刚体的定轴转轴运动

1、刚体的定轴转动定律,大学物理电子教案,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . 刚体可视为特殊的质点系，即任意两质点间距离始终保持不变的特殊质点系。,刚体的基本运动形式：平动、转动 、平面平行运动.,平动：若刚体中所有的点的运动情况都完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线在运动过程中总是保持方向不变 .,一、刚体的运动：,定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.,定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动， 角量相同而线量不同。 因此，定轴转动的刚体通常要用角量来描述。,刚体的平面平行运动 .,二、 刚体定轴转动的角速度和角加速度,角位移,角坐标,角速度矢量,方向

2、: 右手螺旋方向,角加速度,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 .,定轴转动的特点,刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示 .,三、 匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,四、角量与线量的关系,五、力矩,P,O,: 力臂,对转轴 z 的力矩,O,（1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩,fij,fji,d,O,（2）刚体内作用力与反作用力的力矩相互抵消,六.

3、定轴转动刚体的转动定律：,Fi,fi,Fit,Fin,对比,转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小，则刚体的转动惯性小。 转动惯量一般与以下因素有关： （1）转动轴的位置； （2）转动刚体的质量； （3）质量对转轴的空间分布,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,质量离散分布系统的转动惯量,例题 求质量为m、长为的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；,x,例 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .,解 设圆盘面密度为 ，

4、在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,例题 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mf。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,m1,m2,T2,T1,T1,T2,m2g,m1g,a,a,a,m1,m2,解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1 ，,物体2这边的张力为,T2,例 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖直

5、放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度 .,解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,由角加速度的定义,代入初始条件积分 得,Thank you!,平行轴定理,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,例 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,例题、均匀分布的质量为m、半径为R

6、的球体绕其直径做定轴转动的转动惯量。,例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B，A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀，它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。,刚体定轴转动的转动定律的应用 例、如图所示，一个质量为M，半径为R的圆盘形定滑轮，上面绕有细绳，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一个质量为m的物体而下垂，忽略轴处的摩擦，绳子与滑轮间无相对滑动，求物体m下落的加速度。,a,例题、一根长为l、质量为m的均匀直棒，其一端固定在

7、光滑水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。,例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,m1,m2,T2,T1,T1,T2,m2g,m1g,a,a,a,m1,m2,例题 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mf。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,m1,m

8、2,T2,T1,T1,T2,m2g,m1g,a,a,a,m1,m2,解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1(T1= T1) ，,物体2这边的张力为,T2、 T2(T2= T2),因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,而,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1

9、、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,例、在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各悬挂质量分别为m1、m2的物体，若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮的转动惯量为J，求滑轮的角加速度和各绳中的张力T1和T2,m1,m2,R1,R2,例 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑

10、轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从,解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 .,如令 ，可得,（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,（3） 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 ，转动定律,结合（1）中其它方程,例：一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初始为角速度为0，它所受阻力矩与转动角速度的平方成正比，即Mk2（k为正的常数），求： （1）圆盘开始转动时的角加速度。 （2）圆盘的角速度从0变为1/30时所需的时间。,例、风扇在开启电源后，经过时间t1达到了额定转动角速度0，若此时关闭电源，则再经过时间t2后风扇就停止了转动，已知风扇转子的转动惯量为I，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁动力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁动力矩。,例、如图所示，飞轮的质量为M60kg，半径为R=0.25m，当其转速为1000r/min时，要在5秒内令其制动，求制动力。设闸瓦与飞轮间的摩擦系数为0.4，飞轮的转动惯量按匀质圆盘计算，尺寸如图所示。,F,0.5m,0.75m,F,0.5m,0.75m,O,B,A,例、一半径为R，质