4 几何元素的投影.ppt

1、第四章 几何元素的投影,投影法及工程上常用的投影图,投射中心,一、投影法的基本知识,二、投影法的种类,1.中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对位置对投影的大小有影响。,投射中心,2.平行投影法,(a)斜投影法,(b)正投影法,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,工程图样多数采用正投影法绘制。,三、工程上常用的投影图,1.多面正投影图,2.轴测投影图,3.标高投影图,(a) 直观图,(b) 标高图,4.透视投影图,4.1 点的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,1.点在一个投影面上的投影,

2、一、投影面体系,2.三投影面体系的建立,水平投影面 - H,X,O,Y,Z,正面投影面 - V,侧面投影面 - W,H与V - OX,H与W - OY,V与 W - OZ,二、三投影面体系中点的投影规律,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,1.三投影面体系中点的投影,2.三投影面体系中点的投影规律,（3） aax =aaz 。,（1） aaX轴,（2） aa Z轴,例1.已知点的两个投影，求第三投影。,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,例2.已知A、B、C三点的两面投影，求作第三投影。,（1）X= aaz = aay =AW,3.点的直

3、角坐标与三面投影的关系,x,y,z,（2）Y=aax = aaz =AV,（3） Z= aax =aa y = AH,例3.已知点A(15,15,20)作出点的投影图。,O,4.投影面和投影轴上的点,a,b,C,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,A点在B点之前、之左、之上。,两点的相对位置,例4.已知点A在点B之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求点A的投影。,四、重影点的投影,c,d(c),d,(b),重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点

4、。,A、C为H面的重影点,被挡住的投影加( ),A、C为哪个投影面的重影点呢？,( ),4.2 直线的投影,三、直线上的点,四、两直线的相对位置,五、垂直两直线(一边平行于投影面),二、各种位置直线的投影特性,六、用直角三角形法求一般位置线段实长 及与投影面的夹角,一、直线的投影,一、直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,二、各种位置直线的投影特性,直线的投影特性,平行 投影反映线段实长 ab=AB,垂直 投影重合为一点 ab=0 积聚性,投影面平行线,一般位置直线,投影面垂直线,直线对于三投影面的位置可分为三类,1.一般位置直线,投影特性 （1）

5、ab、 a b 、 ab均小于实长 （2） ab、 a b 、 ab均倾斜于投影轴 （3）不反映、角的真实大小,2.投影面平行线,投影特性 （1） a bOX; ab OYW （2） ab =AB （3）反映 、角的真实大小,正平线只平行于正面投影面的直线。,投影特性 （1） ab OX; ab OZ （2） a b =AB （3）反映、角的真实大小,侧平线只平行于侧面投影面的直线。,投影特性 （1） a bOZ; ab OYH （2） ab =AB （3）反映、角的真实大小,例1.过点B作水平线AB的三面投影,长20mm,30，A点从点B向右、向后。,3.投影面垂直线,投影特性 （1） a

6、b积聚成一点 （2） a bOX; ab OYW （3）a b ab AB,正垂线 垂直于正面投影面的直线。,投影特性 （1） a b积聚成一点 （2） a b OX; ab OZ （3）abab AB,侧垂线 垂直于侧面投影面的直线。,投影特性 （1） ab 积聚成一点 （2） ab OYH; a b OZ （3）ab a b AB,判断下列直线对投影面的相对位置,a,一般位置,正平,铅垂,侧垂,侧平,三、直线上的点,若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,AC/CB=ac/cb= ac/ cb,定比定理,并将线段的同

7、名投影分割成与空间相同的比例。即：,例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1两段，求分点C的投影c、c 。,例3.判断点K是否在线段AB上。,a,b,另一判断法?,因k不在ab上，故点K不在AB上。,四、两直线的相对位置,1.平行两直线,若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,2.相交两直线,当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。,交点是两直线的共有点,两直线交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但 “交

8、点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,3(4 ),1(2),交叉两直线的投影及重影点可见性的判断,1(2),例4.过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例5.判断两直线的相对位置,平行,相交,交叉,相交,交叉,例6.过点A作直线AB与直线CD相交，交点距H面距离为20mm。,b,b,b,b,b,b,例7.作直线AB与直线PQ平行，与直线ED、HG相交。,五、垂直两直线(一边平行于投影面),若直角有一边平行于投影

9、面，则它在该投影面上的 投影仍为直角。,设 直角边BCH面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,直角投影定理,例8.过C点作直线与AB垂直相交。,d,AB为正平线, 正面 投影反映直角。,例9.作线段AB、CD的公垂线EF。,六、用直角三角形法求一般位置线段实长及 与投影面的夹角,1.求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,C,2.求直线的实长及对正面投影面的夹角角,|yA-yB|,|yA-yB|,C,|yA-yB|,例10.已知线段AB的正面投影ab和A点的水平投影a，且B点在A点

10、的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。,b,例11.已知线段AB的正面投影ab 和A点的水平投影a，且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。,b,b,例12.已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,例13.作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3,b,例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知AC为斜边，顶点B在直线NC上。,直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。 两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重

11、点掌握：,小结,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”

12、是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。,直角定理,4.3 平面的投影,一、平面的表示法,1.用几何元素表示平面,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,2.平面的迹线表示法,二、各种位置平面的投影特性,平行,垂直,倾斜,实形性,积聚性,类似性,平面的投影特性,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,平面对于三投影面的位置可分为三类,1.一般

13、位置平面,投影特性 （1） abc、 abc 、 abc均为ABC的类似形 （2） 不反映、角的真实大小,2.投影面垂直面,投影特性,铅垂面 正垂面 侧垂面,（1）abcd积聚为一条线 （2） abcd 、 abcd均为ABCD的类似形 （3）abcd与OX、OY的夹角反映 、角的真实大小,正垂面,投影特性,（1） abcd 积聚为一条线 （2） abcd 、 abcd均为ABCD的类似形 （3）abcd与OX、OZ的夹角反映 、角的真实大小,水平面 正平面 侧平面,3.投影面的平行面,投影特性,（1） abcd 、 abcd 积聚为一条线，具有积聚性 （2）水平投影 abcd 反映ABCD的

14、实形,正平面,投影特性,（1） abcd 、 abcd 积聚为一条线，具有积聚性 （2）正面投影 abcd反映ABCD的实形,侧平面,投影特性,（1）abcd 、 abcd 积聚为一条线，具有积聚性 （2）侧面投影 abcd反映ABCD的实形,三、属于平面的点和直线,1.平面上的直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,2.平面上的点,点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。,例1.已知平面由两平行直线AB、CD确定，试判断点M是否在该平面内。,t,s,t,s,例2.已知点K在ABC上，试求点K的水平

15、投影。,例3.已知点E在ABC上，试求点E的正面投影 。,例4.已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,3.包含直线作平面,S,过一般位置直线AB作铅垂面PH,过一般位置直线AB作正垂面SV,P,过一般位置直线可作投影面的垂直面,例5.过点A、B分别作正平面、正垂面，过CD作铅平面。,（2）作正垂面,（1）作正平面,（3）作铅垂面,4.属于平面的投影面平行线,例6.在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的 距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解？,例7.已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,b,c,k,b,解法一,解法二,例8.已知点K在ABCD平面上，且点K

16、距离H面10mm，距离V面15mm，试求点K的投影。,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线积聚性。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形实形性。 另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线, 平面上的点,一定位于平面内的某条直线上。, 平面上的直线,（1） 过平面上的两个点。,（2）过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,小 结,一、平行问题,直线与平面平

17、行,平面与平面平行,判别已知线、面是否平行；,4.4 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,有关线、面平行的作图问题有：,作直线与已知平面平行；,包含已知直线作平面与另一已知平面平行。,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面平行。,1.直线与平面平行,直线与平面平行的条件,例1.过M点作直线MN平行于平面ABC。,例2.判别直线AB是否平行于平面DEF。,结论：直线AB不平行于定平面,k,例3.过点D作正平线与平面平行。,m,例4.过点C作平面平行于直线AB。,例5.补全与已知直线平行的平面。,m,例6.已知线段MN=30mm，点N在点M之后，且线段MN与AB

18、C平行，完成MN和ABC的两面投影。,P,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,2.两平面平行,两平面平行的条件,m,n,r,s,结论：两平面平行,例7.试判断两平面是否平行。,例8.过交叉两直线AB和CD各作一平面,使它们互相平行。,例9.已知定平面由平行两直线AB和CD给定,试过点K作一平面平行于已知平面。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互相平行。,例10.试判断两平面是否平行。,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,直线与平面相交,平面与平面相交,二、相交问题,解决的问题是：,求交点、交线。,判别两者之间的相互遮挡

19、关系，即判别可见性。,平面与平面相交，交线是直线为两平面的共有线。,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直 接求出。,.一般位置直线与特殊位置平面相交,2.投影面垂直线与一般位置平面相交,k,铅垂线与一般位置平面相交 示意图,ab,判别直线的可见性,1,( ),3.一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。,4.一般位置直线与一般位置平面相交,以辅助平面求线面交点 示意图,4.一般位置直线与一般位置平面相交,步骤： 1.过AB作铅垂平面R。,2.求R平面与CDE的交线MN。,3.求交线MN与AB的交点K。,n