《绝对值三角不等式》参考课件1.ppt

1、绝对值三角不等式,绝对值的几何意义,|a|=,几何意义:,表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.,|a-b|=,几何意义：,表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度,类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？,从“运算”的角度考察绝对值不等式。,如：对于实数a,b，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。,用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？,ab0,ab0,(1)当ab0时,a+b,a+b,a0,b0,a0,

2、b0,由图可得: |a+b|=|a|+|b|,(2)当ab0时,a+b,a+b,a0,b0,a0,|a+b|a|+|b|,|a+b|a|+|b|,(3)如果ab=0,则a=0或b=0,易得: |a+b|=|a|+|b|,综上所述,可得:,建立模型,定理1: 如果a,b是实数,则,|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结果?,定理1的几何意义,在不等式|a+b|a|+|b|中,当向量 不共线时,则由向量加法的三角形法则,用向量 分别替换实数a,b,向量 构成三角形,故可得向量形式的不等式:,|a+b|a|+|b|,故该定理的几何

3、意义为:,三角形的两边之和大于第三边.,绝对值三角不等式,证明,绝对值三角不等式: |a+b|a|+|b|,证明:,当ab0时,ab=|ab|,|a+b|,当ab0时, ab=-|ab|,|a+b|,故 |a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,证明,应用与拓展,同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与 |a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系?,如: 如果a,b是实数,则,|a|-|b|a-b|a|+|b|,再如: 如果a,b,c是实数,则,|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,建立模型,定理2: 如果a

4、,b,c是实数,则,|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c),证明:根据定理1,有:,|a-c|=|(a-b)+(b-c)|,|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,则可使用定理1的结论进行证明.,定理2的几何意义,在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|,(2)当点B在点A,C之外时,|a-c|a-b|+|b-c|,典例分析,例:已知0 |x-a| |y-b|, 求证:,|2x+

5、3y-2a-3b|5,证明:,|2x+3y-2a-3b|,=|(2x-2a)+(3y-3b)|,|2(x-a)|+|3(y- b)|,=2|x-a|+3|y-b|,2+3=5,故 |2x+3y-2a-3b|5,例:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?,典例分析,分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km.,那么S(x)=2(|x-10|+|

6、x-20|),故实际问题转化为数学问题:,当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.,解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则:,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),典例分析,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),我们先来考察它的图像:,S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),60-4x,0x10,20,10x20,4x-60,x20,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|,|(x-10)+(20-x)|=10,当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.,又解不等式: (x-10)(20-x)0 得: 10 x20,故当10 x20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.,C,小结 理解和掌握绝