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文档简介

1、第三章导数及其应用,3.1导数、导数的计算,知识梳理,1.导数的概念,函数y=f(x)在x=x0处的导数.,一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,称其 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y.,答案:,2.导函数,如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每一个值x,都对应一个确定的导数f(x).于是在区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为f(x)或y.,答案:f(x),3.导数的几何意义,函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是曲

2、线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为.,答案:y-f(x0)=f(x0)(x-x0),4.基本初等函数的导数公式,答案:nxn-1cos x-sin xaxln a,ex,5.导数的运算法则,(1)f(x)g(x)=;,(2)f(x)g(x)=;,(3)=(g(x)0).,答案:(1)f(x)g(x),(2)f(x)g(x)+f(x)g(x),(3),6.复合函数的导数,设u=v(x)在点x处可导,y=f(u)在点u处可导,则复合函数y=fv(x)在点x处可导,且f(x)=,即yx=.,答案:f(u)v(x)yuux,1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及

3、邻近一点(1+x,1+y),则等 于().,A.4B.4x,C.4+2xD.4+2x2,基础自测,答案:C,2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t, 那么速度为零的时刻是().,A.0秒B.1秒末,C.2秒末D.1秒末和2秒末,答案:D,3.曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为().,A.(-1,1)B.(-1,-1),C.(1,1)或(-1,-1)D.(1,-1),答案:C,4.设函数f(x)=(1-2x3)4,则f(1)等于().,A.0B.-1,C.-24D.24,5.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为.,

4、答案:D,答案:4x-y-3=0,思维拓展,1.f(x)与f(x0)有何区别与联系?,提示:f(x)是一个函数,f(x0)是常数,f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值.,2.曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0)的切线,两种说法有区别吗?,提示:有,前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点.,3.复合函数求导应注意哪些问题?,提示:一要分清中间变量与复合关系;二是复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的任一环.防止漏掉一部,分或漏掉符号造成错误;三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.

5、,一、根据导数的定义求函数的导数,【例1】 用导数的定义求函数y=f(x)= 在x=1处的导数.,解:y=f(1+x)-f(1),=-,=,=.,=-,=,=-.,f(1)=-.,方法提炼1.根据导数的概念求函数的导数是求导的基 本方法.确定y=f(x)在x=x0处的导数有两种方法:一是导数的定义法,二是导函数的函数值法.,2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的求解步骤:,请做针对训练1,二、利用求导公式、法则求导,【例2】 求下列函数的导数:,(1)y=(2x-3)5; (2)y=tan x.,解:(1)y=5(2x-3)4(2x-3)=10(2x-3)4.,(2)y=,=,=.,方法提

6、炼一般来说,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层,直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.,请做针对训练2,三、导数的几何意义及应用,【例3-1】 已知函数f(x)=2(x-1),曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的 切线l分别交x轴和y轴于A,B两点,O为坐标原点.,(1)求x0=1时,切线l的方程;,(2)若P点为,求AOB的面积.,解:

7、(1)f(x)=,则f(x0)=,则曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线方程为y-f(x0)=(x-x0),即y=+,所以,当x0=1时,切线l的方程为x-y+3=0.,(2)当x=0时,y=;,当y=0时,x=-x0-2.,SAOB=,=,SAOB=.,【例3-2】 已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P(0,f(0)处的切线方 程为y=3x-2.求实数a,b的值.,解:f(x)=x2-2x+a,f(0)=a=3,即a=3,又P(0,f(0)既在曲线f(x)上,又在切线y=3x-2上,f(0)=03-02+a0+b=30-2,即b=-2.a=3,b=-2.,方法提炼1.

8、求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程.,(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)即为曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率;,(2)由切点(x0,f(x0)和斜率f(x0),用点斜式写出切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0), 再化为一般式即可.,特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线垂直于x轴,则此时导数 f(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.,2.求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程.,可设切点为(x1,y1),由解出x1,进而确定过点P的切 线方程为y-y0=f(x1)(x-x0),再化为一般式即可.,3.“过某点”与“在某点处”的切线是不同的,过某

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