第1章 复数和复变函数.ppt

1、复变函数与积分变换,名言,历史使人聪明, 诗歌使人机智, 数学使人精细, 哲学使人深邃, 道德使人严肃， 逻辑修辞使人善辩。 培根,有史以来,人们的文化在某些方面单单以他们的数学知识以及处理数学的能力来衡量. _M.希尔,一、本课程的特点,本课程是工程数学系列课程之一。,1.复变函数 主要内容是讨论复数之间的依赖关系,其主要研究对象是解析函数.是实变函数微积分的推广与发展.广泛应用于自然科学众多领域.,2.积分变换 是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数,也是在实变函数微积分的基础上发展起来的.广泛应用于自然科学和工程技术领域中.,绪 论,二.主要内容,1.复数和复变函数 (4学时),3.复

2、变函数的积分 (6学时),4.级数 (6学时),有关应用,2.解析函数 (8学时),5.留数及其应用 (8学时),6.保形映射 (2学时),7.傅里叶变换 (8学时),8.拉普拉斯变换 (6学时),要学好这门课程，需要做到以下几点：,1.树立快乐复变的理念. 宽松,和谐的氛围,愉悦地学习心情 2.养成预复习,做练习的习惯. 做练习题是学好数学的关键,练习是学习 数学的专利. 3.掌握把本课内容与高数内容联系起来的方法. 其内容是实变函数在复数领域内的推广,掌 握它们间的相似处与不同点.,三、学习方法,攻城不怕坚, 读书不怕难, 科学有险阻, 只要肯登攀. _叶剑英,第一章 复数和复变函数,1.

3、1 复 数,一、复数的概念,2.特例: 当y=0时, z=x+i0=x-实数 x=0 , z=0+iy=iy-纯虚数 x=0,y=0, z=0+i0=0-实数0 -纯虚数0i,1.复数: 形如z=x+iy的数 (x,yR); 虚数单位: I ( ); 实部: x 记为: Rez=x ; 虚部: y 记为: Imz=y.,共轭复数: z=x+iy是一复数,称x-iy为z的共轭复数,记为 可知:,注:复数不能比较大小(实数除外),有关习题：,相等: 设 与 是两个复数,如果 则称 与相等 注: z=0当且仅当x=y=0,理解：,二.四则运算:,设 1.加.减法: 2.乘法: 特别: 模: 3.除法

4、: 例1: 1) (1+i)-(3-2i) 2)(2-3i)(4+5i),2.共轭复数性质:,理解,三.性质: 1. 加,乘法:满足结合,交换,分配律;,有关习题：,例2.求下列复数的实部和虚部,共轭复数及模分析:1)式为除法,按除法法则,分子,分母同乘分母复数的共轭复数.2)由 推出.,例2.求下列复数的实部和虚部,共轭复数及模,例3.设z=x+iy,y0,zi,证明:当且仅当 时, 是实数 分析:,例3.设z=x+iy,y0,zi,证明:当且仅当 时, 是实数 证明:,*例4.设 为任意复数,证明,1.2 复平面及复数的三角表示,一. 复平面,1.复数的几何表示 复数 是由一对有序实数 惟

5、一确定的, 于是建立全体复数和 平面上的全部点之间的一 一对应关系,即用横坐标为 ,纵坐标为 的点 表示复数 2.定义:当平面上的点被用来代表复 数时,称该平面为复(数)平面. 一个复数集合就是一个平面点集. 某些特殊的平面可用复数所满足的某种关系式表示. 例 z:Imz0 为上半平面; z:0Rez1,0Imz1为以0,1,1+i,i为顶点的正方形 .,图1.1,二.复数表示方法种类: 1.向量表示:将复数的实部与虚部分别看着向量的水平 分量与铅直分量.(如图) 2.代数表示式: z=x+iy 3.三角表示式: 4指数表示式:,三.复数的模与辐角 1.模: 复数z0所对应向量的长度,记为|z

6、|. 2.辐角: 1)定义:复数对应的向量的方向角,记作Argz. 2)特点:有无穷多个值.任意两值相差 (kI) 3)主辐角: 4)注:(1)当z=0时,辐角无意义; (2)共轭复数有 (z0,且不为负实数),5)辐角的表示式:要看z在哪个象限而定 argz用 表示,则:,4.z0的复数实部与虚部同模与辐角的关系,1) 2) x=|z|cosArgz y=|z|sinArgz,四.复数的三角表示,1.三角表示式: (其中z0,r是z的模, 是z的任意辐角) 注:一个复数的三角表示不是惟一的,因辐角 有无穷多种选择. 2.三角式与代数式互换: 1)代数式化三角式: (1)求辐角 argz (2

7、)求模 2)三角式化代数式:,例1 求 的三角表示式. 分析: 由代数式与三角表示式关系推出,注意辐角所在象限.,例1 求 的三角表示式. 解: , 设 则 又 位于第II象限， 于是,例2. 分析: 利用三角恒等式关系,且注意半角三角函数的符号.,例2.,例3.设 求 的三角表 达式.,例3.设 求 的三角表 达式. 解:,五.用复数的三角表达式作乘,除法,设 其中 , 的某一辐角(j=1,2) 1.乘法: 模与辐角运算法则 结论:模相乘,辐角相加.,2.除法: 结论:模相除,辐角相减.,例3.利用复数的三角表达式计算 分析: 先将各复数化为三角表达式,再按三角表达式的乘法运算法则进行.,例

8、3.利用复数的三角表达式计算 解: ,六.复数的乘方与开方,1. 复数的乘方 1)定义:设 n为正整数，n个非零相同复数z 的乘积， 称为z的n次幂，记为 ，即 2)三角表示式:若 ，则有 结论:模的n次幂,辐角的n倍. 3)德摩弗公式:当 时，,例4 求 分析: 先将复数化为三角表达式,再按乘方法则进行.,例4 求 . 解 ,例5 已知 ， 求 .,例5 已知 ， 求 . 解,2.开方,1)定义: 称满足方程 的复数w为z的n次方根，记作 或记作 2)三角表示式: 设 则 故,3)注: 公式中k,虽然可以取任意值,但得出的所有结果只有n个不同的值. 故 k=0,1,2,n-1,例6 解方程

9、分析: 利用三角表达式的开方运算法则进行.,例6 解方程 . 解 : 可求出6个根 :,例7 计算,例7 计算 解 即,七.模的三角不等式,1.复数加,减法可用向量相加,减的三角形法则进行; 2.对任两个复数, 就是点 与点 之间的距离; 3.据三角形两边和大于第三边及两边之差小于第三边长的法则,有,例8.试写出方程 的复数形式. 分析: 由x,y与复数z的关系式推出.,例8.试写出方程 的复数形式. 解:,1.3 平面点集,一. 开集与闭集,1.邻域: 平面上以 为中心， 为半径的开圆表 示为： 称为 的邻域. 去心邻域: 由 所确定的点集，称 为 的去心邻域，,设G为一平面点集 2.内点:

10、 为G中任一点,若存在 的一个邻域,该邻域内 的所有点都属于G,则称 为G的内点. 开集: 如果G内每一个点都是它的内点,则称G为开集. 3.边界点: 是一个点,若在 的任一邻域内既有G的点 也有非G的点,则称 是G的一个边界点 边界: G的边界点全体 4.闭集: 若G的边界也属G,则称G为闭集 5.有界集:若存在一个以z=0为中心的圆盘包含G,称G为 有界集 无界集:否则称G为无界集.,例:,1)G=z:|z|R 开集; 2)G=z:|z|R 闭集; 3)G=z:|z|R,|z|=R是G的边界,二.区域:,1.连通:D中任何两点都可用完全属于D的一条折线 连接起来. 2.区域:D是开集且连通

11、,记为D. 3.闭区域:区域D与边界一起构成闭区域(区域), 记为,例:指出下列各式所表示的点集是怎样的图形并指出哪些是区域.,1) 2) |z+2-i|1 3）0argz1/3 解: 1)不含y轴的右半平面,区域; 2 )以z=-2+i为圆心,1为半径的圆周及其外部区域; 闭区域; 3)介于argz=0和argz=1/3之间的一个三角形区域, 区域.,三平面曲线,1. 曲线表示方法: 1)用实变数的复值函数表示: z(t)=x(t)+iy(t) (atb) 2)用动点z所满足关系式表示: 例:以z=0为中心,以a为半径的圆周 (1) 用参数方程可表示为: z=a(cost+isint) (2

12、)用动点z所满足关系式表示为:|z|=a,例:,满足下列关系的z是什么曲线? 1) |z-a|=|z-b| (a,b为复常数). 2) Re(1/z)=k (k为实常数).,解: 1)以a,b为端点线段的垂直平分线; 2) Re(1/z)=k (k为实常数).,概念：,1）重点：设：z=z(t)(atb)为一条连续曲线， z(a)与z(b)分别表示的起点与终点，对于 满足 的 ,当 而有 时，点 称为曲线 C的重点， ）简单曲线：无重点的连续曲线称为简单曲线或约 当（Jordan）曲线； ）简单闭曲线：z(a)=z(b),曲线C称为简单闭曲线， 例如， 是一条简单闭曲线（如图1.9）.,图1.

13、9,解释： 简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的； 简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的， 如:图1.10中的 是简单曲线, 是简单闭区域，图1.11中的 ， 不是简单曲线，但 是闭曲线.,图1.10,图1.11,4) 光滑曲线: 若在区间atb上, 都是 连续的,且对于t的每一个值,有 那么这曲线称为光滑的 5)分段光滑曲线:由若干段光滑曲线衔接而成的曲 线称为分段光滑曲线. 解释 都是连续-无角点,连续曲线 -模不为0,3.连通区域种类: 单连通域、多连通域. 1)单连通域:设D是一区域,如果对D内的任一简单闭曲线,曲线的内部总属于D,则称

14、D为单连通区域 2)多(复)连通域:否则称为多(复)连通区域. 解释:单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域， 而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12 ）.,图1.12,*例:,判下列点集是否是区域,是单连通还是多连通? 1) Rez=Imz; 2) 01,四无穷远点,1. 无穷大: 1)定义: 2)四则运算: (1) 加法: (2)减法: (3)乘法: (4)除法: 3)注:下列运算无意义:,2无穷远点,1) 无穷远点: 设想有一理想点与之对应; 2)扩充复平面: 复平面加上无穷远点; 注:复平面

15、上的每一条直线都通过无穷远点. 3)邻域: |z|M(其中实数M0); 4)去心邻域: M|z|+.,1.4 复变函数,一. 复变函数的概念 1.定义: 复变函数: 设G是复平面一点集,若对于G中任一点 z有确定的(一个或多个)复数w与之对应 则称w是定义在 G上的复变函数,简称复 变函数,记作w=f(z). 其中z称为自变量,w称为因变量. (定义域与值域可从高数中移植过来) 2.分类:单值函数:若对每一zG,有惟一w同其对应 则称w=f(z)为单值函数; 多值函数:不是单值函数的函数.,3.注: (1)w=f(z)相当于一对二元实函数 设z=x+iy,则w=f(z)可写成 W=f(z)=u

16、+iv=u(x,y)+iv(x,y) 其中U(x,y)与v(x,y)为实值函数. 分开上式的实部与虚部,得 u=u(x,y), v=v(x,y) (2)其性质取决于u=u(x,y)与v=v(x,y)的性质.,例1 将定义在复平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.,例1 将定义在复平面上的复变函数 化为一对二元实变函数. 解 设 ， ,代入 得 比较实部与虚部得 ，,例2 将定义在复平面除原点区域上的一对二 元实变函数 ， （ ） 化为一个复变函数.,例2 将定义在复平面除原点区域上的一对二 元实变函数 ， （ ） 化为一个复变函数. 解 设 ， ， 则 将 ， 以及 得,二.复变函数的极限与

17、连续性 1.极限: 1)定义 设函数f(z) 在 的去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有z，对应的函数值f(z)都满足不等式 则称复常数A为函数f(z)当 时的极限，记作 或,2) 注 由于 是复平面上的点,因此z可以任意方式趋近于 ,但不论怎样趋近,f(z)的值总是趋近于A. 3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例,5)计算方法:可归结为实数对极限的计算. 定理 设 ， 则 的充分必要条件为: 注:求极限方法种类： 1、转化为求两个二元实函数u=u(x,y),v=v(x,y)的极限问题. 2、直接计算。,例3 试求下列函数的极限. （1） 分析: 两种方法, 法一:将式化为代数式,按二元函数求极限的方法; 法二:将式视为自变量为z的一元函数,按一元函数求 极限方法.,例3 试求下列函数的极限. （1） 解:(1) 法1 设 ，则 ，且 得,法2,(2) 分析: 按一元函数求极限方法.,(2) 解,例4 试问 的极限是否存在? 分析: 要讨论z趋于零的方式.,例4 试问 的极限是否存在? 解: 当z沿实轴方向趋于0时,即取z=x(x0),则