HPM视野下的教学案例解析.ppt

1、HPM视野下的教学案例解析,陈彦霞 教育学院 2015.10.20,论文总体结构,HPM 简介 HPM的研究价值 HPM视野下的教学设计 结束语,HPM，是History and Pedagogy of Mathematics的缩写。HPM源自1972 在英国埃克塞特（Exeter）举行的第二届国际数学教育大会(ICME-2)上的一个工作组,它隶属于国际数学教育委员会(ICMI),是一个专门研究数学史与数学教育之间关系的组织。它的成立标志着数学史与数学教育关系的研究已经作为一个独立的学术研究领域遍及于全世界。,HPM的起源,我国对HPM的普遍关注则是在本世纪初，普通高中数学课程标准（实验）颁布

2、之后。课程标准将数学史选讲作为一个选修序列，并强调要让学生初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。因此，探索如何在数学教育中融入数学史，为数学教育注入新的元素，提升教育质量，成了当前必须面对和亟需解决的一项理论和实践课题。,我国对HPM的关注程度,实际上，关于HPM研究价值的论述在我国许多期刊上都有较多阐述。归纳起来主要是（1）有利于帮助学生加深对数学概念、方法和思想的理解，培养学生的创造性思维能力； （2）有利于帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，从而增强学生学习数学的动力。5但是，对于HP

3、M的认识不能仅仅局限于此，更重要的是要把这种理念贯彻到教学实践中去。不能把数学史作为数学教学内容之外的部分,要把数学史与数学知识的教学作为一个整体。,HPM的研究价值,案例一：更相减损术与欧几里得算法,1.提出问题,2.解决方案,（1）更相减损术 我国古代在约分时没有直接分解因式，而是利用反复作减法去找分母、分子的最大公因数，这种方法就叫做更相减损术。 用更相减损术，确定两个正整数a和b的最大公因子：第一步，任意给两个数，先判断它们是否为偶数，若是偶数除以2；若否，执行第二步；第二步，用较大的数减较小的数，把所得的差与减数比较，若相等，则相等的数为它们的公因子；若否，则把差与最小的数中大数减小

4、数所得差与较小的数比较，重复计算直至出现相等的数。 （2）欧几里得算法 欧几里得在其著作几何原本中，通过利用数形结合思想，用两条线段能否度量阐述了欧几里得算法。欧几里得算法又称为辗转相除算法。 用辗转相除法，确定两个正整数a和b的最大公因子：第一步，用较大的数a除以较小的数b，所得余数记为r，若r=0,则较小的数为最小公倍数，若否,则执行下一步；第二步,互换：置 ab，br，并返回第一步。,3. 案例解析,这一案例之所以典型，因为它有诸多特色：如 （1）利用数学史材料创设情景，引入新知，激发学生的学习兴趣，体现了算法史融入算法教学的人文性原则。 （2）用简单的例子说明更相减损算法的原理，化解教

5、学难点，体现了算法史融入算法教学的科学性原则。 （3）用程序框图来表示更相减损算法，突出教学重点，体现了算法史融入算法教学的程序性原则。 （4）结尾，引入欧几里得传记，进而对比中西不同数学家的算法，说明了算法的多样性。,案例二：等比数列的前 n 项和,1.提出问题,国际象棋起源于印度，棋盘上共有 8 行 8 列，构成 64 个格子。相传，古印度国王舍罕王打算重赏国际象棋的发明者-宰相西萨班达依尔，问他要什么奖赏。于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我1粒麦子；在第二个小格内给2粒，第三格内给4粒，第四格内给 8 粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格

6、子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子。”大家觉得这件事情难办吗？当时呢，国王觉得这事并不难，就欣然同意了他的要求。但是，当宫廷的数学家计算了所需麦子的数目后，才发现即使把全印度仓库里的所有小麦都拿出来，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言！那么，宰相所要的麦粒究竟是多少呢？,2.解决方案,将原来的问题化解成一个数学问题就是求一个以 1 为首项，2 为公比的等比数列的前 64 项的和。这样一来，问题就简单多了。,3. 案例解析,（1）本节课是等比数列求和的第一课时，用国际象棋与棋盘上的麦粒数的故事创设问题情景，激发学生的兴趣，吸引学生眼球，引发学生认知冲突，从而使新课题浮出水面，很好地调控

7、了学生的课堂学习方向和注意力。 （2）在计算棋盘上的麦粒问题时，先让学生自我探索解决问题的办法。学生刚被引入的小故事吸引，探究欲望较大，许多学生都想到直接利用计算器，但继而发现这种方法过于繁琐，而且成效不大，转而寻求其他方法，在探索过程中，每个同学都能积极思考，互相交流，体会彼此间不同的方法，开阔思维，培养合作探究的能力。 （3）从历史上看,等比数列求和公式是从大量的实际例子中抽象出来的数学模型,所以选择“从特殊到一般”是求和公式推导教学的比较适合的方法。 （4）在新课引入的过程中将数学史作为问题的背景提供了一个“样本”，使学生非常容易想到“错位相等”,并自然地想到“错位相减”,从而揭示错位相

8、减法求和的基本原理，进一步理解等比数列求和的核心思想，为下面的主题探究服务。,结束语,割裂数学的历史而单纯的进行数学知识的教学是不能取得满意的教育效果的。虽然，我们传统的数学教育有其优势，但是也带来了一些弊端，导致教育和教育的本质目标是脱离的。要解决这些问题，提升民族的数学素养，数学史是一个很好的选择。数学的发展具有悠久的历史，很多知识点的产生都经历了曲折而漫长的过程，因此，它可以给我们的数学教学提供很多有益的素材和借鉴。 HPM研究数学史和数学教育的关系，旨在利用数学史为数学教育服务，赋予数学人文意义，提升数学的文化价值，这是新课程所提倡的，也是今后教育发展的方向。,参考文献,1李文林.数学史概论M.高等教育出版社,2002:91-272. 2冯振举,曲安京.HPM视野下的数学新课程内容构成J.课程教 材教法,2007,27(9). 3中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)S.北京:人民教育出版社,2003.:67 4Cajori F.A History of Elementary MathematicsM.New York:The Macmillan Company,1917. 5汪晓勤,张小明.HPM研究的内容与方法J.数学教育学报,2006,15(1). 6杨渭清.数学史在数学教育中的