图论模型：最短路.ppt

1、第六章 图论方法,7.1 图论的基本概念,定义1 一个有序二元组（V,E）称为一个图，记为G=（V,E），其中 V称为G的顶点集，V，V中的元素称为顶点或结点，简称点； E称为G的边集，其元素称为边，它连接V中的两个点，如果这两个点是无序的，则称该边为无向边；否则，称为有向边。 如果Vv1,v2,vn是有限非空点集，则称G为有限图或n阶图。 如果G的每条边都是无向边，则称G为无向图；如果G的每条边都是有向边，则称G为有向图。否则称G为混合图。并且常记Ee1,e2,em, (ek=vivj,i,j=1,2,n), 对于一个图G=（V,E），人们通常用一个图形来表示，称其为图解。凡是有向图，在图解

2、上用箭头标明其方向。,则G（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其图解如下图： 一个图会有许多外形不同的图解，如上图。 称点vi,vj为边vivj的端点。在有向图中，称点vi,vj分别为有向边vivj的始点和终点；称边vivj为点vi的出边，为点vj入边。,由边连接的两个点称为相邻的点；有一个公共端点的边称为相邻边；边和它的端点称为互相关联。常用d(v)表示图G中与顶点v关联的边的数目，d(v)称为顶点v的度数；用N（v）表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合。 定义2 若将图G的每条边e都对应一个实数F(e)，则称F（e） 为该边的权，并称图G为赋权图，记为G=(V,E,F)。 定义3 设

3、G=(V,E)是一个图， ， 则称是G的一个通路。如果通路中没有相同的边，则称此通路为道路；始点和终点相同的道路称为圈或回路；如果通路中既没有相同的边，又没有相同的顶点，则称此通路为路径，简称路。 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。 定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。,7.2 最短路模型及其算法,最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一，不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。 定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合，记为， ，则称F(P)为路径P(

4、u,v) 的权或长度。 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意在G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)F(P),则称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。,根据上述定理，著名计算机专家狄克斯特拉（Dijkstra）给出了求G中某一点到其他各点最短路径的算法标号法：T标号与P标号。T标号为试探性标号，P标号为永久性标号。 给vi点一个P标号时，表示从v0（起点）到点vi的最短路权，vi点的标号不再改变；给vi点一个T标号时，表示从v0到vi的估计最短路权，是一种临时标号。凡没有得到P标号的点都标有T标号。,算法每一步是把某一点的T标号改为P标号，当终点得到P标号时

5、全部计算结束。其具体步骤如下： （1）赋初值：给起点v0以P标号，P(v0)0，其余各点vi均为T标号,T（vi）+； （2）更新所有的T标号：若vi点为刚得到的P标号的点,考虑这样的点vj，边vivjE，且vj为T标号，对vj的T标号进行如下的更改： （3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号， 当存在两个以上最小时，可同时改为P标号，若全部点均为P标号，则停止；,例2 求下图中V0到其余各点的最短路。,例2(设备更新问题)某企业使用一种设备,每年年初,企业都要作出决定,如果要继续使用旧的, ;若购买一台新设备,要付购买费.使制定一个5年更新计划,使总费用最少? 已知设备每年年初的购买费分

6、别为:11,11,12,12,13,使用不同时间设备所需的维修费为: 解：设bi表示设备在第i年年初的购买费，ci表示设备使用 i年后的维修费，把这个问题化为求有向赋权图G=（V,E,F）中的最短路问题。,赋权图如上图所示，这样设备更新问题就变为：从v1到v6的最短路问题。由狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：,计算结果表明：路径v1v3v6或v1v4v6为两条最短路径，路长均为53。即第1年、第3年个购买一台新设备，或第1年、第4年各购买一台新设备为最优决策。最小费用为53. 例3 如下图表示某区域的交通网络，各条旁边所注的数字表示通过该公路所估计行驶的时间（单位：小时）。试问S到T

7、估计至少要行驶多少小时？并写出最短路径。 解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：,最短路模型还可以应用于中心选址问题。所谓中心选址问题就是在一个网络中选择一点，建立公用服务设施，为该网络中的客户提供服务，使得服务效率最高。比如一个区域的消防站、自来水厂、学校、变电站、银行商店等选址。为了提高服务效率，自然的想法是将 这些设施建立在中心地点。对于规则的网络，例如圆形、矩形等，中心地点是显而易见的，然而对于更多的网络是不规则的。应此，我们引入两个定义。,例4 教育部们打算在某新建城区建一所学校,让附近七个居民区的学生就近入学。七个居民区之间的道路如下图所示. 学校应建在哪个居民区， 才能使大家都方便？ （图中距离单位：百米） 解：由狄克斯特拉（Dijkstra） 算法计算得各居民之间的最短距离列表如下:,从上表来看，应选择D作为学校的地址，这样最远的居民区离学校的距离也只有500米. 在现实生活中，同一网络中的各点要求提供的服务的数量也不尽 相同。我们将各点要求提供的服务数量作为该点的权数，重新考虑选址问题。 例5 在例4中，若七个区的学生人数分别为40、25、45、30、20、35、50人，试问教育部门应将学校建在哪个居民区，才能使大家都方便？,所以应选择E