定积分应用题第九讲(2).ppt

1、,第三章第四节,解定积分应用题 的方法,一. 方法指导,1. 定积分解决实际问题的步骤 (P182 ,1 ),第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的近似值,微分表达式,第二步 利用“积零为整 , 无限累加” 求出整体量 的精确值,积分表达式,这种分析方法称为 微元分析法 (或元素法 ),2. 定积分的主要应用及方法 ( P184 , 2 , 3 ),条、,段、,环、,带、,扇、,片、,壳等.,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,( P184 , 2 ),物理方面 :,基本方法 :,微元分析法,微元形状:,例1. 计算摆线,的一拱与,所围成的图形绕 y 轴旋转一周而

2、成旋,解:,转体体积 . (P347 例3),直线,薄壳体积,柱面面积,用柱壳法,体积元素,所求体积,偶函数,奇函数,例2. 设非负函数,且满足,曲线,与直线,及坐标轴所围图形面积为 2 ,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小 ? ( P193 例9 ),解: 当,时,由方程得,又,又,(2) 旋转体体积,令,得,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,例3. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解: 曲线与直线的交点坐标,曲线上任一点,到直线,的距离为,以,为数轴 u (如图) ,则,故所求旋转体体积为,例4.,设平面光滑曲线,求它

3、绕,上的圆台的侧面积元素,积分后得旋转体的侧面积,且,轴旋转一周所得到的旋转曲,解: 考虑位于,( P197 例13 ),面的侧面积.,侧面积元素,注意:,侧面积元素,不是,的线性主部,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为,薄片侧面积,例5.,试用定积分表示圆,绕 x 轴旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .,( P198 例14 ),上,半圆为,下,求体积 :,提示:,方法1. 利用对称性,方法2 . 用柱壳法,上,半圆为,下,求侧面积 :,上,半圆为,下,利用对称性,例6. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为,H ( H 2 R ) 的水池底 , 现将

4、其从水池中取出, 需,做多少功 ? (P202 题24),解:,建立坐标系如图 .,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,体积,重力,上升高度,提出水面后的微功为,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,例7.,泥后提出井口, 已知井深 30 m , 抓斗自重 400 N , 缆绳,为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底 , 抓起污,每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms , 在提升 过程中,污泥以20Ns 的速度从抓 斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓 斗提升到井口, 问克服重力需作多 少焦耳( J ) 功 ? (99考研),提示: 作 x 轴如图,将抓起污泥的抓斗由

5、,提升到,所作的功为,井深 30 m , 抓斗自重 400 N , 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms , 污泥以20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,提示: 作 x 轴如图.,例8. 设有一个半径为 R ,质量为 M 的均匀圆盘 , 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;, 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .,(P164 例10),解: 建立坐标系如图.,设圆盘面密度为,对应的,小圆环质量,对应于,的小圆环对轴 l 的转动惯量为,故圆盘对轴 l 的转动惯量为, 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图 .,对应于,的平行 y 轴的细条,关于 y 轴的转动惯量元素为