经济数学极值的几何应用.ppt

1、,ESC,3.2 极值的几何应用,在资源一定的情况下, 要求效益最佳的问题,实际中,而在效益一定的情况下,要 求所消耗的资源最少的问题,ESC,3.2 极值的几何应用,或,设函数 在区间 上, 若,则称 是函数 在区间,或,且对该区间内一切 ,有,由最大值与最小值的定义知,最大值与最小值统称最值.,ESC,3.2 极值的几何应用,1. 函数的极值是仅就函数 有定义的区间内某 一点 的邻近,即在局部范 围内比较函数值的大小,故 2.一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小值. 3.极值只能在区间内部取得.,1. 而函数的最值是函数 在所考察的区间上比较函数值的大小,故 必有 2.一个函数在一个

2、区间上只能有一个最大值和最小值. 3.最值可在区间内部取得,也可在区间端点处取得.,若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找.特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况:,3.2 极值的几何应用,若函数 在区间 内仅有一个极大值而没有极小值,则该极大值就是函数在该区间内的最大值.,若函数 在区间 内仅有一个极小值而没有极大值,则该极小值就是函数在该区间内的最小值.,极大值,最大值,极小值,最小值,ESC,ESC,(1)分析问题, 建立目标函数:,3.2 极值的几何应用,(3)作出结论: 按实际问题 的要求给出 结论.,在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量.一般地,是把 问题的目标

3、,即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变 量,建立二者的函数关系,即目标函数,并确定该函数的定义域;,(2)解极值问题: 应用极值知识, 求目标函数的 最大值或最小值 ;,3.2 极值的几何应用,ESC,案 例,一块边长为24cm的正方形纸板,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多少时时,能得到一个容积最大的方盒? 最大容积是多少?,该案例是在资源一定的情况下,即纸板的大小给定,要求效益最佳的问题,即要使方盒的容积最大.,解案例,(1) 分析问题,建立目标函数 按题目的要求,在纸板大小给定的条件下,要使方盒的容积最大是我们的目标.而方盒

4、的容积依赖于截掉的小正方形的边长.这样,目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系.,3.2 极值的几何应用,ESC,解案例,(1) 分析问题,建立目标函数,设截掉的小正方形的边长为 ,则方盒底的边长为,(2) 解极大值问题 确定的取值,以使方盒的容积取最大值.,由此知,截掉的小正方形的边长最长为12cm.若以 表示方盒的容积,则 与 的函数关系为,3.2 极值的几何应用,ESC,解案例 (续),(2) 解极大值问题,因为当 时,所以 是极大值点.,由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取最大值的点.,(3)结论 当截掉的小正方形边长 cm时,方盒容积 最大,最大容积

5、为,(cm3).,当 时,ESC,解,练习,3.2 极值的几何应用,这是容积一定,要求用料最省,即在效益一定的情况下,要求所消耗的资源最少的问题.,(1) 分析问题,建立目标函数 贮油桶的容积一定,要求用料最省,这实际上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标.,而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度.由于圆柱形贮油桶的体积(容积)已知,则侧面高度可用底半径来表示:,设圆柱形贮油桶的底半径为 ,其侧面高度为 ,则由,即,要设计一个容积为54 m3的有盖圆柱形贮油桶,问底半径为多少时,用料最省?,得,ESC,解练习 (续),3.2 极值的几何应用,因贮油桶的上盖和下底面积都是 , 侧面积是,若以 表示贮油桶的表面积,则目标函数为,(2) 解极小值问题,因,ESC,解练习 (续),3.2 极值的几何应用,(2),又,当 时,