第三章 3.6-3.8.ppt

1、一、线性系统的对偶关系,线性系统1、2如下：,如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：,3.6 能控性与能观性的对偶关系,对偶系统状态结构图,输入r维，输出m维,输入m维，输出r维,互为对偶关系的系统之间的性质,1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。,2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。,设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。,二、对偶原理,证明：,若 能控，则能控性矩阵 满秩。即,的能观测性矩阵为：,所以 能观测。,利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其 对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估 计问题之间的关

2、系。,反之亦然。,3.7 能控标准型和能观测标准型,一、单输入系统的能控标准型,单输入线性定常系统：,则存在线性非奇异变换：,能控,将状态方程化为能控标准I型：,其中：,非奇异变换阵为：,是 相乘的结果：,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能控标准型。 注意：非特别标明，能控标准型指的是能控标准I型。,解：,1）判断系统能控性,系统完全能控,2）计算特征多项式,3）计算变换阵，并化为能控标准型,二、单输出系统的能观测标准型,n维线性定常系统 如果状态完全能观测，必有：,上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关 的，可取n个线性无关的行向量或其某种组合构成状态空 间

3、的一组基底。所谓能观测标准型，就是系统在上述基 底下所具有的标准形式。要使行向量取法唯一，则m=1。 故能观测标准型仅讨论SO系统。,(对偶于能控标准型）,如果单输出线性定常系统： 是能观测的，,将状态方程化为能观测标准型：,则存在线性非奇异变换：,其中：,二、单输出系统的能观测标准型,将 代入上式，即可得到 。,非奇异变换阵为：,证明思路：仍然用对偶原理证明，能观测标准型，就是其对偶系统的能控标准型。,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能观测标准型。 注意：非特别标明，能观测标准型指的是能观测标准II型。,解：,1）判断系统能观测性,系统完全能观测,3）计算变换阵，并化为

4、能观测标准型,2）计算特征多项式,W(s)为能控性和能观性的关系,设 (单输入单输出) 定理:系统能控能观的充要条件是W(s)中没有零极点对消,设A的特征值: , 则系统可化为:,当 当,不能控,不能观,系统能控能观,例：写出以下传递函数的能控标准型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。,所以：,能控标准I型为：,例：写出以下传递函数的能观测标准型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。,所以：,能观测标准II型为：,3.8 系统的结构分解,按能控性分解 按能观测性分解 按能控能观测性分解,系统 状态变量,可控,不可控,可观,不可观,可观,不可观,可

5、控可观,可控不可观,不可控可观,不可控不可观,结构分解,依据可控可观 性，将系统分解 为四个子系统,特殊的线性变换,分解步骤： 1、将系统分解成可控与不可控子系统； 2、分别将两个子系统分解成可观与不可观子系统。,分解的目的：,除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其 它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性 地表示出来。 结构分解是： 1）最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述 的特性 2）状态反馈的基础：能控部分极点可任意配置。 3）状态重构的前提。,一、按能控性分解,目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分。为实现做准备。,如果线性定常系统： 是状态不完全能控的，它的能控性判别矩

6、阵的秩,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵： 前n1列为M中n1个线性无关的列，其余列在保证Rc非奇异下任选。,能控性分解示意图：,其中 是n1维能控部分：,其中 是n-n1维不能控部分：,u不能直接控制 ，而 未来信息中又不含 的信息。,能控部分,不能控部分,例：对以下系统进行可控性分解。,解：,可控性矩阵,不可控,构造变换矩阵,与前2个列向量线性无关； 尽可能简单,不可控子系统,可控子系统,二、按能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。 观测器设计基础。,如果线性定常系统： 是状态不完全能观测的，,它的能观测性判别矩阵的秩：,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵： 前n1行为N中n1个线性无关的行，其余行在保证Ro非奇异下任选。,能观测性分解示意图：,能观测部分,不能观测部分,其中 是n1维能观测部分：,其中 是n-n1维不能观测部分：,对y没有直接影响，而 中又不含 的信息。,例： 进行能观性分解 解：,选取 经过,能观子系统： 不能观子系统：,（系统的标准分解）： 假设系统：不完全能控也不完全能观 ,能控性分解,能控子系统能观性 分解,三、按能控性和能观性进行分解,不能控子系统能观性分解,能控能观: 能控 不能观: 不能控 能观 不