逻辑学(北大精品课)01-10.ppt

1、A Course in Logic,主讲人：何向东,-进入-,逻辑学教程,2020年8月8日星期六,2,莎士比亚在威尼斯商人里说，有一位品貌出众的富家姑娘叫鲍西霞，许多王孙公子为之倾倒，但她遵循已故父亲的遗嘱，必须猜匣为婚。鲍西霞身边有金、银、铅三只匣子，其中只有一只匣子里放着她的肖像，这三只匣上面各刻着一句话： 金匣子上刻的是“肖像不在此匣中”，银匣子上刻了“肖像在金匣中”，铅匣子上刻了“ 肖像不在此匣中”，这三句话只有一句是真话。谁能根据这些情况猜中肖像放在哪只匣子里，她就嫁给谁。 这里，如果谁能准确地运用排中思维，那他就是漂亮贤淑的鲍西霞的夫婿了。因为，金匣上刻的话就是说肖像不在金匣中，

2、这与银匣上刻的“肖像在金匣中”正好构成矛盾关系，两者必有一真。为了确保只有一句真话，那么铅匣上的“肖像不在此匣中”必须是假话，由此可以判定鲍西霞的肖像就在铅匣中。,第一章 绪论,第一节 逻辑学的对象,2020年8月8日星期六,4,“逻辑” 的含义,“逻辑”是一个外来词，它是英文Logic的音译，而英文Logic又源于希腊文s（逻各斯），其原意是指思想、言辞、理性、规律性等。 “逻辑” 常见的四种含义： 1、指客观事物的规律。 例如：“捣蛋，失败，再捣蛋，再失败，直至灭亡这是帝国主义和世界上一切反动派对待人民事业的逻辑。” 2、指某种特殊的理论、观点或看问题的方法。 例如：“侵略者奉行的是强盗逻

3、辑” 3、指思维的规律、规则。 例如： “写文章要讲逻辑” ， “概念要明确，判断要恰当，推理要合乎逻辑。” 4、指逻辑学这门科学。 例如：“大学生要学点逻辑”,2020年8月8日星期六,5,思维,思维的三种类型：概念、命题、推理。 思维的主要特点： 1、思维的概括性指思维能反映事物共有的本质属性。 如：“商品”这一概念，就是人们对“用来交换的劳动产品”这一类事物共有的本质属性的反映。 2、思维的间接性指思维能够在已有知识的基础上，认识那些仅凭感性认识不能或难以真正认识的事物。,思维是认识的理性阶段，在这个阶段，人们在感性认识的基 础上，形成概念，并用其构成判断（命题）、推理和论证。,2020

4、年8月8日星期六,6,思维和语言,思维和语言的关系： 1、思维对客观事物概括而间接的反映,是通过语言实现的。 2、作为思维类型的概念、命题、推理，必须依靠相应的语言单位才能表达和交流。语言是思维的物质外壳。 3、语言也离不开思维，没有思维也就没有语言，语言的发展依赖于思维的发展。 语言的分类：自然语言和人工语言 自然语言是人们在思维和交际中使用的语言； 人工语言是为了某种目的而创制的表意符号系统。 如：自然语言“如果天气好，那么我们就去爬山。” 可用人工语言“pq”表示。,2020年8月8日星期六,7,逻辑学的研究对象,狭义的逻辑： 指研究推理形式的科学。 广义的逻辑： 就是研究思维的形式及其

5、规律以及逻辑方法的科学。广义的逻辑除研究推理形式外，也研究与推理形式相关的各种命题形式、词项及其种类、关系、定义、划分等；还研究认识现实的一些逻辑方法以及逻辑理论的应用。 思维的内容与形式：思维包括内容和形式两个方面。 思维的内容：当事物及其性质、关系、规律反映在思维之中，就构成了思维的内容。 例如：“货币”具有“固定充当一般等价物的商品”的性质，就形成了“货币是固定充当一般等价物的商品”这一命题的内容。 思维的形式：思维在抽象掉具体内容之后所具有的共同结构，思维的形式又叫思维的逻辑形式。下面的三个命题，内容各不相同：,2020年8月8日星期六,8,(1)所有大学生都是学生。 (2)所有金属都

6、是导电体。 (3)所有商品都是用来交换的劳动产品。 但这三个命题有共同的逻辑形式:所有S都是P (1)如果物体发热，那么物体就会膨胀。 (2)如果明天天气好，那么我就去郊游。 上面两个命题也有共同的逻辑形式:如果p，那么q,S,P,p,q,2020年8月8日星期六,9,（1）所有公民都是遵纪守法的人，有的人是公民，所以，有的人是遵纪守法的人。 （2）所有科学都是有价值的，有的理论是科学，所以，有的理论是有价值的。 这两个推理的内容不同，但有相同的逻辑形式: 所有M是P，有S是M，所以，有S是P。 所以：不同的思维内容可以有相同的思维形式。逻辑学重点研究的是思维的逻辑形式，任何逻辑形式都由逻辑常

7、项和逻辑变项组成。 逻辑常项：是指逻辑形式中不随思维内容变化而变化的部分。体现了逻辑形式的本质特征，是区分不同种类的逻辑形式的唯一依据。 逻辑变项：是指逻辑形式中可变的部分。 命题：(1)所有的 S 都是 P (2)如果 p ，那么 q,逻辑常项,逻辑变项,2020年8月8日星期六,10,推理,逻辑学研究的是思维的逻辑形式，其主体是推理形式。逻辑学对词项、命题的研究，都是服务于对推理的研究。 推理是从一个或多个已知命题得出一个新命题的思维过程。得出的新命题叫结论，据以得出结论的命题叫前提。 所有科学都是有价值的，有的理论是科学，所以，有的理论是有价值的。,前提,结论,推理,2020年8月8日星

8、期六,11,推理的有效性,演绎推理的有效性：如果在一个演绎推理中，当所有前提为真时，其结论必然为真。则这类推理称为形式正确的推理，又称为有效的推理。 例：(1)所有的金属都是导电体, (2) 所有宣传品都是文艺作品。 塑料是金属, 标语是宣传品。 所以,塑料是导电体。 所以，标语是文艺作品。 这两个有效推理的形式为: 所有M是P， 所有S是M， 所以，所有S是P。 正确推理只需要一个条件:推理符合规则,也就是推理形式正确，而与前提的真实性无关。尽管上述两个推理的前提并不都是真实的。但从形式方面来讲，其结论是由前提推出来的。因此，这个推理是正确(有效)的。 归纳推理的有效性：归纳推理（不完全归纳

9、）具有或然性,也就是讲前提对结论只有一定强度的支持，当前提为真，结论也可能是假的。归纳推理前提断定的范围越接近结论断定的范围，对结论的支持强度就越大。,2020年8月8日星期六,12,逻辑的发展阶段,按逻辑学发展的历程，逻辑可分为传统逻辑和现代逻辑两大阶段。,传统逻辑包括传统演绎逻辑和传统归纳逻辑。其中传统演绎逻辑主要指古希腊亚里士多德创立的词项逻辑和斯多葛派奠定的命题逻辑；而传统归纳逻辑是英国培根创建的，主要研究了实验科学中运用的一些推理和方法。,现代逻辑指从布尔开始到如今以数理逻辑为主的逻辑理论,也分为现代演绎逻辑和现代归纳逻辑。 现代演绎逻辑以命题逻辑、谓词逻辑为基础内容，包括集合论、证

10、明论、递归论、模型论，也包括多值逻辑、模态逻辑等非标准逻辑，还包括问题逻辑、规范逻辑等应用逻辑。 现代归纳逻辑以两个演算和概率论为工具，进行形式化的处理，对归纳结论的概然性作出精确计算，求得前提对结论的支持强度的概率。,传统逻辑,现代逻辑,第一章 绪论,第二节 逻辑学的性质及作用,2020年8月8日星期六,14,逻辑学的性质,逻辑学的性质,全人类性,基 础 性,工 具 性,规 范 性,各民族的语言所表达的思维形式，特别是推理形式是相同的，推出关系遵循的规律是相同的。这种性质决定了逻辑学具有全人类性。,任何学科都必须使用逻辑学，逻辑学是一门基础性学科。二十世纪八十年代，联合国教科文组织把逻辑学列

11、为七大基础学科之一。,逻辑学提供的关于词项、命题、推理、论辩、逻辑方法的理论，为人们学习、理解、掌握和研究其他科学提供了有力工具。,逻辑学研究思维的形式结构，具有很强的规范性。逻辑规律或规则，是人们进行正确思维和成功交际必须遵循的规范。,2020年8月8日星期六,15,逻辑学的作用,1、学习逻辑学，有助于培养和提高认知自学能力 树立终身教育理念，不断学习，是现代社会对人们提出 的共同要求，而逻辑思维能力直接决定认知自学能力。 逻辑思维能力的重要表征之一是运用符号尤其是人工语言的能力。通过对逻辑学的学习，能培养和提高对人工语言的运用能力，提高逻辑思维能力。 逻辑学提供人们关于思维的逻辑形式正确性

12、的知识。 2、学习逻辑学，有助于培养与提高理论素养 在学习型社会，每个人都应提高其自身的理论素养，理论素养首要的是哲学素养。学习逻辑学，可以培养我们的哲学素养，完善我们的知识结构，提高我们的文化素质。,2020年8月8日星期六,16,逻辑学的作用,3、学习逻辑学，有助于培养和提高科学研究能力 科学研究需要理论素养，需要较强的认知能力，尤其需要创新思维与创新能力，需要科学的方法和工具。逻辑学所提供的一系列理论、规律、方法，可以提高我们的认知能力，使我们的思维更加敏捷，也给我们提供了科学研究的工具，促进知识创新能力的提高。 4、学习逻辑学，有助于培养和提高思维素质 思维素质是人的基本素质。逻辑学作

13、为思维科学，专门研究思维的逻辑形式及规律，研究认识事物的简单的逻辑方法，尤其是研究推理有效性的理论、规律与方法。学习逻辑学，人们可以使思维得到规范，使思维更加敏捷，思维素质大大提高。,2020年8月8日星期六,17,逻辑学的分类,用,第一章 绪论,第三节 逻辑学的研究与学习方法,2020年8月8日星期六,19,逻辑学的研究方法,非形式化的方法,逻辑学的研究方法,形式化的方法,公理化方法,自然演绎方法,2020年8月8日星期六,20,逻辑学的学习方法,1、明确逻辑学的对象，树立形式化观念。 2、把握逻辑学的脉络，突出学习的重点。 3、根据逻辑学的特点，注重方法的学习。 4、认识逻辑学的性质，理论

14、联系实际。,第一章 绪论,第四节 逻辑学的发展简史,2020年8月8日星期六,22,古希腊逻辑学,古希腊哲学家、逻辑学家亚里士多德（前384-前322）在历史上建立了第一个初级的演绎推理系统。 亚里士多德主要研究的内容:,1、研究了关于概念和判断的理论以及直言判断和模态命题； 2、提出了逻辑的三大思维规律：矛盾律、排中律、同一律； 3、主要贡献是对三段论的系统研究； 4、总结了很多关于论证、反驳谬误和诡辩的方法。,2020年8月8日星期六,23,传统逻辑的发展,斯多葛学派：发展了演绎逻辑，对命题理论有新的突破；在推论形式的多样化、形式化也有进展；对悖论作了一些研究。 伊壁鸠鲁派：提出了归纳法，

15、发展了归纳理论。 中世纪的研究成就：元逻辑的研究取得一定的成果；创立了推演学说，研究了语义悖论及解决方法；逻辑学知识被高度重视，西班牙逻辑学家彼得的逻辑大全被各类学校广泛采用。,2020年8月8日星期六,24,传统逻辑的发展西方逻辑学早期状况,英国哲学家培根系统地总结和研究了实验科学方法，奠定了归纳逻辑的基础并使之蓬勃发展。其著作新工具主要内容： 1、提出了整理、分析、比较等科学归纳的“三表法” ： “本质和具有表” 、“差异表” 、“程度表”或“比较表”。 2、提出了确定现象因果联系的方法，初步建立了归纳推理的理论体系。,英国哲学家穆勒提出了探求因果联系的五种方法，也就是“穆勒五法”。,20

16、20年8月8日星期六,25,逻辑学的现代概况,17世纪末德国数学家、哲学家莱布尼茨提出把逻辑推理变成数学演算的思想。 英国逻辑学家汉密尔顿创立了谓项量化理论，使逻辑学向形式化迈出了新的一步。 英国逻辑学家布尔建立了“逻辑代数”，首先实现莱布尼兹的设想。 德国数学家、逻辑学家弗雷格较严格的构建了一个逻辑演算系统。,英国著名的哲学家、逻辑学家罗素建立了谓词演算系统。 罗素和怀特海在数学原理中总结了前人的成果，使数理逻辑成为一个新学科。,2020年8月8日星期六,26,逻辑学三项划时代的重大成果,1931年德国数学家哥德尔提出了不完全性定理，它证明了包括数论在内的一致的形式系统都是不完全的，提出了形

17、式系统的局限性。 1933年波兰逻辑学家塔尔斯基建立了逻辑语义学，在其理论中，区分了元语言和对象语言，确立了真谓词的逻辑原则。,1937年英国数学家、逻辑学家图灵建立了“图灵机理论”，第一次为人类提出了计算机应用的理想模型，标志着人工智能时代的到来。,2020年8月8日星期六,27,本章小结,基本内容 逻辑学的基本概念、思维的内容与形式。 逻辑学的性质，学习逻辑学的作用。 逻辑学的研究方法以及学习方法。 逻辑学的发展简史。 重难点 思维的内容与形式。 有效(形式正确)的推理。 形式化、公理化方法。,2020年8月8日星期六,28,形式化方法,形式化方法的作用:主要是能克服自然语言的歧义性。 形

18、式化方法的内容: 1、把自然语言符号化，抽象和概括为形式语言。形式语 言由两部分组成：初始符号和形成规则。 2、对直观意义的推理关系进行语形和语义的双重刻画。 3、证明对推理关系的双重刻画的重合性。,形式化方法是指用一套特制的符号,去表示词项、命题、推理，从而对词项、命题、推理的形式的研究，转化为对形式符号表达式系统的研究的方法。,2020年8月8日星期六,29,公理化方法,公理系统是从一些公理出发，根据一定的规则，推演出一系列定理，它由初始概念、公理、定义、推理规则和定理构成的演绎系统。建立公理化系统的具体步骤： 1、把一组概念作为不加定义的初始概念，而其余概念叫导出概念，它们都由初始概念通

19、过定义引入。 2、从一组不加证明的公理出发，通过逻辑推理规则可推演出一系列的命题，这些命题叫定理，其推理过程叫证明。,公理化方法是从初始概念和公理出发，利用它们定义其它一切概念以及推演出其它一切定理的演绎方法，也就是运用形式化手段建立公理系统的方法。,2020年8月8日星期六,30,自然演绎方法,自然演绎方法与公理化方法的不同点： （1）没有公理； （2）只有推演规则； （3）系统的建立，以接近日常推理为考虑的重点。,自然演绎方法是一种强调推理规则的重要性，既可以从真前提推出真语句，也可从假设得出推断的形式化方法。,2020年8月8日星期六,31,2020年8月8日星期六,32,第二章 命题逻

20、辑,第一节 命题逻辑概述,2020年8月8日星期六,33,命题,（1）西南大学在重庆。 （2）闪光的东西都是金子。 （3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。 符合实际的命题是真命题，不符合实际的命题是假命题。上述（1）是真命题; 而（2）、（3）是假命题。,命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：,命题的 主要特征： 命题有真假,2020年8月8日星期六,34,命题和语句,首先，有的语句不能直接表达命题，如： （1）西南大学在重庆吗? （2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相

21、同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。,任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：,语句(陈述句和反诘句)有内涵也有外延:语句的内涵即它表达的命题；语句的外延即真、假这两个真值。 采用这种观点的逻辑理论，称为二值外延逻辑或经典逻辑。 逻辑学上所说的命题，一般指这种或者为真或者为假的抽象语句。,2020年8月8日星期六,35,命题和判断,一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被断定就与断定者的知识水平有很大关系。 充分假言命题被断定是前后件的关

22、系，而不是支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的只是前件是后件的充分条件。,判断：就是被断定者断定了的命题。 判断的主要特征：有所断定。,2020年8月8日星期六,36,命题的分类,2020年8月8日星期六,37,命题分析的层次,将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待 研究关于联结词的推理(命题逻辑) 深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项 研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑) 深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联结词 研究关于量词的推理(现代谓词逻辑) 把命题中包含的模态

23、词分析出来 研究关于模态词的推理(模态逻辑),2020年8月8日星期六,38,逻辑语形学与逻辑语义学,逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。 逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为取真假值的命题变元，把、 、解释为真值集上的运算，把pq、pq、pq解释为真值函数的表达式。 推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推论、推理）关系。例如： 小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。 在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王有优点”， “所以”标志前提和结论之间的推出关系。 推理形式：p且q，所以，q。 逻辑学是从语形和语义两个方

24、面来研究推理的： (1)从前提和结论的形式方面进行 (2)从前提和结论的真假方面进行 语形和语义对推出关系的双重刻画,2020年8月8日星期六,39,第二章 命题逻辑,第二节 复合命题及其推理,2020年8月8日星期六,40,负命题,(1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。 负命题的形式: p。其中p称为的辖域。 负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。,负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命题。例如：,2020年8月

25、8日星期六,41,负命题,真值表：真值集合只有两个元素T，F，其中T表示命题为真，而F表示命题为假。因此，可用列表的方式表示真值运算的过程，这种表称为真值表。 真值函数：当p在真值集合T，F上取真值后， p 的真值也唯一确定。所以， p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。 的真值表如下：,根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。,T,F,真值表的作用,2020年8月8日星期六,42,负命题,根据负命题的逻辑性质，可对p再否定得到p，其真值与p相同，真值表如下：,由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A

26、 A,负命题的推导规则:,2020年8月8日星期六,43,联言命题,（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。 （2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。 联言命题的形式：p并且q（pq）。 p称为的左辖域， q称为的右辖域。 pq是二元真值函数： f(p,q)=pq。是在两个真值变元p和q上进行运算的二元运算。,联言命题是由联言联结词(如“并且”)联结支命题而 形成的复合命题，又称合取命题。例如：,2020年8月8日星期六,44,从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真时，pq才为真；只要p、q其中一个为假，则pq为假。,合取词的真值表,T,F,F,F,由的真值表,可得出运算的规律:

27、（1）的交换律：pqqp （2）的结合律：p(qr)(pq)r （3）的重言（幂等）律：ppp,2020年8月8日星期六,45,合取引入规则（+）：从A和B可推出AB。图示如下： A B AB 合取消去规则（-）：从AB可推出A，从AB可推出B。图示如下： AB AB A B 小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。 根据+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q pq 。 小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。 根据_作出一个形式正确的推理，推理形式为：pq p。,联言命题的推导规则,2020年8月8日星期六,46,选言命题,选言命题分为“相容选言命题”和“

28、不相容选言命题 ”两种。 相容选言命题的选言支可以同时为真，如： (1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)。 (2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错误，或者两种情况都存在。 而不相容选言命题的选言支不能同时为真，如： (1)鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。 (2)要么选老王当村长，要么选小李当村长。,选言命题用选言联结词联结支命题而形成的复合命题。,2020年8月8日星期六,47,相容选言命题的形式：p或者q(pq) 的真值表： 相容选言命题的逻辑特征： 相容选言命题为真，则它的选言支至少有一个为真；反过来讲，当选言命题至少有一个选言支为真，选言

29、命题一定为真。,T,F,T,T,相容选言命题及推理,2020年8月8日星期六,48,的运算规律 和的混合运算规律,(1) 对的分配律: p(qr) (pq)(pr)。 (2) 对的分配律：p(qr) (pq)(pr)。 (3)吸收律：p(pq) p；p(pq) p。 (4)德摩根律： (pq)pq；(pq)pq。,(1)的交换律：pq qp， (2)的结合律：p(qr) (pq)r (3)的重言律：pp p。,2020年8月8日星期六,49,用真值表检验德摩根律： 从上真值表，可得：(pq) pq 应用德摩根律的实例: 并非这件衣服物美(而且)价廉这件衣服或者物不美，或者价不廉。 并非小李或者

30、喜欢音乐，或者喜欢体育小李既不喜欢音乐，也不喜欢体育。,2020年8月8日星期六,50,析取消去规则( ) 从AB和A可推出B；从AB和B可推出A。 AB AB A B B A （只讨论有两个选言支的选言命题，下同） 析取消去规则的应用实例： 或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。 其推理形式为： pq, p q 肯定一个选言支，不能否定另一个选言支。下述推理形式均错误： AB ,A B； AB ，B A,规则：否定一个选言支，就要肯定另一个选言支。,2020年8月8日星期六,51,析取引入规则(记为 )： 从A可推出AB； 从B可推出AB。

31、A B AB AB 析取引入规则的应用实例： 小王是医生；所以，小王是医生，或者小王是教师。 其推理形式为：p pq,2020年8月8日星期六,52,F,T,T,F,不相容选言命题及推理,逻辑性质：不相容选言命题为真，当且仅当两个选言支有且只有一个为真。,2020年8月8日星期六,53,2020年8月8日星期六,54,假言命题,（1）如果寒潮到来，那么气温就会下降。 （2）只有你去，我才放心。 （3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。 在（1）、（2）中由“如果”、“只有”引出的支命题称为前件 ，由“那么”、“才”引出的支命题称为后件。 假言命题的种类 一、充分条件假言命题 二、必要条件

32、假言命题 三、充分必要条件假言命题,假言命题是由假言联结词(如 “如果，那么”、“只有，才”、“当且仅当”等)联结支命题而形成的复合命题，例如：,2020年8月8日星期六,55,充分条件假言命题,(1)如果你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。 (2)假如语言能创造财富，那么，夸夸其谈的人就会成为世界上最富有的人。 充分条件假言命题的形式：如果p，那么q (pq) 在蕴涵式pq中，p称为的前件(左辖域)，q称为的后件(右辖域)。,充分条件假言命题亦称条件命题或者实质蕴涵命题,是用“如果，那么”等联结词联结前、后件形成的假言命题，例如：,2020年8月8日星期六,56,的真值表 充分条件假言命题的

33、逻辑性质是：除了前件为真而后件为假时充分条件假言命题是假的以外,在其它三种情况下, 充分条件假言命题都是真的。,T,T,T,F,2020年8月8日星期六,57,必要条件假言命题,(1)只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。 (2)我不去，除非你去。 必要条件假言命题的形式：只有p,才q(pq),用“只有，才”联结前、后件形成的假言命题，例如：,在蕴涵式pq中，p称为的前件(左辖域)，q称为的后件(右辖域)。,2020年8月8日星期六,58,的真值表 必要条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为假而后件为真时充分条件假言命题是假的之外,其它情况下, 充分条件假言命题都是真的。,2020年8月8日星

34、期六,59,充分必要条件假言命题,(1)a和b平行,当且仅当它们的同位角相等。 (2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 充要条件假言命题的形式：p当且仅当q(pq) 在充要条件式pq中 ，称p为的前件(左辖域)，称q为 的后件(右辖域)。,充分必要条件假言命题又称双条件命题，简称充要条件假言命题，是用“当且仅当”等作为联结词的命题，例如：,2020年8月8日星期六,60,的真值表 的逻辑性质： 当p和q的真值相同时，pq的真值为真； 当p和q的真值不相同时，pq的真值为假。 除上述已有规则外，、还有一些运算规律,F,F,T,T,2020年8月8日星期六,61,关于的推理规则,规则：肯定

35、前件就要肯定后件,规则：否定后件就要否定前件,2020年8月8日星期六,62,关于的推理规则的应用,（1）如果甲方付给了定金,乙方就得按时发货。甲方已付给了定金。所以乙方得按时发货。 其推理形式为：p q，p q （2）如果这部电影受观众欢迎，那么买票的人就多。买票的人不多。所以这部电影不受观众欢迎。 其推理形式为：p q, q p,规则：肯定前件就要肯定后件,规则：否定后件就要否定前件,2020年8月8日星期六,63,关于的推理的错误应用,在日常思维中，关于的推理，容易发生的错误是：从AB和B推出A；从AB和 A推出 B。例如 如是小K是持枪杀人凶手，那么他肯定有枪。小K有枪。所以，他是持枪

36、杀人凶手。 如是小K是持枪杀人凶手，那么他肯定有枪。小K不是持枪杀人凶手。所以，他肯定没有枪。,为避免错误，制定了这样的规则： 肯定后件不能肯定前件；否定前件不能否定后件。,2020年8月8日星期六,64,规则：否定前件就要否定后件,规则：肯定后件就要肯定前件,关于的推理规则,2020年8月8日星期六,65,关于的推理规则应用,(1)只有你学习努力，才能取得好成绩。你学习不努力，所以，你不能取得好成绩。 其推理形式为：pq，p q (2)除非发生了意外情况，这趟列车不会停在这个地方。它既然停在这个地方，可见，发生了意外情况。 其推理形式为：pq, q p,2020年8月8日星期六,66,关于的

37、推理的错误应用,在日常思维中，关于的推理的错误应用，容易发生的错误是:从AB和A推出B；从AB和 B推出 A。例如: 只有小A在作案现场，他才是杀人凶手。有人证明小A在作案现场，所以，小A是杀人凶手。 只有小A在作案现场，他才是杀人凶手。小A不是杀人凶手，所以，小A不在作案现场。,为避免错误，制定了这样的规则： 肯定前件不能肯定后件；否定后件不能否定前件。,2020年8月8日星期六,67,关于的推理规则,2020年8月8日星期六,68,其他常见的推理,1.假言易位推理： ABBA； ABBA； ABBA 2.二难推理： 简单构成式：AC,BC,AB C 复杂构成式：AC,BD,AB CD 简单

38、破坏式：AB,AC,BC A 复杂破坏式：AC,BD,CDAB 3.假言三段论：AB，BC AC 4.反三段论：(AB)C(AC)B (AB)C(BC)A 5.反证法：AB，AB A 6.归谬法：AB，AB A,2020年8月8日星期六,69,第二章 命题逻辑,第三节： 命题逻辑的自然演绎系统NP,2020年8月8日星期六,70,自然演绎系统NP,命题逻辑的自然演绎系统NP是由形式语言L 和一组推导（变形）规则构成的。其中形式语言L 包括初始符号、形成规则和定义。 一、初始符号 (1)甲类符号：p1, p2, p3, ； (2)乙类符号：，； (3)丙类符号：(，)。 这些符号构成的有穷长的序

39、列叫做符号串，例如: p, pq，pq, pq；(pq)r，p(qr)， 其中p、p 都称 p 的子公式。,构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法，也可采用自然演绎的方法。为接近人们的日常思维，现采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式系统NP。,2020年8月8日星期六,71,自然演绎系统NP,二、形成规则 (1)任何单个的命题变元p是合式公式； (2)如果A是合式公式，则A是合式公式； (3)如果A和B是合式公式，则AB、AB、AB是合式公式； 只有（1）-（3）形成的符号串是合式公式。 三、定义：用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相互代替。 如：(AB)=df(AB)(BA)。

40、形式语言L 的全体合式公式记为Form(L )。 形式语言L 是我们的研究对象，叫对象语言。 讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。,形成规则的作用,2020年8月8日星期六,72,NP系统的推导规则,1.合取引入规则(记为+)： 从A和B推出AB； 2.合取消去规则(记为_): 从AB推出A；从AB推出B； 3.析取引入规则(记为+)： 从A推出AB；从B推出AB； 4.析取消去规则(记为_): 从AB和A推出B；从AB和B推出A； 5.蕴涵引入规则(记为+)： 如果从公式集和A推出B，则从推出AB； 6.蕴涵消去规则(记为_)： 从AB和A推出B； 7.否定消去规则(记为_)： 如果从和A

41、推出BB，则从推出A。,又称条件证明规则或演绎定理，是把从推出AB的推理转化为从和临时的假设A推出B的推理。(即移出律),又称间接证明或反证法，是把由推出A的推理转化为由和临时的假设A推出BB的推理。,2020年8月8日星期六,73,NP系统有前提的形式推演,一个有穷的公式序列B1,B2,，Bm是从前提集(不是空集)到结论B的有前提的形式推演，如果每一个公式Bi(1im)满足以下条件之一： (1)Bi(即Bi是前提集中的一个公式)； (2)Bi是一个据+或-临时引入的假设； (3)Bi是该序列中在前的若干公式应用NP系统的推导规则得到的公式； (4)B=Bm。 则我们称和B具有语法推出关系，B

42、从中可演绎的，或者说，从可以推出B，记为：NPB。,2020年8月8日星期六,74,NP系统中的语法(语形)推出关系,我们以T1，T2，来给由基本推导规则确立的语法推出关系的编号，用(1)，(2)， ，(m)给形式推理过程中的公式序列中的每一个公式编号。 T1 A A(肯定前提) (1) A 前提 A既是该序列的第1个公式，也是第m个公式(m=1)。 T2 A， B A (肯定前提) T3 A， B B (1) A A1 (2) B A2 B是第2个公式，也是第m个公式(m=2)。,2020年8月8日星期六,75,NP系统中的语法(语形)推出关系,T4 A，B AB T5(a)AB A T5(

43、b)AB B T6(a)A AB T6(b)B AB T7(a)AB, A B T7(b)AB, B A T8 AB, A B,2020年8月8日星期六,76,NP系统中的语法(语形)推出关系,T8: AB,A B (1) AB A1 (2) A A2 (3) B (1)，(2)，_ T9 (假言三段论，记为H.S.)：AB，BC AC (1) AB A1 (2) BC A2 (3) A H1(+的假设) (4) B (1)，(3)，_ (5) C (2)，(4)，_ (6) AC (3)(5)，+ (消去H1),2020年8月8日星期六,77,NP系统中的语法(语形)推出关系,T10(双重否

44、定消去规则，记为_)：AA (1) A A (2)A H（_的假设） (3) AA (1)，(2)，+ (4) A (2)(3)，_ (消去H) T11(双重否定引入规则，记为+): AA (1) A A (2) A H（_的假设） (3) A (2) ，_ (4) AA (1)，(3)，+ (5)A (2)(4)，_（消去H）,2020年8月8日星期六,78,NP系统中的语法(语形)推出关系,T12 A， BT13，A B 只证T12： (1)A A1 (2) A A2 (3) AB (1),+ (4) B (3)，(2)，_ T14 AB，AB A(归谬法，记为+) (1) AB A1 (

45、2) AB A2 (3) A H1(_的假设) (4) A (3)，_ (5) B (1)，(4)，_ (6) B (2)，(4)，_ (7) BB (5)，(6)，+ (8) A (3)(7)，_（消去H1）,2020年8月8日星期六,79,NP系统中的语法(语形)推出关系,T15(a) AB BA(假言易位) T15(b)BA AB 只证T5(a)： (1) AB A (2) B H1（+的假设） (3) A H2 (_的假设) (4) A (3)，_ (5) B (1)，(4)，_ (6) BB (2)，(5)，+ (7) A (3)(6)，_（消去H2） (8) BA (2)(7)，+

46、（消去H1） T15(c) ABBA T15(d) ABBA,2020年8月8日星期六,80,NP系统中的语法(语形)推出关系,可证等价关系 也称演绎等值关系,如果A B且BA，A和B就具有可证等价关系，记为AB。 据T15(a)和T15(b)，有如下可证等价关系： ABBA。 可证等价置换规则 (记为RP)：如果AB，则在A出现的公式C中(即A是C的子公式)，可以用B代替A，在B出现的公式C中(即B是C的子公式)，可以用A代替B。,2020年8月8日星期六,81,NP系统中的语法(语形)推出关系,T16 AB，BA (否定后件,记为M.T.) (1) AB A1 (2) B A2 (3) B

47、A (1)，RP (4) A (2)，(3)，_ T17 AB，AC，BC C(二难推理,记为D.C.) (1) AB A1 (2) AC A2 (3) BC A3 (4) C H1（_的假设） (5) A (2)，(4)，MT (6) B (1)，(5)，_ (7) C (3)，(6)，_ (8) CC (4)，(7)，+ (9) C (4)(8)，_（消去H1）,2020年8月8日星期六,82,NP系统中的语法(语形)推出关系,T18(a) (AB)A B(记为DeM.) T18(b) (AB)A B(记为DeM.) T19(a) (AB) A T19(b) (AB) B T20(a) A

48、 (AB) T20(b) B (AB),2020年8月8日星期六,83,NP系统中的语法(语形)推出关系,T18(a) (AB) A B的证明 先证(AB) AB: (1) (AB) A (2) (AB) H1(_的假设) (3) A H2(_的假设) (4) AB (3)，+ (5)(AB)(AB) (2),(4),+ (6) A (3)(5),_(消去H2) (7) B H3(_的假设) (8)AB (7)，+ (9)(AB)(AB) (2)，(8)，+ (10) B (7)(9)，_(消去H3) (11)AB (6)，(10), + (12)(AB)(AB) (1)，(11), + (1

49、3) AB (2)(12)，_(消去H1),2020年8月8日星期六,84,NP系统中的语法(语形)推出关系,T18(a) (AB) A B的证明 再证AB (AB)： (1) AB A (2) (AB) H(_的假设) (3) AB (2)，_ (4) A (3)，_ (5) B (3)，_ (6) A (4)，+ (7) B (1),(6),_ (8)BB (5),(7),+ (9)(AB) (2)(8),_(消去H),2020年8月8日星期六,85,NP系统中的语法(语形)推出关系,交换律 T21(a) ABBA T21(b) ABBA 结合律 T22(a) A(BC)(AB)C T22

50、(b) A(BC)(AB)C 分配律 T23(a) A(BC)(AB)(AC) T23(b) A(BC)(AB)(AC),2020年8月8日星期六,86,NP系统中的语法(语形)推出关系,T21(b) ABBA的证明 先证AB BA (1) AB A (2) A H1(+的假设) (3) BA (2)，+ (4) ABA (2)(3)，+（消去H1） (5) B H2(+的假设) (6) BA (5)，+ (7) BBA (5)(6)，+（消去H2） (8) BA (1)，(4)，(7)，D.C. 同理，可证BAAB。,2020年8月8日星期六,87,NP系统中的语法(语形)推出关系,T24(

51、a) AB(AB) T24(b) (B)AB T25(a) ABAB (蕴析律) T25(b) ABA T26(a) (AB)A T26(b) A(A) T27(a) A(A) T27(b) A(A) T28(b) AB,AC,BCA(二难推理) T28(c) AC，BD，ABBD T28(d) AC，BD，CDAB,2020年8月8日星期六,88,NP系统中的语法(语形)推出关系,T29(a) ABCACB(反三段论) T29(b) ABCBCA T30 ABC A(BC)(条件输出) T31 A(BC) ABC(条件输入) T32 A(BC)B(AC)(条件互易) T33 A(BC)(AB

52、)(AC) T34 A(AB)AB (条件融合) T35(a) AB ACBC (前件附加) T35(b) AB ACBC T35(c) AB (CA)(CB) T36 （AB）C BC,2020年8月8日星期六,89,NP系统中的语法(语形)推出关系,T37 AB，BA AB (+) T38(a) AB AB (_) T38(b) AB BA T39 AC,BC ABC (前件合取) T40 AB,AC ABC (后件合取) T41 ABC(AC)(BC) T42 ABC(AC)(BC) T43 ABC(AB)(AC) T44 ABC(AB)(AC) ,2020年8月8日星期六,90,NP系

53、统中的语法(语形)推出关系,应用实例(一) 如果不换8号上场（p），或者换12号上场(q)，甲队的形势不会好转(r)。教练没有换8号上场，也没有换12号上场。所以，甲队的形势不会好转。 首先，将前提和结论形式化： A1：(pq)r A2：pq B：r (1) (pq)r A1 (2) pq A2 (3) (pq) (2)，DeM. (4) r (1)，(3)，_,2020年8月8日星期六,91,NP系统中的语法(语形)推出关系,应用实例(二) 如果线段L有存在无穷多个点，那么，如果这些点有长度，则线段L将无穷长，而且，如果这些点都没有长度,则线段L也不会有长度。但是，一条线段既不会无穷长,也不

54、会没有长度。所以L上不会有无穷多个点。 前题和结论符号化： A1：p(qr)(qs) A2：rs B：p,2020年8月8日星期六,92,(1) p(qr)(qs) A1 (2) rs A2 (3) p H（_的假设) (4) p (3), _ (5) (qr)(qs) (1)，(4)，_ (6) qr (5),_ (7) qs (5),_ (8) r (2),_ (9) s (2),_ (10) q (6),(8), M.T. (11) q (7),(9), M.T. (12) qq (10),(11),+ (13) p (3)(12)，_,(消去H),2020年8月8日星期六,93,NP系

55、统中的语法(语形)推出关系,应用实例(三) 如果货币供应量保持现状，而货币需求量增加，则银行利率就会上升。如果货币需求量增加导致银行利率上升，则在银行存款更被看好。主管部门已宣布货币供应总是保持不变。因此，在银行存款更被看好。 A1：pqr A2：(qr)s A3： p B： s,2020年8月8日星期六,94,NP系统中的语法(语形)推出关系,应用实例(三) 方法一： （1） pqr A1 （2）（qr）s A2 （3） p A3 (4) q H1（+的假设) (5) pq (3)，(4)，+ (6) r (1)，(5)，_ (7)qr (4)(6)，+(消去H1) (8)s (2)，(7)

56、，_,2020年8月8日星期六,95,NP系统中的语法(语形)推出关系,应用实例(三) 方法二： （1） pqr A1 （2） （qr）s A2 （3） p A3 (4)s H（_的假设) (5)（qr） (2),(4)M.T. (6)qr (5),R.P. (7)r (6)，_ (8)(pq) (1),(7)M.T. (9)pq (8),R.P. (10)q (6)，_ (11)q (10),+ (12)p (9),(11),_ (13)pp (3),(12),+ (14)s (4)(13),_(消去H),2020年8月8日星期六,96,证明公式集不一致,包括逻辑矛盾的公式(命题)集称为不相

57、容(不一致,不协调)的公式集. 判定公式集ABC，(AC)D，BD是否为不一致的公式集. (1)ABC A1 (2)CD A2 (3)AD A3 (4)A (3)，_ (5)D (3)，_ (6)AB (4)，+ (7)C (1)，(6)，_ (8)D (2)，(7)，_ (9)DD (5)，(8)，+ 故原公式集是不一致的公式集。,2020年8月8日星期六,97,第二章命题逻辑,第四节： 命题逻辑有效性的判定,2020年8月8日星期六,98,真值指派和真值赋值,真值指派（简称指派）：给每个命题变元指定一个真值的过程，记为。 从直观上讲，真值指派实质上可看成是给构成复合命题的支命题（表示为命题

58、变元）指定真值的过程。 (p)=T（(p)=F）就是把p解释为一个真（假）命题。 真值赋值（简称赋值）:给定一个真值指派以后，给每个公式确定一个唯一的真值的过程。这个过程称为由该真值指派导出的真值赋值，记为。公式A在赋值下的值，记为(A)。 真值指派导出真值赋值，实质上可看成由支命题（表示为命题变元）的真值确定复合命题（表示为公式）的真值的过程。,2020年8月8日星期六,99,形式语言L 的基本语义解释,设为任一指派，是由导出的赋值： ()对任何命题变元p，(p)=(p)，其中(p)已有定义。 ()(A)=T当且仅当(A)=F; ()(AB)=T当且仅当(A)=T并且(B)=T; ()(AB)=T当且仅当(A)=T或者(B)=T; ()(AB)=T当且仅当(A)=F或者(B)=T。 给定一个真值指派:(p)=T,(q)=F,(r)=T,。 根据基本语义解释，可