第三章__线性系统的能控性和能观性.ppt

1、第三章线性系统的能控性和能观性,3.1概述 3.2能控性定义及判据 3.3能观测性及其判据 3.4能控性与能观测性的对偶关系 3.5能控标准型、能观测标准型 3.6 线性系统结构分解 3.7传递函数阵的最小实现,3.1概述,60年代初由卡尔曼提出 系统控制、综合和设计问题，如极点配置、观测器设计、解耦问题、最优控制、最优估计等，都与能控性和能观性密切相关 所谓能控性，指输入能否控制状态变化；所谓能观性，指输出能否反映状态变化。 控制器需通过状态反馈来给出合适的u，但并非所有的状态变量都是能测量的。因此能否由系统测量值来近似估计其他状态变量值，就非常重要，此即所谓的能观性问题,3.1概述,质量为

2、m1的小车，在u的作用下，可沿光滑轨道往复运动，小车上倒立一质量为m2、长为l的摆杆，摆杆可相对于垂直位置左右摆动，试问能否利用控制力u使小车停留到人们所期望的位置r0，并且摆杆处于直立位置。 取摆杆相对于垂直位置的偏离角 ，小车相对于期望位置r0的偏离值 作为状态变量，即 要达到控制目的，u必须对所有的状态变量都发生影响，才有可能把X控制至零。此即能控性问题。,3.1概述,例：如图所示电气网络，输入变量是电流源i，输出变量是端电压Y，取C1、C2端电压作为状态变量。 显然，输入i不能影响C2，只能影响C1端电压。另外，能从输出Y估计C2端电压，不能估计C1端电压。因此，我们把这样的系统称为不

3、完全能控不完全能观。,Y,3.1概述,首先需研究输入u对系统个状态变量施加影响的可能性，以便使状态变量沿期望状态轨迹运动。 其次，为了进行状态反馈，还需研究由输出值估计状态变量的可能性。,3.2能控性定义及判据,3.2.1状态能控性定义 3.2.2能控性判据,3.2.1状态能控性定义,1、定义 对于动力学系统 如果对于任意给定状态x(t0)、x(tf)，均存在一个分段连续（可导）的输入u(t)，能在x(t0)，x(tf)有限时间内，使系统从x(t0)转移到x(tf)，则称系统状态完全能控，简称系统是能控的。,3.2.1状态能控性定义,2、说明 1)若系统状态不完全能控，可能有一部分状态能控，另

4、一部分状态不能控。此时，可把它们分解程完全能控子空间和完全不能控子空间，二者互相正交 2)定义对输入u和状态轨迹不加限制，只关心能控状态的分布 3)能控和能达 能控：初态x(t0)为任意非零点，终态x(tf)为原点 能达：初态x(t0)为原点，终态x(tf)为任意非零点 对于线性系统（包括连续、离散），由状态转移的可逆性，能控与能达是等价的。 4)如果系统中有不依赖于输入的干扰f(t)，只要f(t)保证所给系统有唯一性，则干扰不影响系统能控性,3.2.2能控性判据,一、秩判据 二、对角型、约当型判据,一、秩判据,定理：线性定常系统状态完全能控的充要条件是系统能控性判别矩阵 满秩，即 n为状态矢

5、量的维数,一、秩判据,例：已知系统 ，判别系统能控性 解： ，故系统能控。,一、秩判据,例：对于三阶能控标准型的系统，试证明其必然能控。 证明：三阶能控标准型如下： 无论a1、a2取何值， ，得证。,一、秩判据,例：已知系统 ，判别系统能控性。 证明： ，故系统能控。 （如果阶次n输入维数r较大，判别矩阵Mc的秩较困难，考虑到 ，可通过判别Mc McT这样的n*n矩阵来求秩。）,二、对角型、约当型判据,1、非奇异变换不改变系统的能控性 设系统状态空间描述为 任取非奇异变换阵P，令 ，变换后系统为 其中 现在证明当且仅当=（A,B,C）能控时， 能控。,二、对角型、约当型判据,证明：由秩判据可知

6、，当且仅当 时，=（A,B,C）能控。当且仅当 时， 能控。 由于矩阵P是n*n非奇异矩阵，由矩阵性质可得 即当且仅当 时，才有 。得证,二、对角型、约当型判据,2、对角型判据 定理：线性定常系统具有互不相同的特征值，其状态完全能控的充要条件是系统经非奇异变换后的对角型状态空间描述中，输入矩阵不包含全为零的行。,二、对角型、约当型判据,例：已知 ，判别以下各种系统的能控性 1） 2） 3）4） 解：由对角型判据可知，1）3）能控，2）4）不能控,二、对角型、约当型判据,3、约当型判据 定理：线性定常系统 具有相同的特征值，其状态完全能控的充要条件是系统经非奇异变换后的约当型状态空间描述 中，输

7、入矩阵中每个约当块的最后一行元素不全为零，并且特征值相同的约当块的最后一行线性无关。,二、对角型、约当型判据,例：已知 ，判别以下各种系统的能观性 1） 2） 3）4） 解：由对角型判据可知，1）3）能观，2）4）不能观,3.3能观测性及其判据,3.3.1能观测性定义 3.3.2系统能观测性判据,3.3.1能观测性定义,1、定义 对于线性连续定常系统 的任意初态x(t0)，均能根据输入矢量u(t)、输出矢量y(t)在有限时间区间t0,t1内的测量值，唯一确定x(t0)，则称系统状态完全能观测，简称能观，否则称为不能观测（不完全能观测）。,3.3.1能观测性定义,2、说明 若系统状态不完全能观，

8、可能仍有一部分状态能观，另一部分状态完全不能观。此时，可把它们分解成完全能观子空间和完全不能观子空间，二者互相正交。 能观测性表示输出反映状态变量的能力，由输入引起的输出响应是已知的（可算出），因此，在定义中可以不涉及输入。 定义中确定的是初态，由状态转移矩阵可知，知道初态，可根据 求出任意时刻状态。 引入不依赖输入的干扰f(t)，不影响系统能观测性。,3.3.2系统能观测性判据,1、秩判据 线性系统状态 能观测的充要条件是其能观测性矩阵 满秩，即rankMo=n,3.3.2系统能观测性判据,例：已知 ，判别系统的能观性。 解： rankMo=3=n，所以系统能观测。,3.3.2系统能观测性判

9、据,例：已知 ，判别系统的能观性。 解： rankMo=1n=2，所以系统不能观测。,3.3.2系统能观测性判据,2、对角型、约当型判据 1）对角型判据 定理：线性时不变系统A，B，C具有互不相同的特征值，则其状态能观的充要条件是：系统经非奇异变换后获得的对角型中，输出矩阵不包含有元素全为零的列。,3.3.2系统能观测性判据,例：已知 ，判别以下各种系统的能观测性。 1）2） 3）4） 解：由对角型判据可知，1）4）能观测，2）3）不能观测,3.3.2系统能观测性判据,2）约当型判据 定理：线性时不变系统A，B，C具有相同的特征值，则其状态能观的充要条件是：系统经非奇异变换后获得的对角型 中，

10、 中每个约当块首列对应的矩阵 的列元素不全为零。如果系统具有特征值相同的特征块，则除上述条件外，对应的矩阵 的列元素必须线性无关。,3.3.2系统能观测性判据,例：已知 ，判别以下各种系统的能观测性。 1）2） 解：由对角型判据可知，1）能观测，2）不能观测,3.3.2系统能观测性判据,例：已知 ，判别以下系统的能观测性。 1）2） 解：由对角型判据可知，1）能观测，2）不能观测（单行阵必然线性相关）,3.4能控性与能观测性的对偶关系,3.4.1线性系统的对偶关系 3.4.2对偶原理,3.4.1线性系统的对偶关系,一、定义 给定线性系统1=(A1,B1,C1,D1)，2=(A2,B2,C2,D

11、2)若 ，则称系统1、2是互为对偶的。其状态结构图如下,3.4.1线性系统的对偶关系,2、对偶关系的含义 输入-输出互换 信号传递方向相反 信号引出点和相加点互换 对应矩阵转置 时间倒转 3、对偶系统特征方程相同 4、对偶系统传递函数阵互为转置,3.4.2对偶原理,定理：若线性系统1=（A1,B1,C1,D1）2=（A2,B2,C2,D2）互为对偶系统，则1能控性等价于2能观测性；1能观测性等价于2能控性 证明：由已知条件,3.5能控标准型、能观测标准型,3.5.1单输入系统能控标准型 3.5.2单输出系统的能观测标准型,3.5.1单输入系统能控标准型,定理：线性系统 如果是完全能控的，那么存

12、在线性非奇异变换 ， 使原状态空间描述转换为能 控标准型状态空间描述 其中 为系统特征多项式 各项系数；,3.5.1单输入系统能控标准型,能控标准型为 其中,例：已知 ，试求其能控标准型。,3.5.2单输出系统的能观测标准型,定理：线性系统 如果是完全能观测的，那么存在线性非奇异变换 ， 使原状态空间描述转换为能观测标准型状态空间描述 。,3.5.2单输出系统的能观测标准型,其中 其中为系统特征多项式 的各项系数；,例：，试求其能观测标准型。,解：,3.6线性系统结构分解,3.6.1按能控性分解 3.6.2按能观测性分解 3.6.3标准分解,3.6.1按能控性分解,一、定理 对于一个n维不完全

13、能控系统=（A,B,C），其能控性矩阵Mc的秩rankMc=ncn，则存在非奇异变换阵T，对系统经进行非奇异变换后，所得系统具有如下形式,3.6.1按能控性分解,且 1）nc维子系统状态完全能控，n-nc维子系统状态完全不能控。 2）子系统具有与原系统相同的传递函数阵。,3.6.1按能控性分解,按能控性分解后的状态结构图如下：,3.6.1按能控性分解,二、非奇异变换阵T的构造 已知系统能控性矩阵Mc的秩rankMc=ncn，则可以从Mc任意选取nc列，再从实空间中任意选取n-nc列，即可构造T（只要满足T非奇异这个条件）。 例：，判断该系统 的能控性，并按能控性进行分解。,3.6.1按能控性分

14、解,解： 取 ，任取一列矢量 ， 构成 经的变换后，得,3.6.1按能控性分解,于是系统不能控的特征值为0，能控部分特征值由 确定，即,3.6.1按能控性分解,实际上，T并非唯一，例如另取 经 的变换后，得 可以看到，使用不同的变换矩阵T，不改变能控、不能控子系统的特征值。,3.6.2按能观测性分解,一、定理 对于一个n维不完全能观测系统=（A,B,C），其能观测性矩阵Mo的秩rankMo=non，则存在非奇异变换阵T，对系统经进行非奇异变换后，所得系统具有如下形式,3.6.2按能观测性分解,且 1)no维子系统状态完全能观测，n-no维子系统状态完全不能观 2)子系统具有与原系统相同的传递函

15、数阵。,3.6.2按能观测性分解,按能观测性分解后的状态结构图如下：,3.6.2按能观测性分解,二、非奇异变换阵T的构造 已知系统能观测性矩阵Mo的秩rankMo=non，则可以从Mo任意选取no行，再从实空间中任意选取n-no行，即可构造T-1（只要满足T非奇异这个条件）。,3.6.2按能观测性分解,例：已知 ，判断该系统 的能观性，并按能观性进行分解。 解：系统的能观测性判别矩阵为 构造非奇异矩阵,3.6.2按能观测性分解,经的变换后，得,3.6.3标准分解,一、定理 对于n阶不完全能控、不完全能观系统=（A,B,C），rankMc=ncn，rankMo=non，则可找到非奇异变换矩阵T，对系统进行非奇异变换 后，所得系统具有如下形式,3.6.3标准分解,3.6.3标准分解,且有 子系统状态完全能控、能观测； 子系统 状态完全能控、不能观测； 子系统 状态完全不能控、能观测； 子系统 状态完全不能控、不能观测； 子系统具有与原系统相同的传递函数阵。,3.6.3标准分解,二、标准分解的方法 先按能控性进行分解，然后对完全能控部分、不能控部分分别进行能观测性分解。 化为对角型或约当型,3.7传递函数阵的最小实现,3.7.1最小实现 3.7.2最小实现的途径,3.7.1最小实现,一、定义：维数最小的实现 二、