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1、第四章 拉普拉斯方程的格林函数法,作业题-习题四,6.用二维问题的格林函数法求下列上半空间内的狄利克莱问题的解：,M1(x0,-y0),n,式中,在上半平面:y0外找出点M0 关于边界x轴:y=0的像点(对称点) M1,然后在M1 上放置适当的负电荷,由它所产生的负电位-v(是所求的调和函数v)与点M0 处单位电荷产生的电位在边界x轴:y=0上相互抵消.此时,放置在M0 , M1处的电荷所形成的电场在上半平面内M点的电位就是所要求的格林函数G(M,M0):,为求得拉普拉斯方程在上半平面y 0内的狄利克莱问题的解：,须计算G对n在边界y=0处的偏导。由于在平面 y = 0上的外法线方向是Oy 轴

2、的负向,所以,求得拉普拉斯方程在上半空间z 0内的狄利克莱问题的解：,5.求证圆域x2+y2R2的格林函数为,并由此推出圆内狄氏问题的泊松公式(2.35).,M0,M,M1,P,解：首先给出圆域上的 格林函数,从而并给出圆 域内的狄利克莱问题的 解.,O,设有一圆心在原点O,半径为R 的圆周.在圆内任取一点M0 (rOMo=r0),延长rOMo至M1并使rOMo rOM1=r0r1=R2,则点M1称为点M0关于圆周的反演点(或对称点),如图 所示. 在,点M0处放置一单位正电荷,在点M1处放置一q 单位的负电荷,通过选择恰当的q 值,使得这两个点电荷所产生的电势在球面为零，即,式中P为圆周上任意一点. 由于三角形OM1P与OM0P 在点O处有公共角,且夹这个角的两条边成比例r0/R=R/r1,因此这两个三角形相似.于是得,即只要在点M1 处放q=R/r1单位的负电荷,则由M0及M1处点源产生的电势在圆周上为零,这样,圆内的格林函数为,下面,利用格林函数来求 球域内的狄氏问题：,须计算G对n在边界G处的偏导。圆周的外法线方向是垂直圆周向外,所以,的解:,式中, g是向量OM0与OM的夹角. M是圆内任一点

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