第8章 相关与回归分析.ppt

1、第8章 相关与回归分析,1,第八章 相关与回归分析,第一节 相关分析 第二节 回归分析,第8章 相关与回归分析,2,第一节 相关分析,一、相关关系及其种类 二、相关关系的描述 三、相关关系的测定,上一页,下一页,返回本章首页,第8章 相关与回归分析,3,一、相关关系及其种类,现实世界中，一些现象在数量上的发展变化经常伴随着另一些现象数量上的发展变化，它们之间存在着一定的关系，这种关系可以分为两种类型，即函数关系和相关关系。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,4,函数关系 函数关系是指现象间存在的严格依存的、确定的关系，一种现象的数量变化完全决定着另一种现象的数量变化，这种关

2、系可以通过精确的数学表达式来反映。 例：圆的面积与半径的关系,第8章 相关与回归分析,5,相关关系 两个变量的关系确实存在，但关系数值是不固定的相互依存关系。 例：身高与体重的关系、施肥量与产量的关系。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,6,相关关系与函数关系的区别与联系 1.区别 函数关系是变量之间的一种完全确定性的关系。即某一变量发生变化，另一变量就有一个确定值与之相对应。 相关关系一般是不完全确定的关系，即对自变量的一个值，与之对应的因变量值不是唯一的。 函数关系通常可以用数学公式准确的表示出来；而相关关系则不能。,第8章 相关与回归分析,7,2.联系 变量之间的函数

3、关系和相关关系在一定条件下是可以相互转化的。 本来具有函数关系的变量，由于观察和实验中的误差，其函数关系往往通过相关关系表现出来；而当对现象之间的内在联系和规律性了解得更加清楚的时候，相关关系可以转化为函数关系。,第8章 相关与回归分析,8,相关关系的种类 按相关变量的多少，相关关系可分为单相关和复相关。 单相关：是指相关关系只涉及两个因素或变量（即一个自变量和一个因变量）。 复相关：是指相关关系涉及两个以上的因素或变量（即两个或两个以上的自变量和一个因变量）。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,9,按变量之间的相关方向不同，分为正相关和负相关。 正相关：两个变量之间的变化

4、方向一致，都是上升趋势或下降趋势。 例如：职工收入和企业劳动生产率 负相关：两个变量之间的变化方向相反，一个下降而另一个上升；或一个上升而另一个下降。 例如：企业劳动生产率与单位产品成本,第8章 相关与回归分析,10,按变量之间的相关形式不同，可分为线性相关和非线性相关。 线性相关（直线相关）：当一个变量变动时，另一个变量也相应发生大致均等的变动。 非线性相关（曲线相关）：当一个变量变动时，另一个变量也相应发生变动，但这种变动是不均等的。,第8章 相关与回归分析,11,根据相关的程度，可划分为完全相关、不相关和不完全相关。 完全相关：两个变量之间呈函数关系 不相关：两个变量彼此互不影响，其数量

5、的变化各自独立。 不完全相关：介于完全相关和不相关之间的。一般的相关现象都是指这种不完全相关。,第8章 相关与回归分析,12,相关分析 概念 相关分析是对具有相关关系的两个或两个以上的变量之间相互关系所作的统计分析。,第8章 相关与回归分析,13,相关分析的主要内容 确定现象之间有无关系 这是相关与回归分析的起点，只有存在相互依存关系，才有必要进行进一步的分析。 确定相关关系的表现形式（即属于哪一类相关关系） 只有判明了现象之间相互关系的具体表现形式，才能运用相应的相关分析方法去解决。 测定相关关系的紧密程度 现象之间的相关关系是一种不严格的数量关系，因此有时给人的感觉是松散的。相关分析就是要

6、从这种松散的数量关系中，判定其相关关系的密切程度。,第8章 相关与回归分析,14,二、相关关系的描述相关表与散点图,相关表与散点图是研究相关关系的直观工具。一般在进行定量分析之前，可以先利用它们对现象之间存在的相关关系的方向、形式和密切程度做一个大致的判断。,第8章 相关与回归分析,15,相关表 相关表是反映变量之间相关关系的统计表。 对于两个基本变量x和y，通过观察和实验，我们可以得到关于x和y的若干组数据，记为 。将这些数据按x的大小值由小到大或由大到小以序列表表示，即构成相关表。,第8章 相关与回归分析,16,例如：假设对10户居民家庭的月可支配收入和消费支出进行调查得到的原始资料如下：

7、 单位：百元 居民消费和收入的相关表 单位：百元,第8章 相关与回归分析,17,散点图 散点图，又称相关图，它是以直角坐标系的横轴代表变量x，纵轴代表变量y，将 一一对应的描点于坐标系上构成的。 例见书上P157,第8章 相关与回归分析,18,第8章 相关与回归分析,19,三、相关关系的测定相关系数,利用相关系数可从数量上准确的判断现象之间关系的密切程度,第8章 相关与回归分析,20,相关系数的定义 相关系数是测定两个变量之间线性相关关系密切程度的统计分析指标。,第8章 相关与回归分析,21,上一页,下一页,返回本节首页,相关系数的计算 相关系数的定义公式为：,第8章 相关与回归分析,22,例

8、1,上一页,下一页,返回本节首页,例2见P159,第8章 相关与回归分析,23,相关系数的意义 1.相关系数的取值范围在-1到1之间，即：-1r1, 2.r 大于0，为正相关； r 小于0， 为负相关 3.r=1 为完全正相关， r=-1 为完全负相关， r= 0 只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明两个变量之间没有相关关系。 .,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,24,4.相关关系密切程度的四级划分法,第8章 相关与回归分析,25,第二节：回归分析,一、回归分析的概念及分类 二、直线回归 三、曲线回归 四、在回归分析中应注意的若干问题,上一页,下一页,返回本章首

9、页,第8章 相关与回归分析,26,一、 回归分析的概念及分类,回归分析的概念 回归分析是对具有相关关系的变量，根据其关系的形态，选择一个合适的数学方程式（称为回归方程），用来近似的表示变量间的平均变化关系的一种统计分析方法。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,27,回归分析的种类： 按自变量个数的多少，可以分为一元回归和多元回归； 按自变量与因变量曲线的形式，可以分为直线回归和曲线回归。,第8章 相关与回归分析,28,回归分析与相关分析的区别与联系 1.区别 在相关分析中，各变量都是随机变量； 而回归分析中，因变量是随机的，自变量不是随机的，是给定的数值。,第8章 相关与回

10、归分析,29,在相关分析中，各变量之间是对等关系，调换变量的位置，不影响计算的结果； 回归分析中，自变量与因变量之间不是对等的关系，调换其位置，将得到不同的回归方程。,第8章 相关与回归分析,30,相关分析计算的相关系数是一个绝对值在0与1之间的抽象系数，其数值大小反映变量之间相关关系的程度； 回归分析建立的回归方程反映的是变量之间的具体变动关系，不是抽象的系数。根据回归方程，利用自变量的给定值可以估计或推算出因变量的数值。,第8章 相关与回归分析,31,2.联系 相关分析是回归分析的基础和前提 回归分析是相关分析的深入和继续,第8章 相关与回归分析,32,二、直线回归（线性回归）,一元线性回

11、归方程 一元线性回归分析的说明 在两个变量之间，必须确定哪个是自变量，哪个是因变量。 如果自变量和因变量的位置发生变化，方程也会改变。 回归方程的主要作用是用自变量来推算因变量。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,33,2.一元线性回归直线的拟和 若通过观察或实验，得到n对数据 的散点图上的散点接近分布在一条直线上，就可以认为变量x与y之间存在着线性关系，可设经验公式为： 式中，a与b为待定参数，a为直线的截距；b为直线的斜率，称为回归系数，b表示自变量x每变动一个单位时，因变量y的平均变动量。,第8章 相关与回归分析,34,利用最小二乘法确定未知参数a、b。 最小二乘法就

12、是通过使得 为最小来确定a、b的方法。由此可见，最小二乘法得到的直线与所有数据的距离平方和最小。,第8章 相关与回归分析,35,设 ，在给定了实际数据后，Q是a、b的函数，且最小值总是存在的，根据微积分的极值定理，对Q求相应于a和b的偏导数，并令其等于0，即可求出a、b。 化简后，得,第8章 相关与回归分析,36,解上述方程组，可得： 另外，对 两边求平均，可得到,第8章 相关与回归分析,37,注：回归系数b与相关系数r的关系,第8章 相关与回归分析,38,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,39,故直线方程为 回归系数b的含义 ：产品产量每增加一个单位，生产费用的平均增加1

13、2.9个单位。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,40,第8章 相关与回归分析,41,3.估计标准误差 如果将一系列 值与y值进行比较，可以发现其中存在着一系列的离差，有的是正差，有的是负差。将这一系列的离差进行综合得到一个指标，该指标即为估计标准误差，利用它可说明回归方程的代表程度。,第8章 相关与回归分析,42,估计标准误差的定义 估计标准误差是用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标，是指实际值与估计值的平均离差。,计算公式： 其定义公式为：,为了计算方便，根据 ，可以得出估计标准误差 的简化计算公式：,第8章 相关与回归分析,43,估计标准误差和回归方程代表性大小的

14、关系： 二者成反比关系 即估计标准误差越大，回归方程代表性越小 估计标准误差越小，回归方程代表性越大 例见P165,第8章 相关与回归分析,44,多元线性回归方程 在实际问题中，由于事物的复杂性，影响变量的因素往往不止一个，而是多个。比如，产品的成本不仅取决于该产品的生产量，而且也与原材料价格、技术水平、管理水平等有关。这时，要研究因变量与多个自变量的回归问题就要用多元回归的方法。,上一页,下一页,返回本节首页,第8章 相关与回归分析,45,多元线性回归方程为：,第8章 相关与回归分析,46,多元线性回归中最简单的是二元线性回归，其回归方程为：,第8章 相关与回归分析,47,三、曲线（非线性）

15、回归,主要介绍几种常见的非线性回归形式 双曲线型 双曲线的数学模型有多种，这里只介绍一种双曲线数学模型 若变量y随x的增加而增加（或减少），且最初增加（或减少）很快，以后逐渐减慢并趋于稳定时，可以选用双曲线作为其回归方程。,第8章 相关与回归分析,48,在双曲线表达式中，令 便可以把方程转化为一元线性方程： 于是，就可把原来的非线性回归问题转化为线性回归问题，然后按一元线性回归方程的求法求得参数a、b的值。,第8章 相关与回归分析,49,指数曲线型 指数曲线有多种类型，如 等 我们主要介绍 对于指数曲线，一般先取对数再作变量变换。 例如: ,等号两边取对数，有 则方程转化为： 在此基础上，由最

16、小二乘法可先计算出 ，再求反对数，计算出a、b的值。,第8章 相关与回归分析,50,幂函数曲线 若x和y都接近等比变化，可配合幂函数曲线。其方程为： 幂函数曲线方程的线性化，同样是先取对数，再作变量变换。 对上式等式两边取对数，得 则有:,第8章 相关与回归分析,51,对数曲线 对数曲线的方程为： 线性化方法为：,第8章 相关与回归分析,52,抛物线型 回归方程式为： 其线性化直接作变量变换即可 则有 这是一个二元线性回归方程，可利用最小二乘法计算 的值。,第8章 相关与回归分析,53,四、在回归分析中应注意的若干问题,1.在定性的基础上进行定量分析，是保证正确运用回归分析的必要条件。 2.进行相关分析，要注意现象质的界限及相关关系作用的范围，超出了这个范围，分析结果就会歪曲事实。,第8章 相关与回归分析,54,3.在回归方程中，回归系数的绝对值只能表示自变