理想与同态基本定理.ppt

1、8.2 子环、理想与同态基本定理,定义 8.2.1 设 S为环(R, +, x)的一个非空子集， 若S对于加法+和乘法x仍构成一个环，则称 S 为环(R, +, x)的一个子环。 任何环(R, +, x)都至少有两个子环：环R本身，以及只包含零元的集合0。称为环R的平凡子环。,定理 8.2.1 环(R, +, x)的一个非空子集 S构成 R的子环的充要条件是： 若 a, b S, 则 a-b S 且 ab S。 例 8.2.1 偶数环(E,+,x)是整数环(Z,+,x)的一个子环。 含幺环的子环未必是含幺环。 若S是环R的子环，则S的零元就是R的零元，子环S中元素的负元就是它们在环R中的负元。

2、,例. 设(R,+,x)是一个环， C = x R | xa = ax, a R ， 称C为环R的中心，则C是R的一个子环。 证. 设 x, y C, a R, xa = ax, ya = ay , 则 (x-y)a=xa-ya=ax-ay=a(x-y) (xy)a=x(ya)=x(ay)= (xa)y = a(xy),定义 8.2.2 设T 环(R, +, x)的一个子环， 若 r R, t T，有 rt T，则称T为环R的左理想, 若 r R, t T，有 tr T，则称T为环R的右理想. 若子环T既是环R的左理想又是右理想，则称T为环R的双边理想，简称理想或理想子环。 任何环(R, +,

3、 x)都至少有两个理想：环R本身，以及只包含零元的集合0。称为环R的平凡理想。,定理 8.2.2 环(R, +, x)的一个非空子集T是R的左理想的充要条件是： 对 r R, t1, t2 T，有 t1- t2 T 且 r t1 T。 类似地，T是R的右理想的充要条件是： 对 r R, t1, t2 T，有 t1- t2 T 且 t1r T。,定理 8.2.3 如果 S和T 都是环(R, +, x)的理想，则S+T= s+t |s S, t T 和 ST也是 R的理想。 例.设(R,+,x)是一个含幺环，R 0, 则R的单位子环E= ne|n Z 是R的一个理想吗？,定义 8.2.3 设(R,

4、 +, x)为一个子环, a R，则称子集 x1ay1+xnayn+ra+ar+ma|xi, yi, r, rR, mZ 为由元素a生成的R的主理想，记作(a)。并且 (1) 若 R是交换环，则(a)= ra+ma|r R, m Z (2) 若 R是含幺环，则(a)=x1ay1+xnayn|xi, yi R (3) 若 R是含幺交换环，则(a)= ra|r R ,主理想是环论中十分重要的概念，也是实际运用最多的概念。 例. (1) 在整数环(Z, +, x)中，由元素 m生成的主理想是 (m)= km|k Z =0m (2)在多项式环(Px, +, x)中，由元素 x生成的主理想是 (x)=

5、px| p Px (3)在偶数环(E,+,x)中，由元素2k生成的主理想是 (2k)= 2rk+2mk|r E, m Z =02k,设(T, +, x)是环(R, +, x)的一个理想，则(T, +)是(R, +)的一个正规子群。记以 r为代表元的陪集为 r+T= r + t | t T 从而R关于陪集T的商群R/T= r+T | r R 。 在R/T上定义加法与乘法如下： (r1+T)( r2+T)= (r1+r2)+T (r1+T)( r2+T)= r1r2+T 则(R/T, )是商群；且乘法与代表元选取无关.这样(R/T, , )是一个环，称为环 (R, +, x)关于理想T 的商环，也

6、叫模理想T的商环。,定义 8.2.4 设(R, +, x )和(R, +, x )是环，若映射 f : R R, 保持加法与乘法不变，则称 f 为从环 R 到 R 的同态。 环R 的零元0的逆像 f -1(0)= x | f(x)=0, x R 称为环同态 f 的核，记为Ker f 。,定理 8.2.4 设 (T, +, x) 是环 (R, +, x) 的一个理想， (R/T, , )是相应的商环，则存在从R到R/T 的满环同态。 定理 8.2.5 设 f 为从环(R, +, x )到(R, +, x )的同态，且 T 是 R 的子环（或理想），则( f(T),+,x )是(R, +, x )的子环（或理想）。,定理 8.2.6 环的子环（理想）的在环同态下的逆像仍为子环（理想）。 推论8.2.1 设 f 为从环(R, +, x )到(R, +, x )的同态，则其同态核K