北京西城区高三数学理科一模试卷及

1、北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2013.1 第卷第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1已知集合A xR R|0 x 1，B xR R |(2x1)(x1) 0，则AU B （） （A）(0, ) （C）(,1)U ( ,) 2在复平面内，复数 （A）第一象限 3在极坐标系中，已知点P(2, )，则过点P且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A）sin1 4执行如图所示的程序框图若输出S 15， 则框图中 处可以填入（） （A）k 2 （B）k 3

2、 （C）k 4 （D）k 5 （C）cos1 1 2 （B）(1,1) 1 2 （D）(,1)U (0,) 5i 的对应点位于（） 2i （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 6 （B）sin 3 （D）cos 3 5已知函数f (x) xbcosx，其中b为常数那么“b 0”是“f (x)为奇函数”的（） （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 6已知a,b是正数，且满足2 a2b 4那么a b的取值范围是（） （A）( , 7某四面体的三视图如图所示该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（） （A）2 5 （B）2 6 （C）2 7 （D）4 2 8将正整数1,2,3,4,5,6,

3、7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的 概率是（） （A） 22 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 4 16 ) 55 （B）( ,16) 4 5 （C）(1,16)（D）(16,4) 5 2 21 （B） 4 63 （C） 1 21 （D） 2 63 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9.已知向量a a (1,3)，b b (2,1)，c c (3,2).若向量c c与向量ka ab b共线，则实数k _ 10如图，Rt ABC 中，ACB 90，AC 3， BC 4以AC为直径的圆交A

4、B于点D，则 BD ；CD _ 11设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn若a11，a3 4，Sk 63， 则k _ x2y2 1的两个焦点是F 1 ，F 2 ，点P在该椭圆上 若| PF 1 | PF 2 | 2， 12已知椭圆 42 则PF 1F2 的面积是_ 13已知函数f (x) sin(2x )，其中x 若f (x)的值域是 14已知函数f (x)的定义域为R R若常数c 0，对xR R，有f (xc) f (xc)， 则称函数f (x)具有性质P给定下列三个函数： f (x) 2；f (x) sin x；f (x) x x 其中，具有性质P的函数的序号是_ x3 6 ,a当

5、a 时，f (x)的值域是_； 63 1 ,1，则a的取值范围是_ 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15（本小题满分 13 分） 在ABC中，已知 3sin 2B 1cos2B （）求角B的值； （）若BC 2，A 16（本小题满分 14 分） 如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA PD，PA平面PDC， ，求ABC的面积 4 E为棱PD的中点 （）求证：PB/ 平面EAC； （）求证：平面PAD 平面ABCD； （）求二面角E AC B的余弦值 17（本小题满分 13 分） 生产 A，B 两种元件，其质量按测试

6、指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82 为次品现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件 A 元件 B 70,76)76,82)82,88)88,94)94,100 8 7 12 18 40 40 32 29 8 6 （）试分别估计元件A，元件 B 为正品的概率； （）生产一件元件 A，若是正品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件元件 B， 若是正品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元 .在（）的前提下， （）记X为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润，求随机变量X的分布列 和数学期望； （）求生产 5 件元件 B

7、所获得的利润不少于 140 元的概率 18（本小题满分 13 分） 已知函数f (x) x ，其中bR R 2x b （）求f (x)的单调区间； （）设b 0若x , ，使f (x) 1，求b的取值范围 19（本小题满分 14 分） 如图，已知抛物线y 4x的焦点为F过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x 1, y1) ， 2 1 3 4 4 B(x 2 , y 2 )两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N （）求y1y2的值； （）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2.证明： 20（本小题满分 13 分） 如图， 设A是由nn个实数组成的n行n列的数表， 其中aij(i, j

8、 1,2,3,L ,n)表示位 于第i行第j列的实数，且aij1,1.记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合 对于AS(n, n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，c j (A)为A的第j列各数之积 令 k 1 为定值 k 2 l(A) r i (A)c j (A) i1j1 nn （）请写出一个AS(4, 4)，使得l(A) 0； （）是否存在AS(9, 9)，使得l(A) 0？说明理由； （）给定正整数n，对于所有的AS(n, n)，求l(A)的取值集合 北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末 高三数学（理科）（理科）参考答案及评分标准 2013.12013.1 一、选

9、择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1D；2B；3A；4C；5C；6B；7C；8B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 1612 ，；116； 55 1 12 2； 13 ,1，,； 14 26 2 91；10 注：注：1010、1313 题第一问题第一问 2 2 分，第二问分，第二问 3 3 分分;14;14 题结论完全正确才给分题结论完全正确才给分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080

10、 分分. .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分标准给分. . 15（本小题满分 13 分） （）解法一：因为 3sin 2B 1cos2B， 所以 2 3sin BcosB 2sin B 3 分 因为0 B ， 所以sin B 0， 从而 tan B 3， 5 分 所以B 分 解法二： 依题意得 所以 2sin(2B 2 6 3 3sin2Bcos2B 1， ) 1， 6 1 即 sin(2B) 3 62 分 因为0 B ， 所以 所以2B 分 所以B 13 ， 2B 666 5 5 66 6 3 分 （）解法一：因为A 4 ，B 3

11、 ， 根据正弦定理得 ACBC sin B sin A ， 分 所以AC BCsin B sin A 6 分 因为C A B 5 12 ， 分 所以 sinC sin 5 12 sin( 4 6 ) 6 2 4 ， 分 所以 ABC的面积S 1 2 ACBCsinC 33 2 分 解法二：因为 A 4 ，B 3 ， 根据正弦定理得 AC sin B BC sin A ， 分 所以 AC BCsin B sin A 6 分 根据余弦定理得 AC2 AB2 BC22ABBCcosB， 7 8 9 11 13 7 8 9 分 2 化简为AB 2AB2 0，解得 AB 13 11 分 所以 ABC的面

12、积S 16（本小题满分 14 分） （）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO 因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点 因为E为棱PD中点 所以PB/EO3 分 因为PB 平面EAC，EO 平面EAC， x x A A z z P P E E D D O O B B y y C C 133 ABBCsin B 13 分 22 所以直线PB/平面EAC4 分 （）证明：因为PA平面PDC，所以PACD5 分 因为四边形ABCD为正方形，所以AD CD， 所以CD 平面PAD7 分 所以平面PAD平面ABCD8 分 （）解法一：在平面PAD内过D作直线Dz AD 因为平面PAD平面ABCD

13、，所以Dz 平面ABCD 由Dz,DA,DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 9 分 设AB 4，则D(0,0,0), A(4,0,0), B(4,4,0), C(0,4,0), P(2,0,2), E(1,0,1) 所以 EA (3,0,1)，AC (4,4,0) uuu r n nEA 0, 设平面EAC的法向量为n n = (x,y,z)，则有uuu r n n AC 0. 所以取x 1，得n n (1,1,3)11 4x 4y 0 分 易知平面ABCD的法向量为v v (0,0,1)12 分 所以|cos n n,v v | 分 由图可知二面角E AC B的平面角是钝角

14、， 所以二面角E AC B的余弦值为 分 解法二：取AD中点M，BC中点N，连结PM，MN 因为ABCD为正方形，所以MN/CD 由（）可得MN 平面PAD 因为PA PD，所以PM AD 由MP,MA,MN两两垂直，建立如图所示 x x A A P P E E MM 3x z 0, |n nv v |3 11 13 |n n|v v |11 3 11 14 11 z z D D O O B B N N C C y y 的空间直角坐标系M xyz9 分 设AB 4，则A(2,0,0), B(2,4,0), C(2,4,0), D(2,0,0), P(0,0,2), E(1,0,1) 所以 EA

15、 (3,0,1)，AC (4,4,0) uuu r n nEA 0, 设平面EAC的法向量为n n = (x,y,z)，则有uuu r n n AC 0. 所以取x 1，得n n (1,1,3)11 4x 4y 0 分 3x z 0, 易知平面ABCD的法向量为v v (0,0,1)12 分 所以|cos n n,v v | |n nv v |3 11 13 |n n|v v |11 分 由图可知二面角E AC B的平面角是钝角， 所以二面角E AC B的余弦值为 3 11 11 分 17（本小题满分 13 分） （）解：元件 A 为正品的概率约为 40328 100 4 5 分 元件 B 为

16、正品的概率约为 402963 100 4 分 （）解：（）随机变量X的所有取值为90,45,30, 15 分 P(X 90) 4 5 3 4 3 5 ； P(X 45) 1 5 33 4 20 ； P(X 30) 4 5 1 4 1 5 ； P(X 15) 111 5 4 20 分 所以，随机变量X的分布列为: X90453015 P 3311 520520 分 14 1 2 3 7 8 EX 90 分 3311 4530(15) 66 9 520520 （）设生产的 5 件元件 B 中正品有n件，则次品有5n件. 依题意，得50n10(5n) 140，解得n 19 6 所以n 4，或n 51

17、1 分 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件A， 则P(A) C5( ) 18.（本小题满分 13 分） （）解： 当b 0时，f (x) 4 3 4 4 13 5 81 13 分( ) 44128 1 x 故f (x)的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间1 分 b x2 当b 0时，f (x) 2 3 (x b)2 分 令f (x) 0，得x 1 b，x 2 b f (x)和f (x)的情况如下： x(, b) b( b,b) b ( b, ) f (x) 00 f (x) 故f (x)的单调减区间为(, b)，( b,)；单调增区间为( b, b) 5

18、 分 当b0时，f (x)的定义域为D xR R | x b b x2 0在D上恒成立， 因为f (x) 2(x b)2 故f (x)的单调减区间为(, b)，( b, b)，( b,)； 无单调增区间 7 分 （）解：因为b 0，x , ， 所以f (x) 1等价于b x x，其中x , 9 分 设g(x) x x，g(x)在区间 , 上的最大值为g( ) 分 则“x , ，使得 b x x”等价于b 2 1 3 4 4 2 1 3 4 4 1 3 4 4 1 2 1 11 4 1 3 4 4 2 1 4 所以，b的取值范围是(0, 13 分 19（本小题满分 14 分） （）解：依题意，设

19、直线AB的方程为x my 21 分 将其代入y 4x，消去x，整理得 y 4my 8 0 4 分 从而y1y2 8 分 （）证明：设M(x3, y3)，N(x4, y4) 1 4 22 5 则 y 3 y 4 k 1 y 3 y 4 x 1 x 2 2 k 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 2 44 y 1 2 y 2 2 44 y 1 y 2 7 y 1 y 2 y 3 y 4 分 设直线AM的方程为x ny1，将其代入y 4x，消去x， 整理得 y 4ny 4 0 9 分 2 2 所以 y 1 y 3 4 10 分 同理可得 y 2 y 4 4 11 分 故 k 1 y

20、1 y 2 y y 2 y y 112 13 k 2 y 3 y 4 4 4 4 y 1 y 2 分 由（）得 分 20（本小题满分 13 分） （）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 k 1 2，为定值 14 k 2 1111 1111 1111 1111 3 分 （）解：不存在AS(9, 9)，使得l(A) 04 分 证明如下： 假设存在AS(9, 9)，使得l(A) 0 因为ri(A)1,1，c j (A)1,1(1 i 9,1 j 9)， 所以r 1(A) ，r 2 (A)，L ，r 9 (A)，c 1(A) ，c2(A)，L，c9(A)这18个数中有9个1， 9个1 令M r 1(A)r2 (A)L r 9 (A)c 1(A)c2 (A)L c 9 (A) 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1，从而M (1) 1 另一方面，r 1(A)r2 (A)L r 9 (A)表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为 9 m）；c 1(A)c2 (A)L c 9 (A)也表示m， 从而M m2