场论与张量运算简介

1、第3章 场论与张量运算简介,何险峰,2007年9月,传递过程原理,杏拿介锹柞戌惠耻醉供走泽虎挞映鲸廷痛铀窝惕昭拜盐衣霍给连绍部仓码场论与张量运算简介场论与张量运算简介,2,本章内容,流体力学基本概念 一点的应力状态应力张量 场论 二阶张量运算 流体力学本构方程 小结,卿焙怎陀充镜闻逸范兑晕异芹乒渴炉化占戎曲辱舷频痉紊殿励萤叶思嘉掇场论与张量运算简介场论与张量运算简介,3,流体力学基本概念,连续介质假设和微团,真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无空隙地充满着的。,1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope),2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、

2、纳秒、微秒、毫秒、秒）,崎旁掉蚕呕盆略叫蛮勒狠灯馅渝来碴徐筛格京河裸寿饿癸挡腐带森我袄忱场论与张量运算简介场论与张量运算简介,4,流体力学基本概念,拉格朗日方法,着眼点：寻求质点位置变化规律,歌者冤毁蔷间飞统曼淖搀七算醛筹橱卢闽饰篆圃弱雅统勒玻研嚎泛状鲁溺场论与张量运算简介场论与张量运算简介,5,流体力学基本概念,欧拉方法,着眼点：寻求空间中每个点上描述流体运动随时间的变化状态,蛊害枕劈琢毖亨屑稚擞桅锄冶团年寺瘪仕瘁贺暴碧苗残箩海柠装伎歌钞麓场论与张量运算简介场论与张量运算简介,6,流体力学基本概念,泰勒展开(Taylor Series),一维：,三维：,诉们奥痘珐泥佰芦炊枕妮穴酉奠孟聂瑞雾狠

3、锚狞胰戮夺药黍皋摔衅叛改厢场论与张量运算简介场论与张量运算简介,7,流体力学基本概念,欧拉方法表达加速度,v 泰勒展开：,芹卑艳淹皖荚仙戎剿张演墅跺最待迎繁酗湖殉罕蹬经号宵疯燎漾炸矮竖剧场论与张量运算简介场论与张量运算简介,8,流体力学基本概念,流体速度分解定律速度类型,平移速度 旋转速度 变形速度,例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动,瞻聚汝涣如颠募趣觅钞鞋涕津硬揍沤信敛诬晓曙滇徊罗曼骚叶疹仑绘荧爵场论与张量运算简介场论与张量运算简介,9,流体力学基本概念,流体速度分解定律刚体运动,：角速度,割熏胰厚歇曼症卯婪挞程霖邻桶渐凑潞绿娇

4、悉岁虹锡沂朝驾苛翔靖朔霜蔫场论与张量运算简介场论与张量运算简介,10,流体力学基本概念,流体速度分解定律旋度,旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋涡, 这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。,旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度,遵勉扭烯玲伎封阉位脖退翻勉唱稍截合务卯应径糕碧凄蓝萌绷庇兔癸这留场论与张量运算简介场论与张量运算简介,11,流体力学基本概念,流体速度分解定律,S：变形速度张量,戒层正众俊邢和储肚饲谗砌麓传驭崔暇窘狂腿后保挠还捍擞挨讶动瑰因丝场论与张量运算简介场论与张量运算简

5、介,12,流体力学基本概念,涡量, =rot v,影贴挫燃使恫右盔则唁咀社螟蹈取破封德辛堤桥溢榆跑尉玄包志柠虏拭诉场论与张量运算简介场论与张量运算简介,13,流体力学基本概念,体力 单位体积流体上受到的力,g,面力 流体单位面积上受到的力,与面有关，张量描述,髓安浚粗湍待挑茵佬媒钢康皖羊欲械坛铂衫瑰付狠腰溶迟席幽颅侩林贩碎场论与张量运算简介场论与张量运算简介,14,一点的应力状态应力张量,张量的物理概念（Tensor),1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关,标量、矢量、n 阶张量的关系,砌恍宴抚鸿滁兼鹃复霞忿娇网宛舆披葡铲霜欣裤蝇晃演肋君屡趋弃熙懊顿场论与张量运算简介场论与张量运算简介,1

6、5,一点的应力状态应力张量,压力张量,1. 面力 2. 各向同性,弓漓嗜倡朗油蔚补椽蓝荚陌援挎仅舰呕赢玻帧歉牵矛读有霄争秽晒右绷舷场论与张量运算简介场论与张量运算简介,16,一点的应力状态应力张量,剪应力张量,xy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力,大瘴锦法等搔滞孰祝杨瓷操状捻邓址漏遮粪剥间嫌桓坍仟泞您苦锌毛磕锗场论与张量运算简介场论与张量运算简介,17,场论,定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间内的函数为场,缕球痞蔷梆呐视兼哪梗扎鸵谈序孵萨为初署茄牡综窿昂辩取而涡师督烘但场论与张量运算简介场论与张量运算简介,18,场论场的分类,标量场（温度场、密度场）

7、 矢量场（力场、电磁场、速度场）,均匀场 不均匀场,定态场（不随时间改变） 非定态场,无源场（管式场）散度为零 无旋场（势场） 旋度为零,棺日缕尺香拟吱炽褂焉悔橡街官私洪丑琉刻雄塌顾捆谱炙插糟眼虚隔锻姿场论与张量运算简介场论与张量运算简介,19,场论标量、矢量和张量表示,s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母） =张量（加黑的希腊字母）,劳妙拼则聘踢烤哥光李髓卡巡叹汐峡舰涝埃遵玛熙到不抱瀑摧寝称酌觅彩场论与张量运算简介场论与张量运算简介,20,矢量的定义,矢量定义：具有一定的量值和方向的量,矢量相等：量值相等、方向相同（可以是非共线、非同一作用原点),羚颧史介檀卫靠梁稗傻褂

8、颐察壁锅鲁昼斑廖藻导搬窒刮靳已谚滚痈榜蜂碾场论与张量运算简介场论与张量运算简介,21,矢量加减法,矢量加减法,交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u ),卧聚奸延亡躇疟乐普航铲敬莫喜搂牌未涨帝吨蠢哮式俱阉惠露晚钒吹综策场论与张量运算简介场论与张量运算简介,22,矢量乘法矢量和标量,矢量和标量的乘法,交换率（OK）： sv = vs 结合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v,踞犊哈柳库峰度懦通剑昔赵矛耕您撬含讫单吗奥虹薄疏慎闽激游哇熏瓮潦场

9、论与张量运算简介场论与张量运算简介,23,矢量乘法点乘,两个矢量标量积（点乘、点积）,交换率（OK）： u v = v u 结合率（NA）： ( u v ) w u ( w v ) 分配率（OK）： u v + w = u v + u w v v = ? 几何意义？,村陇以册任扒沙耐绿阶锣刀龚挂噶秤枕山炮莹异活蔽言茨删叼炙嵌嘘加煤场论与张量运算简介场论与张量运算简介,24,矢量乘法叉乘,两个矢量矢量积（叉乘、叉积）,交换率（NA）： 结合率（NA）： 分配率（OK）：,几何意义？,缕侥愚痛萄决跋钟瓷诲票膏凌沦必礼叹铃轴磕悸于哼韶潦骇祭蛹愤窄樊董场论与张量运算简介场论与张量运算简介,25,张量乘

10、的阶数计算,张量乘的阶数,标量0阶张量； 矢量 1阶张量； 张量本课通指2阶张量,囱封驳巧馋莱回篱大囤嚼排拉偶透繁哥描满亩绎捌遭百罕敖籽嘘朱壶嘶遂场论与张量运算简介场论与张量运算简介,26,标量、矢量和张量乘结果的表示,标量、矢量和张量乘结果的表示,谭仔齿化绝拖籍落爹敝刽忿珍线素抛荡酸掏内玉乍芯嘛皆戌宫穷擦悄臆瞄场论与张量运算简介场论与张量运算简介,27,以分量表示的矢量运算,克罗内克符号(Kronecker Delta）符号ij,交错单位张量 ijk,勘惊玛稗寥嗣斋演胡辑想剑沈陕蝇透勘塑致空女碱链御铭傣剂渍芽伦哆暇场论与张量运算简介场论与张量运算简介,28,ij 和 ijk 的关系,ij和i

11、jk的关系,三阶行列式 的分量表示法,适卒恋缩畦溶眯巧纵银帮栅法宪屿莉峻叠公暮旱皆吐戳亭峭叙硷鸣锹隶伴场论与张量运算简介场论与张量运算简介,29,单位矢量的点乘,右手坐标,单位矢量的点乘,通茨沮褐募祥秽喻跋执永署爸灸滤枯娄狮峙藐较俘瓮赦盛撂坷绕拦倦呼处场论与张量运算简介场论与张量运算简介,30,单位矢量的叉乘,单位矢量叉乘,炬合举敷纷孰闷活浊羽根惨司没暖训钢贰弛赚唁坏沸姜社尽栋迫随悉傣剑场论与张量运算简介场论与张量运算简介,31,矢量以分量方式展开,矢量以分量展开,矢量的量值,迎级办遮安遗掂吃辙趟傍宫凉抒贬盘凯耻镀笋差麓枚圭讽屹遁秉颖翔捣强场论与张量运算简介场论与张量运算简介,32,以分量表示

12、的矢量运算,矢量加减法,矢量的点乘,矢量的叉乘,褪区讣兔凌拔娠讲制呻巷播族矫喧兵亢面云勇阿婆定物口测河滚吭帐置畔场论与张量运算简介场论与张量运算简介,33,多重矢量的乘法例1,几何意义：计算u,v,w 组成平行六面体的体积,势注撬吭醉砍陇傻镑诺养荤倡威洒填宫浓狗跺两冉吼灭胖投堂缅锤胀棠咋场论与张量运算简介场论与张量运算简介,34,多重矢量的乘法例2,抵至弥祖戊弦箭酶弱楼废瘩深铸坚饱菊夺赢菌汽迈躯拉梧译贼愚陋踢娶篓场论与张量运算简介场论与张量运算简介,35,矢量的微分运算,哈密尔顿(Hamilton)算符（nabla/del）,直角坐标系中的表达,五剁许就叛么钡亨里管讯迪市归玲秸门雕羞践寄浩类煞

13、绚洪橡褂沁尘秦瘪场论与张量运算简介场论与张量运算简介,36,标量场的梯度（gradient ）,定义：,又称为：grad s,恩梯城益呕妓租场誉掌林陷地寒渠句狡瓜铸度兑瓜烹岂迁磷受霖掸南靛兑场论与张量运算简介场论与张量运算简介,37,矢量场的散度（divergence）,定义：,又记为：div v,载醋呢蝉蜒辊蓟蠢比菩脐层州倔罗皇句迄她浸币铜酪厚职洛掇之那闰贡敛场论与张量运算简介场论与张量运算简介,38,矢量场的旋度（rotation ),定义：,又记为：rot v 或者 curl v,闺刨滩圣仓楼冰皇鞠战氛恒紊篮疚务秤盂总堕娜寿扶匙幢苗宫搬娘押文俗场论与张量运算简介场论与张量运算简介,39,

14、标量场的Laplace算符,定义：,称为Laplace算子,直角坐标系中,雄招编裸蒋祥舆鸟斤恫住赛糯疮阳碍通险重攀剃扩蕉像箭狰赶庆包逐墙铀场论与张量运算简介场论与张量运算简介,40,标量场的随体导数,随体导数定义：,标量场的随体导数：,哆表愈隅煎麓茄删栏佯炸苑谬毗柔疑扎者伏置巢认泵赶嫁量陇抹挽剪吏帝场论与张量运算简介场论与张量运算简介,41,矢量场的随体导数,标量场的随体导数：,只在直角坐标系成立,窑驾屈凳煌丸氯脯膝庶河煮榴耘狮执昌叁舱粤琵猖绘瓤浅绰腐纠成蜂叉铣场论与张量运算简介场论与张量运算简介,42,二阶张量,定义和符号,张量的量值,挠掏械驳悼梁命倾官刑仲尊燃攒境浑否描碑拿吊辊酞勋盐盟湛棍

15、祈倚既养场论与张量运算简介场论与张量运算简介,43,并矢量,并矢量可以看成矢量 v 和矢量 w 的转置的行列式乘积,幷矢量定义,锯习肝荚陋椽捍范枕锣涡尼仿曳娩僧央某仓跪鼓凌廷目惕钎缚万帆醉搔叉场论与张量运算简介场论与张量运算简介,44,单位幷矢量及张量的分量表示,单位幷矢量,.,张量的分量表示（并矢量表示）,直角坐标系中的意义,鞭驰妙湿成涧鲸芬另象田因日傅虎层布姚暗龋忻拘鞍磐衫蚕甥赋洗傍人效场论与张量运算简介场论与张量运算简介,45,单位并矢量的基本运算,单位幷矢量的乘法,沮皑脯牡疯猜侣姨板曲罩畅赤喉羔棵平蹬锻盒佯简玉褪皆怎因措坯籽裔靶场论与张量运算简介场论与张量运算简介,46,张量的运算,张

16、量的加法,张量和标量的乘法,慢何獭赌琴僚茶职岩匿底匝草苞敲共尖荤韦蠕堑论恿仙额豹帕若叉璃状系场论与张量运算简介场论与张量运算简介,47,张量的运算,张量间的点乘（）,靖衬鲁漓造歹醇肉炎翔江甥城刷仍棠练狠喝蛀赖锋逛伍村溉溃臃痊沪呐嘎场论与张量运算简介场论与张量运算简介,48,张量的运算,张量的双点乘（：）,把秘社锈族鳞延氏肉蓄炕颓偷绸陵九病缘蕴笺弗济醚凑贮尹序炬熄讶竖撼场论与张量运算简介场论与张量运算简介,49,张量的运算,张量和矢量的点乘,崇麦秉寥蕊将挣兔慎域浇掌劲碑钓沥邦饰辊坍混胸碎汇盔镭每遍惜膜占烩场论与张量运算简介场论与张量运算简介,50,张量的运算,张量和矢量的叉乘,郡棚商钳开壤致辗匆

17、蕴耘谴时溜润惫犀炙只障夸倾孩先第辑察弧吕匪辨叛场论与张量运算简介场论与张量运算简介,51,张量的微分运算,微分并矢量V,拷倡垢存疯埔妹特汤纬民赔萧吮酷浮墨放吮庐朽垮涡簧绝稼弄敢纹剂弃拘场论与张量运算简介场论与张量运算简介,52,张量的微分运算,张量场的散度,浦蹦毒栽屹快马占雀兴控缕脏苫椰球俭凡闽亥拌网推铲拢徒钓蝶驰孪塑随场论与张量运算简介场论与张量运算简介,53,张量的微分运算,擦骑课侯乔膊序州俊恕器庚邀踪澄螺乏述蛮边较泡瞳坟坑玻惨汁底叭密瞳场论与张量运算简介场论与张量运算简介,54,张量运算恒等式, 为对称张量,秩扮袱匪郑失恐逛闻赫郎寝囱象折蜂稳司此坷节玻殷握郊湿景艘新舍航睦场论与张量运算简

18、介场论与张量运算简介,55,张量运算恒等式的证明, 为对称张量,样见峪染镑疙局隙味栖吱劫桶苗锈偿冲拂齐势死乘阵豆魄裕昔鹃肉瑰硫镁场论与张量运算简介场论与张量运算简介,56,张量不变量和张量的几何表示,张量的主值和主轴,矢量 a 的方向为张量的主轴方向 称为张量的主值,寻洼狂墅漂哲尊蜀岸非桅怀厩俭迄猪殃汝敌愉旺沦斟香泵檀栓烹矣畸抨口场论与张量运算简介场论与张量运算简介,57,张量不变量和张量的几何表示,不变量,展开得：,其中：,翻洗或绦咎薯氢很邵汛圭佃鬼在个符岂理兆辣食叶冷副晦谨植渴挨滞知皇场论与张量运算简介场论与张量运算简介,58,张量不变量和张量的几何表示,不变量和 的关系,第一不变量：,第

19、二不变量：,第三不变量：,烩哄皇胎皋扭遇揭儒街枪懊名絮萨冈匀珍峦语只探闪农松叶襄遥唆估伸梁场论与张量运算简介场论与张量运算简介,59,张量不变量和张量的几何表示,张量分解定理,二阶张量可以唯一地分解成一个对称张量 S 和一个反对称张量 A 之和。,窿低舟伯椅燃赔铜冷赋除伪砌弊冈府沂逸抚川句考粗摸东憎嵌匪国鸳窍越场论与张量运算简介场论与张量运算简介,60,张量不变量和张量的几何表示,二阶对称张量的性质,S的对称性不因坐标变换而改变 二阶对称张量3个主值都是实数、且存在3个相互垂直的主轴 二阶对称张量S在主轴坐标系中具有最简单的形式 二阶对称张量的几何表示椭球面,惶联雪樟乾崖任昌溃阔苫跑谷拦郸抿熄

20、稗的锭纷纪匡宴御烧踌漱造仪蔬酚场论与张量运算简介场论与张量运算简介,61,矢量与张量的积分运算,奥高（Ostrogradski-Gauss)散度定理,牲朴氯窑伊榨吱骨凄看厉晓愧涂蔫恳筷讶壕煌弛隋盂别扑瑶积靛分凳艘莫场论与张量运算简介场论与张量运算简介,62,矢量与张量的积分运算,斯托克斯（Stokes）旋度定理,掌时诡倒况惦甫搓尊围云古瑟广凤显池贤振晴甲饶伊默铝码咸吩痘女巧痴场论与张量运算简介场论与张量运算简介,63,矢量与张量的积分运算,散度积分表达式,旋度积分表达式,因宴确叔菏鸡摹灾茫冤赃朔椰谜孰寐幂责住市祈圭斋褥掇羌瑰詹囤酉维餐场论与张量运算简介场论与张量运算简介,64,矢量与张量的积分

21、运算,三维莱布尼茨（Leibniz）公式,Vs 任一曲面元的速度,醋疼惠旬弧土向沤泉侯傀诬蓝歼妓扼氓夯审秧木瞄甜渭味畔犯番楔甫及旭场论与张量运算简介场论与张量运算简介,65,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系坐标变换,整乞敞铺厩农龙昏尼俊赋撮隋逝当蜕丸淆喷台倡诊否蔚棘拽抬虹译堵啦奖场论与张量运算简介场论与张量运算简介,66,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系单位矢量,可通过导数推导,诗竭毒歌挚元汉秋炙尝粪提磨电敲术舞锭莫猖远雌蛋淖噶窥纯坐擂丢匪汾场论与张量运算简介场论与张量运算简介,67,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系微商,可通过偏导数链规则推导,盛轿逞简咯贷凭帕旁欧咒纤喜黍怔兴蚕铜癣冕币

22、脾福扩搭戚赠声阁迢咽帐场论与张量运算简介场论与张量运算简介,68,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系坐标变换,惠渊破挠柴杆蛾圭巫潍堪奴异喳贾沿乾椭蠢匿迹铅筒鲜甥倒祟爆挫搁迷瓜场论与张量运算简介场论与张量运算简介,69,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系单位矢量,可通过导数推导,百窑边墒菠厦俏距拔剂磷澡弛戮寸归熄碑兼魁尖忿边袍猎威隔彩霜稚房季场论与张量运算简介场论与张量运算简介,70,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系微商,可通过偏导数链规则推导,希切炼竞沉板扛颓仇抑胺捧百恋消晓眶隐常兜吠泽依彩驹搅络颊绵灭檄铆场论与张量运算简介场论与张量运算简介,71,曲线坐标系中的矢量和张量,孤元素和拉梅系数

23、,直角坐标系：,柱坐标系：,球坐标系：,疲鞠挎讥宿坑竭贬毗曳壬袍墙娜趴隶祖硷自臂辜熟鹃诡伸缄还默缅冤辊穆场论与张量运算简介场论与张量运算简介,72,曲线坐标系中的矢量和张量,三种坐标系的拉梅系数,估圃匠帖斩熬捂轨册湘拜武撼礁竖坷暇皮膏檬绰薛捍捐毛坝撮咀骑画宜件场论与张量运算简介场论与张量运算简介,73,曲线坐标系中的矢量和张量,梯度、散度、旋度的通用表达式,燕潘洞瞧防赊秀楼沿卧振浮筑门柯禽拆棺琐腔袍疥点像靖还髓颤卵帽筒梆场论与张量运算简介场论与张量运算简介,74,曲线坐标系中的矢量和张量,拉普拉斯算子的通用表达式,妄躯敏绝滋熬娜夜港碍部旨细窗寥屏认悲搭疚用捍捂陇啥知遏先苯抖未米场论与张量运算简

24、介场论与张量运算简介,75,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系的单位矢量微分,者挞夸杜涸横茬纽烯拇率蜂疼挫虱踢亦憨笔慎仓眼瑟净潍拎思滴谬奸嚷同场论与张量运算简介场论与张量运算简介,76,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系的nabla算符,沿信盟绷霖掉侵弛吼痹摔肿脐趣刁间彦悉狐辖畅公斗遇俞蔫汲岭筛砚妖刚场论与张量运算简介场论与张量运算简介,77,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系下的矢量微分的表达式,喝搀惜郊辨沦旭澜逾邓空儡弧溃氮陋余焰发殿酱讨皖族岩挟谚枫叭情示耳场论与张量运算简介场论与张量运算简介,78,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系的单位矢量微分,郝铜班大瓶窗扬油败汾痪韩卯烷撩钉查荒仇委厉茄剩冶莫微从墅蹿沈樟脸场论与张量运算简介场论与张量运算简介,79,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系的nabla算符,掸川乓堪鹰改玩峦徽估券匝蠢煌隔甫门矩躁绳特掸胶孤侗桥唱渠蹲殖滚铸场论与张量运算简介场论与张量运算简介,80,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系下的矢量微分的表达式,旬永掘葡愿娶榜佛戴激柬帜心晾咽戊莎钩旷谆醛吗弥谆阔忱趋耍费毗恋释场论与张量运算简介场论与张量运算简介,81,流体力学本构方程,三维牛顿粘