实验数据的图示法和图解法.ppt

1、10 实验数据的图示法和图解法,10 实验数据的图示法和图解法一. 图线的三种类型,一. 图线的三种类型,1. 表示在一定条件下 某物理量之间依赖关系的图线,比如温度不变的条件下 一定质量的气体的 PV关系图,因受实验条件或时间的限制 这种观测点只是少数的点子,实验得到(V, P)值,在坐标纸上 以 P为纵轴 V为横轴,o,.,.,.,.,.,.,.,.,描点,然后画一条近似地 适合于这些观测点 的光滑图线,画光滑图线,.,.,我们常常 假定这条图线,连接了整个测量范围内 所有可能的P、V值,同时认为 不在光滑图线上的点 是因为测量不准确造成的,偏离图线较远的点是因为粗差造成的,.,.,.,P

2、V=常数,外推法,延伸实验图线以便得到实验范围外 的数据方法，叫做外推法,外推法是一种包含冒险性的处理法， 使用时应慎重,少数情况下，两物理量的函数关系 不规则或者说依赖关系不清楚, 这 种图线称为校正图线,2. 校正图线,校正图线不是光滑的曲线而是折线,二. 实验数据的图线表示法图示法,二实验数据的图线表示法图示法,注意点,1. 坐标点和实验图线能正确反映物理量 之间的数量关系, 容易读数,2. 所作的图线要清晰完整,以空气压强温度图线为例说明,图示法的具体规则,c. 描点,d. 联线,e. 写图名,a. 选轴,b. 定标尺,a. 选轴,图示法的具体规则,在坐标纸上 以横轴代表自变量, 纵轴

3、代表应变量 划两条粗细适当的线表示纵轴和横轴,T,在轴的末端近旁 注明物理量,及单位,P,单位用小括号括住,( ),( ), 也可用逗号分开,cmHg,b. 定标尺,对于每个坐标轴 在相隔一定距离上 用整齐的数字来标度,20.0,10.0,0,标度时注意点,以空气压强温度图线为例说明,空气压强温度图线 （体积保持不变）,(1) 坐标读数与实测数据的 有效数字位数大体相同,(2) 以不用计算就能直接 读出图线上每一点的坐标,(3) 图线不偏于一边或一角,两轴的标度可不同，两轴 交点坐标可不为(0，0),(4) 数据特别大或特别小 可以提出乘积因子,例如 提出105、102 放在坐标轴物理量的右边

4、,(4) 数据特别大或特别小 可以提出乘积因子,标度时注意点,(1) 坐标读数与实测数据的有效数字 位数大体相同,(2) 以不用计算就能直接读出图线上 每一点的坐标标度,(3) 图线不偏于一边或一角,两轴的标度可不同 两轴交点坐标可不为(0，0),(4) 数据特别大或特别小 可提出乘积因子,c. 描点,依据实验数据 用削尖的硬铅笔 在图上描点,描点时可用 等符号中的 任一种标明,同一图上有几条图线时描点符号应不同并在图纸上的空白位置 注明符号所代表的内容,d. 联线,用透明的直尺或曲线板, 用削尖的铅笔 将描出的点子联成光滑图线,如欲将图线延伸到测量数据范围之外, 则应依其趋势用虚线表示,e.

5、 写图名,在图纸顶部附近空旷位置 写出简洁而完整的图名,纵轴代表的物理量写在前面 横轴代表的物理量写在后面 中间用符号“”联接,在图名的下方允许附加 必不可少的实验条件或图注,写图名,空气压强 温度图线,写实验条件,体积保持不变,写图注,直线斜率0.260 cmHg/,三. 选作图用的数据时的注意点,1. 较平直的曲线可均匀选取数据 弯曲的曲线则在曲率大处多取数据,均匀选数据,多取数据,2. 尽可能重复测量每一对数据, 求平 均值，用平均值在坐标上描点作图,3. 尽可能一面测量，一面作图,可及时发现问题进行补测数据或重复 测量，以免最后发现错误而前功尽弃,三. 在选作图用数据时的注意点,四.

6、实验数据的图解法,四. 实验数据的图解法,(二变量关系的图示法研究),先用图示法给出y x图线,在研究二变量 x 和 y 的关系时,以x为横坐标，y为纵坐标，画出图线,即测量各组 ( xi , yi )值,合适的数学关系式,检验经验公式是否合适，并且要确定经验公式中的某些常数,如何寻找经验公式并检验是否合适 如何确定经验公式中的某些常数,举例,解:,举例说明研究二变量关系的图解法,研究某样品的相对伸长量l/l与建立 外磁场的电流 I 变化时的关系，测得 I 与l/l 的相关数据如表0-4所示 求: l/l 与 I 的关系式 (经验公式),解:,根据数据可作l/lI图, 取 I 为横轴，l/l

7、为纵轴,可得到图形如下,由图形可知 l/lI不是线性关系,由图形形状可知，属指数关系,所以可令,式中a、b为待定系数,两边取对数,令,称为变换式,则,将测量数据和代入变换式,可得到一系列的 值,由值可作 图如下,基本上是一条直线,这是因为l/l 本身误差较大 故剔除不计,即 I = 0.10A, l/l= 0.8110-6,但发现的点 偏离直线较远,由 图线可求出,斜率: 截距:,Be = -0.495,Ae = 4.00,再进行反变换,原变换式,b = -Be,= 0.495,=54.6,因此，相对伸长量 l/l 与 建立外磁场的电流关系 I,b = -Be,= 0.495,=54.6,总结

8、： 实验数据图解法的步骤,用图示法给出y x图线,根据画出的图线的形状和规律 寻找经验公式,检验经验公式是否合适 并且要确定经验公式中的某些常数,如何寻找经验公式并检验是否合适 如何确定经验公式中的某些常数,如何寻找经验公式并检验是否合适 如何确定经验公式中的某些常数,凭“经验”,由y x图线形状根据数学知识寻找,先作x，y变换，,如果是直线，则寻找的经验公式合适,否则需另找经验公式,再作图线,如何寻找经验公式,如何检验经验公式是否合适,作变换后的图线应该是直线,如何确定经验公式中的某些常数,从变换后的 图中 求斜率和截距, 再进行反变换即可,11 回归分析研究二变量的关系 (计算法),11

9、回归分析研究二变量的关系(计算法),用图解法研究二变量的关系 求Ae、Be是非常方便的 但有如下两个问题须慎重考虑,(1) 若(x , y)变换成( , )是正确的 那么在 坐标上根据实际数 据是否能连一条直线?,(因为实验数据存在不准确性),(2) 如果测量精度高, 有效数字位数较 多能否用图解法求出Ae和Be, 它们 的误差又如何确定?,用回归分析法可以 定量地解决上述两个问题,回归方程,若对 x、y 两变量独立测量n 次， 则可变换成 n 组 ( , ),(1 , 1 ) ; (2 , 2 ) (n , n ),如果认为 、之间有线性关系 则可写成,回归方程所表示的直线 是所有直线中 使

10、误差最小的那条直线,合理选择 Ae 和 Be,合理选择 Ae 和 Be的理由,对 x、y 独立测量n 次变换成 n 组 ( , ),(1 , 1 ) ; (2 , 2 ) (n , n ),在 图上描点,.,.,如果认为 、之间有线性关系 则可写成,这些具有线性关系的点 在图上可由多条直线去拟合,合理选择 Ae 和 Be的方法,.,假设选择了这样一条直线,考察其中一个实验点,则,测量值与回归方程线值间有偏差,i,i,.,0i,偏差,合理选择 Ae 和 Be的方法,i,0i,偏差,.,实验中有 很多测量值,各测量值与回归方程线值都有偏差,才可用回归方程 代替测量数据的规律,最小二乘法,用最小二乘

11、法合理选择 Ae 和 Be,将各代入,可得,为求 的最小值,将上式各方程两边平方后再求和,将上式各方程两边平方后再求和,为求 的最小值, 求解方程组,可得到回归方程的斜率和截距分别为,式中,便是,这,剩余误差,剩余误差和相关系数,为了表示测量值 偏离回归方程线的大小而定义,式中Re称为相关系数,相关系数Re,相关系数的物理意义,相关系数的物理意义,即在 坐标里 是一条没有“宽度”的直线,直线斜率为 Be ，截距为 Ae,直线方程为,表明各组(i ,i ) 数据 完全在回归方程线上,Re=1时,S= 0,表示各数全在回归线上,由Re定义可知,Re = 0时,而,故 Be= 0,因=Ae + Be

12、,故= Ae,这样不能表示出 与的关系,也即找不出x与y的关系,或者说 x与y 是不相关的 这二个变量间没有关系,表示二变量间无关,Re =0 时, S最大,各组(i , i)数据与回归方程线不完全重合,即 在坐标里的直线 有一定的宽度,表示二变量间有一定的关系, |Re|越近于1 回归方程越能代替 测量组的数据变化规律 |Re|0时 线性回归方程失去意义,0|Re|1时,相关系数的起码值表如下,相关系数的起码值,相关系数的起码值Re0,可以用线性回归方程,两物理量x与y间有一定的函数关系,则经过适当的变换( x , y )(,),来描述各测量数据点 的相互关系,不同的测量数据组数 n 有不同

13、的相关系数起码值Re0,只有当|Re| Re0 时，才能用线性回归方程,的相互关系, 否则毫无意义,来描述各测量数据点,剩余误差的物理意义,剩余误差的物理意义,剩余误差S 的数值 描绘了线性回归方程的精密度,或者说描绘了回归线的宽度,可以证明,可根据此标准剔除粗差,残差di=i (Ae+Bei)的绝对值 大于3S的数据应剔除,肖维特准则,肖维特准则给出一个 与测量次数n相联系的系数wn,如果残差di=i (Ae+Bei)的 绝对值大于wnS的数据,可以认为是由于过失引起 的异常数据而加以剔除,系数wn与测量次数n的对应关系如表0-6,根据统计方法可以求出 Ae、Be的标准差,Ae、Be的标准差

14、,计算法研究二个变量的关系 在科学实验中是非常重要的常用方法 为了熟悉计算方法和运算过程，举例说明：,举例,计算法研究二个变量的关系,有一组测量数据( xi , yi ),作图后, 找到了数学表达式,问：可否组成线性回归方程? 若可以, 试判别有无粗差,并算出 Be、Ae 、 和 的值。,就是要看看是否达到相关系数的起码值,问：可否组成线性回归方程? 若可以, 试判别有无粗差,并算出Be、Ae 、 和 的值。,残差di=i (Ae+Bei)的绝对值 大于wnS的数据加以剔除,n =17,因此需要计算,1. 计算相关系数,因此又需算,可以算出 Re=0.999990217,可以算出 Re=0.9

15、99990217,测量数据组数 n = 17,可查得相关系数的起码值Re0为0.606,1. 计算相关系数,Re=0.999990217,测量数据组数 n = 17,可查得相关系数的起码值Re0为0.606,0.606Re0,所以是线性关系,可以用回归方程,表示关系,1. 计算相关系数,需要计算Be、Ae 、S,问：可否组成线性回归方程? 若可以, 试判别有无粗差,并算出Be、Ae 、 和 的值。,2. 判别有无粗差,残差di=i (Ae+Bei) 的绝对值,大于wnS的数据应剔除,可以算出,2. 判别有无粗差,残差di=i (Ae+Bei) 的绝对值,大于wnS的数据应剔除,可以算出,Be=

16、101.93 Ae= -28.58,再根据肖维特准则,见0-6表 n=17,n=17 wn=2.17,不落在648.9与653.7之间，应当剔除,按前面一样的步骤,如有粗差还要剔除，再重新算,本题共应剔去三次粗差方能完成,之后，还要判断有无粗差,通过逐一检查剔除粗差后 最后计算结果,12系统误差,前面讨论了随机误差的处理方法 对系统误差来说，不能应用统计方法 进行研究，而只能具体问题具体分析,系统误差产生原因:, 工具误差 调整误差 个人误差 理论误差 方法误差 等,只有改变实验条件或实验方法 进行结果比较才能发现系统误差,同一条件下的多次重复测量 有时并不能发现系统误差,一. 发现系差的一些

17、简单方法,1. 观察法,2. 计算法,若对物理量进行多次独立测量 按测量次序排列，如果测量值 由小到大或者由大到小，或者 大小规律交替出现时，则测量 中可能会有系差,a. 误差正负号个数检验法 b. 误差平方和的检验法,a. 误差正负号个数检验法,用Si 反映误差的正、负号,di 0 时 Si = +1 di 0 时 Si = -1 di = 0 时 Si = 0,令残差,a. 误差正负号个数检验法,令残差,则 时，n 次测量存在系差,说明n次测量存在系统误差,这种判别 法则称为,b. 误差平方和的检验法,di 0 时 Si = +1 di 0 时 Si = -1 di = 0 时 Si =

18、0,利用计算法检查下列数据的测量中有无系统误差存在?,例题:,例题,单位:cm,用误差正负号个数检验法,550,6.6,解:,故上述数据的测量无法肯定有系差,利用计算法检查下列数据的测量中有无系统误差存在?,例题:,单位:cm,用误差正负号个数检验法,550,6.6,解:,故上述数据的测量无法肯定有系差,=0.658,=4.97,=0.11,=0.11,4.97,=,所以 上述数据的测量无法肯定有系差,二. 消除系差的主要方法,1. 固定系差的消除法,(1) 检定修正法,将仪器送部门检验 求得修正值 修正实验结果,(2) 代替法,用标准仪器对同一物理量在同样条件下测量 相比较得到修正值修正实验结果,(3) 异号法,实验时使得测量误差出现两次 而两次符号相反，取平均值,例如, 电表测电流 因地磁影响而造成系差,如没地磁作用实际值应为 a0,由于地磁作用示值将为 a0+,