dHKL) 此式即称为衍射矢量方程。,47,四、厄瓦尔德图解,讨论衍射矢量方程的几何图解形式。,48,该三角形为等腰三角形（s0=s） s0终点是倒易（点阵）原点（O*） 而s终点是R*HKL的终点，即（HKL）晶面对应的倒易点。 s与s0之夹角为2，称为衍射角，2表达了入射线与反射线的方向。 当一束波长为的X射线以一定方向照射晶体时，哪些晶面可能产生反射？反射方向如何？,49,按衍射矢量方程，晶

17、体中每一个可能产生反射的（HKL）晶面均有各自的衍射矢量三角形。各衍射矢量三角形的关系如图所示：,同一晶体各晶面衍射矢量三角形关系 脚标1、2、3分别代表晶面指数H1K1L1、H2K2L2和H3K3L3,50,由上述分析可知，可能产生反射的晶面，其倒易点必落在反射球上。据此，厄瓦尔德做出了表达晶体各晶面衍射产生必要条件的几何图解，如图所示：,厄瓦尔德图解,51,厄瓦尔德图解步骤为： 1.作OO*=s0； 2.作反射球（以O为圆心、OO*为半径作球）； 3.以O*为倒易原点，作晶体的倒易点阵； 4.若倒易点阵的倒易点落在反射球上，则该倒易点相应之（HKL）面满足衍射矢量方程；所对应的2表达了该晶

18、面可能产生的反射线方位。,52,凡是与反射球面相交的倒易结点都满足衍射条件而产生衍射。,反射球面与倒易结点相交产生衍射的实验条件： 1、单色的X射线照射转动的晶体 2、多色的X射线照射固定的单晶 3、单色的X射线照射多晶多晶就其不同位向而言，相当于单晶转动。,53,五、劳埃方程,由于晶体中原子呈周期性排列，劳埃设想晶体为光栅（点阵常数为光栅常数），晶体中原子受X射线照射产生球面散射波并在一定方向上相互干涉，形成衍射光束。,54,1. 一维劳埃方程,设s0及s分别为入射线及任意方向上原子散射线单位矢量，a为点阵基矢，0及分别为s0与a及s与a之夹角，则原子列中任意两相邻原子（A与B）散射线间光程差（）为 =AM-BN=acos-acos0,55,散射线干涉一致加强的条件为=H，即 a(cos-cos0)=H 式中：H任意整数。 此式表达了单一原子列衍射线方向（）与入射线波长（）及方向（0）和点阵常数的相互关系，称为一维劳埃方程。 亦可写为 a(s-s0)=H,56,衍 射 圆 锥,57,2. 二维劳埃方程,a(cos-cos0)=H b(cos-cos0)=K 或 a(s-s0)=H b(s-s0)=K,H及K为任意整数，0、0分别为S0与a及b的夹角，、为S与a及b的夹角。,58,在X方向和Y方向同时都满足衍射条件,a (co