第一章 矢量分析.ppt

1、1,第一章 矢量分析,标量场和矢量场 矢量与矢量场的不变特性 矢量的通量 散度 矢量的环流 旋度 标量场的梯度 亥姆霍兹 (Helmholtz) 定理,2,1.1 标量场和矢量场,标 量：只有大小，没有方向。可以是实数域内的任一代 数量。标量形成标量场，如温度场。,矢 量：三维空间内既有大小又有方向特性的量，称矢量， 记为,物理量：代数量一旦被赋予“物理单位”，则就具有了物理 意义，变成了物理量 。例如电压 ，电流 。,为 的模的大小。,3,单位矢量：表示矢量的方向,其中 是任意取向的单位矢量。,矢量的加法和减法：任意两个矢量相加减等于两个矢量 对应分量相加相减，它们的和差仍然为 矢量，平行四

2、边形法则。,矢量的标量积（点乘）：AB=AB cos ，所得结果为标量。 矢量的矢量积（叉乘）： 所得结果为矢量，C=AB 大小由 AB sin 确定，方向由右手螺旋法给出。,矢量的除法：矢量的除法没有任何意义。,4,场：物理量数值的无穷集合表示一种场。场的重要属性是 其占有空间 静态场：与时间无关。 动态场或时变场：与时间有关。 标量场：只需用标量函数描绘的场，如温度场。 矢量场：既要指出大小，又要给出方向，需要物理矢量 描绘的场。例力场，流速场。 一般而言，矢量场的大小和方向是逐渐变化的。,5,矢量场可以分解为三个分量场 其中 为位置矢量 ，从坐标原点指向空间位置 点， 为三个标量场（解释

3、P241页）。,6,图0.1.1 等值线,7,11、求数量场 通过 点 M（1，2，3）的等值面方程。 解：函数在点M（1，2，3）处的值为， 故等值面方程为 即,8,1.2 矢量与矢量场的不变特性 （指与坐标系无关）, 唯一：当 一定时， 、 是唯一的。 与所选坐标系无关。,9, 矢量不变性：,10,1.3 矢量的通量 散度, 面元矢量：,面元方向,11,注意：通量是标量。, 通量：矢量垂直穿过一个曲面 S 的量,其中 为矢量 与 的夹角。,“源”就是源头，沟就是“负源”。,12, 散度： 研究矢量场在一个点附近的通量特性；表示从该点单位体积内散发出来的通量，表征通量源强度。,与 大小形状无

4、关，与 沿空间位置变化有关。,13,注意：哈密顿算符是矢量运算符号，矢量的散度是标量。,直角坐标系下： 圆柱坐标系下： 球坐标系下：,14, 散度定理：(高斯定理）,揭示了散度与 通量关系。,由,可得：,15,散度定理的物理意义：矢量通过闭合曲面的通量等于 矢量的散度在闭合曲面所包围 体积上的积分。,1、线积分：,1.4 矢量的环流、旋度,16,若 为流体速度矢量,环流是描述矢量场 的重要物理量,2、矢量的环流（是个标量）：矢量沿闭合曲线的线积分,17,3、旋度： 环流面密度矢量，表征每个点附近的环流，其值与面元及 旋涡面矢量有关，其中最大值为旋度 。记为 （即旋涡面与面元矢量相重合时）,其中

5、 为任意面元， 在面元矢量 上 投影为 。,18,注意：矢量的旋度是矢量， 。 大小为最大环流面密度， 方向为此时的面元方向。,公式：直角坐标系下,19,圆柱坐标系下：,球坐标系下：,20,12、已知 求 （1）、试确定a、b、c，使得 A 成为无源场（无散场）。 （2）、A 是无旋场吗？,解：（1）、要使得 A 成为无源场，则其散度为 0,21,要使得散度为0，必有 即,此时,22,（2）A 是无旋场吗？,所以 A 旋度不是恒为 0，也就是说 A 是有旋场。,23,4、旋度的性质： 矢量旋度（还是矢量）的散度恒等于零， 即,证明：,24,利用此性质，若 ，可令 满足：,5、斯托克斯定律,是环

6、流面密度，即围绕单位面积环路上的环量。 因此，其面积分后，环量为：,25,在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是 两个非常重要的定理。,斯托克斯定律提供了计算环流的又一方法。,矢量函数的线积分与面积分的互换。,矢量在闭合路径上的环流等于矢量的旋度在闭合路径 包围面积上的积分。,斯托克斯定律：,26,1.5 标量场的梯度（矢量） 1、标量场 的梯度,27,梯度的模是 的最大增加率，方向是等值面的法线方向，即 增加率最大方向。,2、性质：, 表征标量的增量,28, 梯度是与等值面垂直的量, 标量场梯度（矢量）的旋度恒为零 （重要性质：解释第13页）,应用：若 在场中各点有 ，则 可用 某一标量场 的梯度表示，即：,29,13、已知标量场,求在点M（0，0，0）和点N（1，1，1）处的梯度。,解：由于,故,30,1.6 亥姆霍兹（helmholtz ）定理,当散度源、旋度源分布确定，矢量场就唯一确定了。,矢量场有两种不同性