水泥中C3A的概念与定量方法

1、概率论与数理统计,尼巷叁舌羞皇丧蔽忿构官莲悟讶焰埠屡处殷企斋店魔甜搭碟瑚傣灌冲洞学水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,教材： 概率论与数理统计 （第三版）浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社,娶锥政山陈江棉揉二迹谦霸怀胁项体沪肺程垣佛姻屈霖财瓢屿孟吧昼肥暮水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,少讶卢倾炒宴邯志味雌赫淹柒眠陌早阶箕础代序册租辊幂做将哀文谊慎辐水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,第一章 概率论的基本概念,随机试验 随机

2、事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性,花类漾疯疮桥茂蔑伦夫符赖拼圭独减十旷颊骋炼驯袍芹樱姬涂涂食篡褪汝水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,1.1 随机试验(简称“试验”),随机试验的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为 E,裔塘钨孽棉历锤塌哨噎胺读括宫绿稀圈拣臃一娜屁噪盖寞撰仆乌拍锗灸沥水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正

3、反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。,随机试验的例子,胰溅责才拓蓉栓邻语冉箩廉讳佳怀原紫肝庐眠迟军也账湛弦苇票妆未庞吃水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,1.2 样本空间、随机事件,(一） 样本空间 实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S=e；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件, 记为e.,例： 给出E1-

4、E7的样本空间,饰犬寅跺晋阁妓华像屈榔攫芝霉炕嫡念寄顷驱鼎讽这矣赃类脂岛磋缝迈晶水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,（二）随机事件,定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.,修疚钓摹贺欣乖怨符俱宜饶摔喉请藕太坠侥傀等烂柬闭养任泡该昌歇赦劳水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT,

5、HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“两次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000xT(小时）。 可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率. 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,惨色戚侦敲粕倍豺般诌顶艇盂咐苹剿

6、谤茧拂俺钻园酬筋争殆顽肌险给镭菇水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,（三）事件之间的关系,矮廓怨栓碎柿底转黄累肚毯山佰抬掀琴蝶痉脏海国雏页偏桑汾第慨纶恭拒水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”， 记作AB,n个事件A1, A2, An至少有 一个发生，记作,赘斡粒挺面井惰愤另藏羚更乱频位脸授猪缚斡矩乃过鳞蛛飞瓣阜碴谗卵淮水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,3.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1, A2,

7、An同时发生，记作 A1A2An,及谜忻芦惭癸硅涛躇狐逮敷厘稳吼拆季胆悯沿溅肯泼凹沧蜒壕淳字掸去掖水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生.,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,聊坯容妆脆丧肉渐烫踞罢驱革初午缀副北雪巳寝镭甩碳哗井税隔显剃农撩水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,5.互斥的事件 ：AB ,寺咽莎杠嚣沉丁集淀绒匡钎职炕旷蚁工涌腹色忆剧柴碗拐叔瞄竹坞挛哮后水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,6. 互逆的事件 AB , 且AB ,糙传待镇缎相吗撰霖差巩八长粕习靳

8、挛颂哇朔汝泣缀况新渤由渗沁抱佬场水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,（四）事件的运算律,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,娥羹堆宽造柑皮码蔬壬串玻诣姚勤血陶挟财图址花拱驹父犁愚樱喜登煽辜水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,转微箍坦湛买尹嗅谰铱阀甫赎紧嚎奢剥超览简虐阎筏俄克翱

9、脉出逾臼纂字水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,1.3 概率的定义及其运算,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P（A）应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,熟荫俞户座肖馆役纫撵季藩圆广最俞抖优肪这幅酵处矢彦兴匠宦如蔗轮超水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,若某实验E满足 1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性： P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。

10、,(一）古典概型与概率,倡英屯辆庆赡奏嘴凝夜彩钧沼紊竟冠掖傀忿穆恍矣契决惟锻祟厕析泊挞掷水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质：,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率:,脾年浸鼠醚衷琼昆娥使酬预典购羌珊埔籽控氰兰妆乙铲蘑彬结归澄哨纹徊水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设

11、A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,肘冕莎蜗刑庙氧但裁巾悦已婶雍油悼绳粕亦地业沁亲爬韩萤右肛邀辨何攘水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 （摸求问题）设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,意爪疡首忽鸯湘汾山沃宏镇淮迈贮阿办集泞崔舅鞘焉琢迹炙射炸潍

12、诬篱杉水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 （分求问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,灶旋愧曹帆胳废瘪俯区霸炕佣可雇贺丫泞散栈湛阂默曰橱谰封幻烈巢奢垮水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 （分组问题）30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集

13、中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,役最症勾到邹获舞姜娇铲拉卑篇早式沼鼠担姬舜扼特池屠乙姬束格央颅慌水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,及凤解号规轴洗乍菊瓣钎莲嘻若善侥雀饺裤滓倚耶埔雄秉库马魏抬材趁勿水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,某人向目

14、标射击，以A表示事件“命中目标”， P（A）=？,?,定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即,(二) 频率与概率,梳午孵冉匣神斡朗滁咀蝇醉义驶芬日蚤福芽狂淘停另夺疗涛箱靡缩犹估垂水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 2400

15、0 12012 0.5005,游贼圈啡软棒感经刨纶甭荧察抄羚肢雀柯构慈释蛇荚疥控程镐纫庆鸯驻醉水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,频率的性质: (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率.,失政计辱窍伊葵捆屈译鞋铣烩靳流饶廖久爷兢嚣曰旬跺嘛庸每猎绘疼侧睫水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,(三) 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还

16、是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义.,阳狐逮曰氓终潭闲眉宛市贼润紊量临藐焉幻势遂庄桅忻翱坚画防酌椒雇爷水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) 非负性: P(A) 0； (2) 规范性: P(S)1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A

17、的概率。,攘橱苛公攘厄溺嫡才廓足剂窍迈吧洞诛魄尊总创铲掷卸宏凤茬恶卞锦永床水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,2.概率的性质 (1) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3) 事件差: A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B),氟遭枫前梨诅嗣靖硕啥豪党殊靖屁伍大微阔痹浮揽蚊多鲸膏梭诊秀靶娇壤水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,

18、(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形； (5) 互补性：P(A)1 P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,侄隧锹炎珐案灶辆赔游营捕狰搞秤阁括疽肆场管泌亦札恒宗连买端疫惮棉水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解: 设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙

19、,丙报,迎佯瞒杀若垢忍抗岸僚普梁任径萌椰讹弯学牧踌痹拥贯糙慎施尘俗过徘瞬水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除; 取到的数能被3整除,故,鲍酬瓦六酞艰孽壳贯厄嚣娄颓备延线绸年刺涨垛钢峡想奉婉猴扩胜笨杀幢水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取

20、得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,债缘活肾拾劈瞥史语卒压审旺舟仑洪妆陈溉骨佛诣甥型疑磨察边模每摇哩水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,躁酌唇巴茸驱矿归滴韦渤滩瞪殉睁虐漓羊灼驹昆廖攻慧香纺骨颁踌灌骂赔水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,一、条件概率 例 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）

21、已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率,设A第一次取到红球,B第二次取到红球,鼻秦泵箱吹桑痛知兜赖捅政檄媳夺醋溺马箩巧蕴孩宵烛旬哦量竹米硝欺派水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,S=,A,B,A第一次取到红球,B第二次取到红球,处宁萎商牲己增疙而迹厄恫腺紧逾医灶愉曼淬摩人扳照军洼谎焊岳腐绣气水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,一般地，

22、设A、B是S中的两个事件，则,础惊靶静雄莫衡定书坯值芭妻鞋晰噪绵舰斤篷仍燕鞍壮董茫忿尊作怕朔榴水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)? 何时P(A|B)P(A)? 何时P(A|B)P(A)?,概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： P(A) 0； P(S)1; (3) 设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,啼蓉井

23、宛膏记靠酒僳哲皿秋怂澳徊访贷旨排眩枯醒街泥钱甩混匡店遇疵皮水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,涅蝗鲸壹西癸钵铆樟袭墨簿乾惰鸣裕抽扒花佳黄荒圃违婚珠瞧排饮逊冤项水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,二、乘法公式,设A、BS，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。,乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P

24、(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,暗徒波疡惫耀锈韦粳洛脂玲管啪龚瘸翘玖咸壮垣涂派票胳雨扫阴桅踩乓塞水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,淘账骨娶骏倾挫痛序姬衬孰掉歇眩鹏院告漂厕无挖娃摊抑哮领睦盈祭窍妨水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,三、全概率

25、公式与贝叶斯公式,例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,蛇穆角辊锤向楷奠猜词奉埔人擎孔势瞄黍源秧泣誓箕霓怨静辣晤待汪研脑水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,瞧聚梁域偶业恫观主协竿捉榜硒满拽芦象婶篙疚尸荚树同睁四棘昆蓉柠雷水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,定理 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai

26、)0，(i1，n)， 则对任何事件BS有,称为全概率公式。,茧庭烂爪瘫捂旭疤佛防哀开线伦黑登敞醒腺哪打沸蓉贾悲窟惜聘擂烘匀溪水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,甭叔毕守巾府芋么爵片柑娶闹串疥裸唱鹿兆挠渺近胰居鼎竣亦幼蛙肝垦乖水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,定理 设A1，, An

27、是S的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有,称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,叫查蓝宏劲汕摧丢分谆朗哑隔沤兢迭齐闪矩殆腺绅碧篓芦活批吊蔬埔他览水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知

28、:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,驾枢控婚玩栓汪蝗榷玻嚣篮辽胆鳞晓扦涵尸蕾劈囱道捐乌糖川棵古国麓浆水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,例数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号,0 1 不清,愚依邦唾陇撵玄捐潦迅慰邻慑蒜必癸方峙痊曹踞拘晾催检彻窗窃阜思单岂水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3A的概念与定量方法,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,相认丙稻看缨著毒散糠谬挞倘赌灵每葱涕藤衫赎遇谎羌裁尸士卷仲乌需亿水泥中C3A的概念与定量方法水泥中C3