关于线性变换值域与核的问题研究

1、毕业设计毕业设计（ （论论文）文） 题 目：关于线性变换值域与核的问题研究 学生姓名：代婷 学 号： 2012010128 所在学院：金融与数学学院 专业班级：数学与应用数学 届 别：2014 届 指导教师：赵启林 皖西学院本科毕业设计（论文）创作诚信承诺书皖西学院本科毕业设计（论文）创作诚信承诺书 1.本人郑重承诺：所提交的毕业设计（论文），题目 是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽 窃别人的内容； 2.毕业设计（论文）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠， 文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已标注说明来源； 3. 毕业设计（论文）中无抄袭、剽窃或不正当引

2、用他人学术观点、 思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况； 4.本人已被告知并清楚：学校对毕业设计（论文）中的抄袭、剽窃、 弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业设计（论 文）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发 放的毕业证书、学士学位证书等严重后果； 5.若在省教育厅、学校组织的毕业设计（论文）检查、评比中，被发 现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学校 按有关规定给予的处理，并承担相应责任。 学生（签名）： 日期： 年 月 日 目 录 前言：前言： .2 2 1 1 线性变换线性变换与其对应的矩阵与其对应的矩阵之间的关系之间的关系

3、.2 2A 2 2 维数公式维数公式.3 3 3 3成立的条件成立的条件 .3 3)0( 1 V )0( 1 VV )( 4 4 已知线性变换的核和值域，构造其线性变换已知线性变换的核和值域，构造其线性变换 .7 7 5 5 关于两个线性变换关于两个线性变换的值域和核相等的条件的值域和核相等的条件 .9 9, 6 6 线性变换线性变换的核与最小多项式的关系的核与最小多项式的关系 .1212 7 7 特殊线性变换的值域与核特殊线性变换的值域与核.1313 参考文献：参考文献： .1414 线性变换的值域与核的研究 学生：代婷（指导老师：赵启林） （皖西学院金融与数学学院学院） 摘要： 了解线性变

4、换的一些基本概念，在此基础上为了探讨总结线性变换的值域与核的基 本性质和关系，研究了线性变换与其对应的矩阵之间的关系，维数公式以及 已知线A 性变换的核和值域，构造其线性变换，成立的条件，)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 几个问题根据上述的关系和结论论述在线性空间或矩阵理论方面的应用如线性变换的核 与最小多项式的关系关于两个线性变换的值域和核相等的条件特殊线性变换的值域与, 核。 关键词：线性变换；值域；核；线性空间 ；矩阵 Study of Range and Kernel of Linear Transformation Student: DaiTing(Faculty Advi

5、ser：ZhaoQiling) (College of Biological and Pharmaceutical Engineering, West Anhui University) Abstract: The understanding of some basic concepts of linear transformation, on the basis of the relationship between matrix summary, range and kernel of linear transformations and basic properties of linea

6、r transformation and the corresponding relation between A dimension formula, nuclear and range known linear transformation, construct the linear transform, )0( 1 )(V established conditions, according to the the conclusion discusses the ()0( 1 VV ) relationship and application in linear space or matr

7、ix theory aspects such as nuclear and the minimal polynomial of A to the linear transformation of two linear transformations A, range and nuclear B range and kernel equal conditions of special linear transformation, Keywords: linear transform; domain kernel;linear space ;matrix 前言： 为了后面叙述的方便，本文约定：表示

8、一个数域，表示数域上的一PVP 个维线性空间，表示上的一个线性变换，表示上的一组基，n,V n , 21 V 表示,在基下 所对应的矩阵，表示上的所有线性变换构A n , 21 VV 成的集合。由线性变换的理论知，它构成了一个线性空间；表示矩 n AAA, 21 阵的第 1 列、第 2 列，第列的列向量，表示由向量组An s L, 21 生成的子空间；表示线性变换的值域，即 s , 21 )(V() V ;表示线性变换的核，即，表| )(V)0( 1 |)0( 1 0)(Wdim 示线性空间的维数。 1 1 线性变换线性变换与其对应的矩阵与其对应的矩阵之间的关系之间的关系。A 向量组与向量组等

9、价，因而由向量根据上述的约定 n AAA, 21 n BBB, 21 则有：A nn ),(),( 2121 作映射：，即A)(A 有线性变换的理论可得：是到的一个同构映射。)(V nn P 如果：，此时可设,)0( 1 X x x x n n n , 21 2 1 21 从而可得：，即,反之也对。(0,) 21 AX n 0AX 不妨记： n PXAXXA , 0|0 1 若果，则存在使得：，)(VV)( 不妨设：;由，可得：YX nn ),(,),( 2121 )( ，即在基下的坐标（列向量）是的列向量组XAY n , 21 XA 的一个线性组合，也即是：， n AAA, 21 n AAA

10、LX, 21 反之也是对的，即若，则 n AAALX, 21 ,),( 21 X n )(V 上述结果事实上证明了： 命题 1.1.1：如果表示上的一组基，表示在基下 n , 21 VA n , 21 所对应的矩阵，则与同构，与|)0( 1 0)( 0|0 1 AXXA V 同构，且，与与有相同的线性关 n AAAL, 21 n , 21 n AAA, 21 系. 由同构的意义知，要研究和只要研究)0( 1 )(V 和即可. n PXAXXA , 0|0 1 n AAAL, 21 2 2 维数公式维数公式 命题 2.2.1 维数公式：dim 0 1 dim nV 证明：设：则，又 . rArd

11、imrnA )0( 1 dimrArAAAL n )(, 21 所以：dim )0( 1 AdimnAAAL n , 21 由上述的同构关系，故：dim)0( 1 dimnV )( 3 成立的条件)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 命题 3.1：如果的行向量组与等价A n , 21 T n T T AAA, 21 则)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 证明：假设：则与正交，又 n PXAXXAX , 0|0 1 T X n , 21 有条件可得与正交，即与正交，即 T X T n T T AAA, 21 X n AAA, 21 0 1 A n AAAL, 21 从而： 0 1

12、A0, 21 n AAAL 即 0 1 A n AAAL, 21 0 1 A n AAAL, 21 另一方面，有维数公式知：dim )0( 1 AdimnAAAL n , 21 故： 0 1 A n AAAL, 21 0 1 A n n PAAAL, 21 由前面所说的同构关系，从而可得：)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 例 3.1：设，则的行向量组： 121 303 121 AA ；的列向量组,其转置为1 , 2 , 1;3 , 0 , 3;1 , 2 , 1 321 A 321 ,AAA 1 , 3 , 1;2 , 0 , 2;1 , 3 , 1 321 TTT AAA 所以：这

13、就是说，向量 TTT AAA 223131 2 3 ; 6 1 3 2 )2 , 0 , 2( 6 1 ) 1 , 3 , 1 ( 3 2 组能被向量组线性表示，同理向量组也能被向量 321 , TTT AAA 321 , TTT AAA 321 , 组线性表示，因此向量组能被向量组等价，由命题 321 , 321 , TTT AAA 321 , 3.1 知 )0( 1 )(V )0( 1 VV )( 事实上：,而 1 0 1 | 1 0 1 0 1 LPkkA, 21321 AALAAAL 因此；而是非奇异 0 1 A 321 ,AAAL, 21 AAL 121 003 121 , 21 A

14、A 矩阵， 因此，再有同构关系可得： 0 1 A 321 ,AAAL 0 1 A 321 ,AAAL )0( 1 )(V )0( 1 VV )( 推论 1：如果是一个对称矩阵，则A)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 证明：由于是对称矩阵，故的行向量组,因AA T nn TT AAA, 2211 此的行向量组与等价，所以得到证明。A n , 21 T n T T AAA, 21 推论 2：如果是反一个对称矩阵，则A)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 证明：由于是反对称矩阵，故的行向量组AA ，因此的行向量组与 T nn TT AAA, 2211 A n , 21 等价，由命题 3

15、.1 知结论成立。 T n T T AAA, 21 推论 3：如果是可逆的，则A)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 证明：因为可逆，因此的行向量组线性无关，而的列向AA n , 21 A 量组也线性无关，从而线性无关，因此的行向量组 n AAA, 21 T n T T AAA, 21 A 与等价，从而由命题 3.1 知结论成立。 n , 21 T n T T AAA, 21 事实上，此时而)0( 1 ;0VV )( 命题 3.2：如果存在正整数使得：则：2kAAk)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 证明：根据同构和直和的有关结论，只要证明： 0 1 A 即可 0, 21 n A

16、AAL 对于任意的，可得且能够被 n AAALAX,)0( 21 1 0AXX 线性表示，即存在使得：，因此 n AAA, 21 YXAY 根据条件和立即可得：,又，)( 211 AXAYAXAAYA kkkk AAk0AX0AY0XXAY 这就是说： 0 1 A 0, 21 n AAAL 故结论成立。 命题 3.3：成立的充要条件是在某一)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 组基下的矩阵为其中是可逆矩阵。 B0 00 B 证明：充分性：设在在基下的矩阵为，由于可 nr , 21 B0 00 B 逆，因此由命题 3.1 推论 3 知因此的行向量组与等A n , 21 T n T T AA

17、A, 21 价，由命题 3.1 知结论成立。 必要性：在中取定一组基，将其扩充成的一组基：)0( 1 r , 21 V ，对于中的任意一个向量，若： nrr , 121 V nn xxx 1111 则 nnrrrr xxx 2211 )( 这就是说中任意一个向量都可以被线性表示，)(V nrr , 21 从而中的任意一组基可以被线性表示，)(V nr , 1 nrr , 21 所以 AAA(),( 1 rrrn nr , 1r , 2 r rn n ) 从而，故线性无关. rnr nrr ),( 21 因而也可以作为的一组基，因此， nrr , 21 )(V r , 21 可以作为的一组基，因

18、此可以被， nrr , 21 V nr , 1 r , 21 线性表示，不妨设： nrr , 21 12211 jrrjrjjj bttt njnrjrr bb 221 nrj, 1 由于；,当时0)( i ri., 2 , 1nrrj, 2, 1 njnrjrrjrj bbb 2 2 2 21 2 1 )( 这就是说：向量组可以被向量组 nrr , 21 线性表示，而线性无关，因此 nrr 2 2 2 1 2 , nrr , 21 向量组也线性无关，由于向量组 nrr 2 2 2 1 2 , 所以向量组可以被 nrr 2 2 2 1 2 , V nrr 2 2 2 1 2 , 的基向量线性表

19、示，即)(V nrr , 21 ),( 2 2 2 1 2 nrr B nrr ),( 21 根据上面的证明可得，矩阵是阶可逆方阵，且，Brn r , 21 可作为的一组基，在此组基下： nrr , 21 V ， r ,( 21 ), 21nrr nrrr 2 2 2 1 2 21 , nrr 2 2 2 1 2 , 0 , 0 , 0 B nrrr 0 00 ),( 2121 故结论成立。 例 3.2 设是三维线性空间上的线性变换，在基下的矩阵为：V 321 , 100 000 010 A 应用上述命题 3.2 知不能分解成与的直和。V)0( 1 )(V 事实上：;Pkk |)0( 1 1

20、PkkkkV 212211 ,|)( VLLV 32121 1 ,)(0 例 3.3：是维线性空间上的线性变换，且，则nV 2 )0( 1 )(V )0( 1 VV )( 证明：有条件知存在一组基，在此组基下所对应的矩阵为：， r E0 00 所以命题成立。 有前面的命题 3.2，立即可得： 命题 3.3：如果线性变换在某一组基下的矩阵为，其矩阵与某一个AA 若当矩阵 s rrr JJJdiagJ, 21 同理，其中中至少有一个特征值为 0，且其阶数的若尔当 s rrr JJJ, 21 2 块，则不能分解成与的直和。V)0( 1 )(V 4 已知线性变换的核和值域，构造其对应的线性变换 命题

21、4.1 已知是线性空间的两个子空间，且 21,W W V ，则存在线性变换，使得nWW)dim()dim( 21 ,)0( 1 1 W 2 )(WV 证明：设是其一组基，将此组基扩充成的一组 2 W r rW,)dim( 211 V 基： nr , 21 而是的一组基，对于任意的向量，若 nr , 1 V ， nn xxx 1111 作线性变换： ，)( nnrrnnrrrr xxxxxx 111111 )( 易知是线性变换，且且，从而,)0( 1 1 W 2 )(W 2 )(WV 另一方面，对于任意一个向量，必存在使得： 2 W nr xx, 1 nnrr xx 11 作向量：，则根据的定义

22、，知： nn xxx 1111 nnrrnnrrrr xxxxxx 111111 )( 因此，这就是说，从而。证完。)(V 2 )(WV 2 )(WV 命题 4.2：设为维线性空间上的线性变换，是其两个线性子空 nV 21,V V 间，证明如果则存在线性变换和使得, ,)0( 21 1 VV 1 2 1 V)0( 1 1 2 V ,且 )0( 1 2 21 证明：设是的一组基，将此组基分别扩充成的一组 t , 21 21 VV 21,V V 基 ;,:;,: 21 12121211rtrt VV 由线性空间理论知的一组基为：再将此 21 VV ;, 21 1121rrt 扩充成的一组基：；其中

23、V 321 , 11121rrrt nrrrt 321 对于任意的都有：V 332211 1111112211rrrrrrtt wwzzyyxxx 由于是的一组基，因此对于任意的都有： t , 21 21 VV V 1 )(y 1 )( 1r y 1 )( 2 z r 2 )( 1r z)( 2 r 3 r w)( 3 r 根据上述的定义线性变换和 1 2 1 )( 1 z 2 )( 1r z)( 2 r 21 )(y 1 )( 1r y)( 2 r 1 w 3 )( 1r w)( 3 r 根据和的定义，显然对于任意的都有： 1 2 V ，故)()( 1 )( 2 1 2 又若则此时根据线性变

24、换 1 V 11 112211rrtt yyxxx 的定义，则，即 1 1 )( 1 z 2 )( 1r z0)( 2 r 1 V)0( 1 1 若，则此时根据线性变换 2 V 22 112211rrtt zzxxx 的定义，可得； 2 21 )(y 1 )( 1r y)( 2 r 1 w 3 )( 1r w0)( 3 r 即：，故命题成立。 2 V)0( 1 2 5 5 两个线性变换两个线性变换的值域和核相等的条件的值域和核相等的条件, 命题 5.1 设是上的两个线性变换，如果，且, V )()(VV ，分别是在基下的矩阵，则存在可逆矩 00 11 BA, nr , 21 阵，使得： 21,

25、T T 2 2 1 1 0 0 , 0 0 T C AB T C BA 且的阶数等于的维数， 1 T)(V 1 21 TT 证明：设是的一组基，将此扩充成的一组基 r , 21 0 1 V ，则，由条件知也是 nr , 21 )(,),(),()( 21n LV r , 21 的一组基，且 0 1 )(,),(),()( 21n LV 又，因此存在使得：)()(VV 1 T 12121 )(,),(),()(,),(),(T nrrnrr )(,),(, 0 , 0 , 0, 1121nrnrr 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 )(,),(, 0 , 0 , 0 T C T C n

26、rrnr 1 1 1 0 0 , T C B nrr 另一方面：A nrnr ),(),( 2121 故：同理可得，下面再证, 0 0 1 1 T C BA 2 2 0 0 T C AB 1 21 TT 由上面可得：0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 T C T C EA T C T C AA 由等式可知对可作分 )(,),(, 0 , 0 , 0, 1121nrnrr A 块： 其中是矩阵，且，从而可得： 1 ,0AA rn 1 A)(rnnrnAr)( 1 0)(0 0 0 , 0 121 12 12 1 TTEA TTE CCE A rn rn r 故结论

27、成立。 1 21 TT 命题 5.2：设是上的两个线性变换，在某一组基下的矩阵分别为，, V BA, 如果存在矩阵使得且则；倒推也成立。 21,P P 1 BPA 2 APB )()(VV 证明：设由条件知： nn BBBBAAAA,;, 2121 组以及向量组生成的子空间相等，即 n AAA, 21 n BBB, 21 再有命题 1.1 知 nn BBBLAAAL, 2121 )()(VV 反过来：若，则由命题 1.1 知)()(VV 从而向量组与向量组等 nn BBBLAAAL, 2121 n AAA, 21 n BBB, 21 价，因而存在矩阵使得且. 21,P P 1 BPA 2 AP

28、B 命题 5.3： 设是上的两个线性变换，在某一组基下的矩阵分别为,V ，如果存在矩阵使得且则；反过来也对.BA, 21,P PBQA 1 AQB 2 00 11 证明：由条件知若，则，因BQA 1 0|)0( 1 BYYBY0 1 BYQAY 此，这就是说,同理由条件知，)0( 1 AY)0()0( 11 ABAQB 2 )0()0( 11 BA 从而再有命题 1.1 知.)0()0( 11 AB 00 11 反过来，由条件和命题 1.1 知，即方程组与)0()0( 11 AB0AX 同解，而是同阶矩阵，由线性方程组的理论知解方程组，即0BXBA,0AX 是对矩阵作初等行变换，由于方程组与同

29、解，即是对作一系A0AX0BXA 列初等行变换一定能够变为，由初等行变换与矩阵的乘积的关系知存在可逆B 矩阵使得,同理可证. 2 QBAQ 2 BQA 1 例 5.1 设是上的线性变换，是的一组基，在此组, 3 PV 321 ,V, 基下的矩阵分别是;容易计算 000 5167 394 , 000 152 121 BA BAAB 000 023 012 , 000 023 012 此时 03)0( 1 121 1 L 假定另有一个线性变换使得，在基 03)0( 1 121 1 L 下所对应的矩阵为由命题 1.1 知与同构，因而 321 ,D)0( 1 )0( 1 D ，从而，这就是说方程组与方

30、程组同解，)0( 1 1 3 1 D0 1 1 3 D, 0AX0DX 根据方程组的理论以及矩阵的初等行变换与矩阵乘积的关系知，存在初等矩阵 使得： t PPP, 21 令则得：，同理可得DAPPP tt 11111 PPPQ tt AQD 1 DQA 2 6 6 线性变换线性变换的核与最小多项式的的核与最小多项式的联系联系 命题 6.1 假设是线性变换的最小多项式，且有分解)( n d 其中为不可约多项式，而当时)()()( 1 sn ppd)( j pji 则：是的不变子空间，且1)(),( ji pp( ii pW )0() 1 0dim i W （1）有直和分解：V s WWWV 21

31、 证明：令，则有条件知道互质，从而 ij ji pf)()()(,),(),( 21 s fff 存在多项式使得： s uuu, 21 1)()()( 2211 ssf ufufu 因此：( 1 u() 1 f)( 2 u() 2 f)( s u() s f) 因此对于任意的均有：V ( 1 u() 1 f)( 2 u() 2 f)( s u() s f)()( 即( 1 f() 1 u)( 2 f() 2 u)( s f() s u)( )( 令,则( i f() i u i )( ( i p() i f() i u)( n d)() i u0)( 从而，即( i p0)( i ( i f(

32、) i u i )( ii pW )0() 1 这就是说可表示成的和，再证明此和是直和；V s WWW, 21 假设，由于互质，因此存在多项式)(jiWW ji )(, ji pp 使得 ji hh, 1)()( jjii phph 从而：( i h() i p)( j h() j p) 故：，注意到( i h() i p )( j h() j p ) 因此可得这就是说)(jiWW ji 0)(0jiWW ji 因此这就证明了（2）WWWWWWV s 2121 下面证明（1）任取，根据的意义知A ii W i ( i p0)( i 因此，这就是说，因此( i p)( i ( i p)(0)(

33、i ii W 是的不变子空间，至于，那是显然的。证完。( ii pW )0() 1 0dim i W 7 7 探讨特殊线性变换的值域与核探讨特殊线性变换的值域与核的问题的问题 命题 7.1：设为维线性空间上的两个线性变换，且； , nV 22 , ，证明： (1)的充要条件是)()(VV (2) 的充要条件是 )0( 1 )0( 1 , 证明：首先根据前面的命题 3.2 知：)0( 1 V )0( 1 VV 且)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 其次当时，则，这是假设，由于，)(V)()()(V 从而存在向量使得,因此下V)()( )( 2 面来证明（1） （1）必要性：由于)0( 1 V )0( 1 VV 因此对于中的任意向量有前面的结论可得：，其中VV 21 ，根据条件可得：，从而 1 V 2 )0( 1 )(