第九章__多项式矩阵

1、第九章多项式矩阵的性质定义多项式矩阵：具有已知变量的多项式，然后我们称它们为矩阵多项式。假设，是一个有序矩阵和它的约当标准型，那么就有了。我们称上面的表达式为矩阵多项式的约旦表示。例如，其中多项式和矩阵是已知的。解决方法：首先，找到矩阵的约当标准型及其相似变换矩阵。然后，有一个定义：如果已知变量的多项式满足，它被称为矩阵的零多项式。定理：如果它被称为它的特征多项式，那么我们称这个定理为哈密尔顿-凯莱定理。定义：众所周知，在的零化多项式中，阶数最低且第一项系数为1的零化多项式称为最小多项式，通常记录为。最小多项式的性质：给定，(1)矩阵的最小多项式是唯一的。(2)矩阵的任何零多项式都可以被整除。

2、(3)相似矩阵具有相同的最小多项式。如何求矩阵的最小多项式？首先，我们考虑约当标准型矩阵的最小多项式。例1:给定一个约当块，求它的最小多项式。解决方案：如果你注意到它的特征多项式是，从上面的定理可以知道，它的最小多项式必须有下面的形状。然而，当，有。例2:如果对角块矩阵是已知的，并且它们是子块的最小多项式，那么最小多项式是的最小公倍数。例3:求下列矩阵的最小多项式，解是：(1)首先，求它的约当标准型，所以它的最小多项式是。(2)这个矩阵的约当标准型是，所以它的最小多项式是。(3)矩阵的约当标准型是，所以它的最小多项式是。(4)矩阵本身是一个约当标准型，所以它是最小的多项式。矩阵函数及其计算函数

3、在矩阵谱上的值和矩阵函数的定义：设是的不同特征值，是它的最小多项式并有它，其中如果函数有足够高的导数并且存在下列值，那么函数在矩阵谱上定义。例如：让，众所周知，最容易找到矩阵的最小多项式是和，所以在谱上有一个定义。然而，如果我们把容易得到矩阵的最小多项式视为明显不存在，那么就没有关于谱的定义。考虑以下两个问题：(1)如果有定义，是否有定义？(2)假定的和可逆的。如果有定义，那有定义吗？如果以上陈述正确，请证明；如果上述说法不正确，请举出反例加以说明。定义：设矩阵的最小多项式为，函数定义在矩阵的谱上。如果有一个多项式，并且它是满足的，如何找到矩阵函数？矩阵函数的约当表示，多项式表示和幂级数表示定

4、理：设，是矩阵的约当标准型，是它的相似变换矩阵，并且如果函数是在矩阵的谱上定义的，那么例1:设约当表示被计算。解决方法：首先，找到它的约当标准型矩阵和相似变换矩阵。我们称这个表达式为矩阵函数的约旦表示。因此，约旦表示为，当可得时，所以有，当可得时，所以有，当可得时，所以也有。示例2:假设Jordan表示并计算解：首先，找到它的Jordan标准形矩阵和类似的变换矩阵，因此Jordan表示为，当可用时，所以有当可用时，所以它可以类似地获得。矩阵函数的多项式表示定理：如果函数和函数都定义在矩阵的谱上，那么充要条件是它们与谱上的值完全相同。让矩阵的最小多项式是矩阵的两个不同的特征值，如何找到多项式使它

5、与矩阵函数完全相同？根据计算方法中的埃尔米特插值多项式定理，我们可以知道在许多满足条件的多项式中有一个多项式的次数，所以多项式中的系数完全可以由关系式来确定。然后我们称它为矩阵函数的多项式表示。例1:得到多项式表达式并计算出解：很容易观察到矩阵的最小多项式是，它是一个三次多项式，所以有一个二次多项式是满足的，然后是可用的，它的多项式表达式是，当，可用的，可用的，所以有相似的。例2:得到多项式表达式并计算出解：很容易观察到这个矩阵的最小多项式是一个三次多项式，所以有一个二次多项式，它满足于存在，并且它的多项式表达式是，当可用时，当可用时，所以有相似的多项式。例3:假设多项式表示并计算解：很容易观

6、察到矩阵的最小多项式是二次多项式，所以有一个1次多项式，当满足时就得到解。因此，它的多项式表示为“当，你能得到它，当，你能得到它，你也能得到它，并且你还能得到练习：假设多项式表示和计算，矩阵函数的幂级数表示定义为：假设一元函数可以展开为的幂。当一个矩阵的谱半径，我们把收敛的矩阵幂级数的和定义为一个矩阵函数，一般写成，那是因为，当，有，当，有，所以对于任何矩阵，当，我们有它，所以我们可以得到一些简单的推论：矩阵指数函数和矩阵三角函数。这里我们主要讨论两个特殊矩阵函数的性质，即定理：让，然后当注：这里矩阵和的交换性条件是必要的。例子：假设计算很容易，然后有，所以显然有三个不同的。此外，矩阵的指数函数和三角函数也有一些特殊性质。假设它是埃尔米特矩阵，那么它是酉矩阵。证明了它可以由矩阵指数函数公式得到，表明它是酉矩阵。例如：