高数大一上期末复习资料经管类

1、 1 期末复习题期末复习题 极限有关的题型极限有关的题型 1.求极限（1） ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 lim nn n （2）) 2 1 2 1 2 1 1 (lim 12 n n （3）)1 ()1)(1)(1 (lim 242 n xxxx n （1x） （4） 23 2 lim 2 2 2 xx xx x （5） h xhx h 22 0 )( lim （6） x x x 11 lim 0 （7） 32 1 lim 1 x x x （8）)0(lim a ax ax ax （9）)e1)( 1 sin2(lim x x x （10） 23 2 32sin1 lim 27

2、1 x xxx xx （11） 1 1 lim 1 m n x x x （12） 1 lim 2 1 x nxxx n x （13） x x x 1 sin) 1(lim （14） n n n x 2 tan2lim （15） x x x arctan lim 0 （16） n n nn ) 11 1 (lim 2 （17） 7 lim() 7 x x x x （18） 1 23 lim() 21 x x x x （19） 1/ 0 lim(cos ) x x x （20） n n n n 3 1 2 lim （21）若8) 2 (lim x x ax ax ，求常数a； （22） 2 212

3、 limsin 31 x x xx （23）极限 )1ln() 1( 1sin1 lim 0 xe xx x x （24）当0 x时， 1 2 3 (1)1ax与cos1x是等价无穷小，则常数a . （25）设0 x时， xx ee sin 与 n x同阶无穷小，则n为 。 （26） m n x x x )(sin )sin( lim 0 （27） x xx x 3 0 sin sintan lim （28） )cos1 (cos1 1 lim 3 0 xx ex x （29） )tan1ln() 1( ) 1arctan21)(sin lim 2 3 0 2 xe xxx x x （30）

4、xxx xx x 20 sin1 sin1tan1 lim （31）若极限 0 lim( ) x f x 存在，且 2 0 1( )tan1 lim3 1 x x f xx e ，求 0 lim( ) x f x 。 （32）已知0)(1lim 2 baxxx x ，试求常数a、b的值. 补充竞赛题（第三部分有关极限） 2 3. xx xxx x sin 114 lim 2 2 ； 解： 22 22 11111 4141 limlim1 sinsin 11 xx xx xxxxx I xx x xx . 4. 122 3 lim 4 22 xx xx x 解： 24 4 13 1 1 lim

5、212 2 x xx I xx 5. xx xx x ee ee 32 lim 2 2 解: 3 11 lim 232 x x x e I e 15. n nnn n cba ) 3 (lim )0, 0, 0(cba 解： 111 lim 3 3 lim(1) 3 nnn n abc nnn n n n abc Ie 1 lim (1)lim(1)lim(1) 3 3 nnn nnn nanbnc eabc . 17. x x x 2 tan 1 )2(lim _ . 解：原式= L tan 2 111 sin 12 2 lim 1 (1),lim(1)lim coscos 22 x xxx

6、 x x xx xx .原式= 2 e. 18. x x x )(coslim 0 . 解： 00 1 (cos1)lim (cos1)lim 2cos1 2 0 lim(1cos1) xx x xx xxx x x Ixeee . 19. 2 1 coslim n n n _ . 解：原式= 2 1 1 cos1lim n n n ， 2 1 2 1 lim) 1 1 (coslim 2 2 2 n n n n nn ，结果为 2 1 e. 3 20. n n n nn nn ln ln ln lim_ . 解：原式= ln lnln lim 1, ln n n n nnnn nn 2ln2

7、 limlim2 ln lnln 1 nn nn n nnn n ，原式= 2 e. 21. 2 1 sinlim n n n n_ . 原式= 2 1 2 3 0 11sin1 lim 1sin1,limsin1lim 6 tn n nn t tt nnn nnt ，所以为 6 1 e. 23.求 111 12 lim nx xxx n x aaa n . 解：原式= 111 12 lim 1 nx xxx n x aaan n ,令 1 ,t x 由重要极限得 12 12 111 111 limlim 12 lim 1 ttt ttt n n xx nxaaa aaanxxx n tt x

8、 aaan ee n 1 2 ln 12 n a aa n ea aa. 27. )sin1ln( lim 3 sin 0 x ee xx x . 解： sinsin sin 33 000 (1)sin1 =limlimlim 6 xxx x xxx eexx Ie xx . 34.求极限)(lim 1 1 cos 2 eex x x . 解：原式= 1 1 cos 2122 2 111111 lim(1)lim1 coslim 22 x xxx x eexx exexe . 35.求极限)33(lim 1 11 2 xx x x. 解： 11 111111 1 22 1111 2 31 li

9、m(33)lim3(31)lim3limln3 1 xx xxxxxx xxxx xx x . 4 36.求极限limtansin() 22 x xx . 解： sin() 2 limtansin()limsinlim 222 sin() 22 xxx x xxx x . 37.求极限) 1 (lime n n n n n . 解：原式 11 ln 1ln 11 1 ln 1 11 lim limlimlim ln(1) 1 11 2 nn nn n n nnnn eeee n eeeen n n nn . 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1填空题 （1） 函数 2 1 )( 2 2

10、 xx x xf的可去间断点为x . （2） ) 1( 2 cos 2 xx x y 的间断点是 ， 间断点类型： （3） x x y tan 的间断点是 ，间断点类型： 2找出函数 x x xf 1 21 1 )(的间断点，并且说明它属于哪一类间断点 3 设函数 ) 1)( e )( xax b xf x ， 求ba,的值， 使得0 x为)(xf的无穷间断点，1x为 )(xf的可去间断点 4.判断 01)1ln( 0, )( 1 1 xx xe xf x 的间断点，并说明其类型。 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 1.填空题 （1）函数 2 1 sin 0 (

11、 ) 0 xx f xx axx 要使( )f x在(,) 连续，a ； （2）设 0,cos 0, sin )( xxa x x x xf 在0 x处连续，则常数a ； 5 （3）设 1, 1, 1 1sin xea x x x xf x 在1x处连续，则常数a ； （4）设 2 2 1 sin 0 ( ) sin 0 x x x f x x bxx ，要使)(xf在0 x点连续，则b ； （5）函数 0,2sincos2 0, )( xxx xae xf x 在（-1，1）上连续，则a ； 2.函数 1, 4 1, 313 )( x x xx bax xf在点1x连续，求常数ba,。 闭区

12、间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1.证明方程2e x x 在区间)2, 0(内至少有一个实根 2.证明方程)0, 0(sinbabxax至少有一个不超过ba 的正根 3.若函数)(xf在闭区间2, 0a上连续，且)2()0(aff，证明在闭区间, 0a上至少 有一点使)()(aff 4.若)(xf在闭区间,ba上连续，且bdca，对任何正数nm, 证明在闭区间 ,ba上内至少有一点使)()()()(fnmdnfcmf 5若函数)(xf在闭区间,ba上连续，且bxxxa n 21 ，证明在闭区间 , 1n xx上至少有一点，使得 n xfxfxf f n) ()()( )( 21 第二

13、章第二章 导数与微分导数与微分 第一节第一节 导数的概念导数的概念 1.填空题填空题 （1）( )f x在xa处可导，且 ( ) lim2 xa f x xa ，则( )f a , ( )fa ； （2）设0)( xf存在，且当0 x时，)()( 00 xfxxf与xA是等价无穷小，则 常数A ； （3）若)( 0 x f 存在，则 h hxfhxf h )()3( lim 00 0 ； 6 （4）已知)( 0 x f 存在，则) 1 () 1 (lim 00 n xf n xfn n = ； （5）设 0 ()fx存在，则 00 0 ()(2 ) lim arcsin h f xhf xh

14、h = ； （6） 设函数)(xf可导且1 2 )1 () 1 ( lim 0 x xff x ,则曲线)(xfy 在点) )1 (, 1 (f处的切线 斜率是 ； （7）已知函数)(xf在0 x的某领域处有定义，在0 x处可导，0)0(f，则极限 )2012sin( 1 0 )()2012(1 lim x x xfxf ； （8）设2)65()( 22 xxxxxf，则)(xf在点x 处不可导。 2.设 1 1 )( 2 xbax xx xf在1x 可导，求常数, a b的值. 3.讨论 1011 0)1ln( )( 2 xxx xx xf在0 x 的可导性。 第二节第二节 函数的求导法则函

15、数的求导法则 1.填空题 （1）设)2)()2)(1()(nnxxxxxf，则)0(f _ （2）设 )( 2 )( xfx eefy ，其中f可导，则 dx dy （3）已知函数)(xf在3x处可导且1)3( f ，则曲线) 12(xfy在其上一点)3 , 1 (处 的切线方程为 （4）已知1) 1(xxxy，则 y 2.计算下列各题的导数 （1）( )lntancoslntan 2 x f xxx； （2）)arcsin(cos)(xxf；（3） x xxf 1 )(； 3. 设( )g x 连续，且 2 ( )()( )f xxag x，求( )fa 第三节第三节 高阶导数高阶导数 1.

16、 求xxxflncos)( 2 的二阶导数. 2. 设)(sin 2 xfy ，其中f具有二阶导数，求 2 2 dx yd ； 3.已知) 1ln( 2 xxy，求 )5( y。4设 32x yx e，求 (10) y 7 第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 1.填空题 （1）曲线 2 6exye yx 在0 x处的切线方程为 ； （2）曲线1ln 2 yyx在点（1，1）处的切线方程为 ，法线方程为 ； （3）曲线 t t ey ex 2 在0t对应点处的切线方程是 ； 2.设( )yy x由方程03 xy eyx 所

17、确定，求(0) y 3.设)(xyy 由方程eexy y 所确定，求)0( y ； 4. 求曲线 ,sin ,cos 3 3 tay tax 在 4 t相应点处的切线方程. 5.设)(xyy 由 ) 1( )( 3t efy tfx 所确定，其中)(xf有二阶导，求 0t dx dy ， 2 2 dx yd ； 6设参数方程 2 ln(1) arctan xt ytt 确定函数)(xyy ， 求 2 2 d y dx 第五节第五节 函数的微分函数的微分 1.填空题 （1）已知xysinln，则dy ，dy ； （2）函数arcsinsin(tan )yxxx，则dy ； （3） 2 sin(2

18、 )xx d e ； （4）若函数)(xf可微，则极限 0 lim x ydy x = ； （5）设函数( )yy x由方程cos()0 x y exy 确定，则 0 x dy 。 2. 设 xxx eexeyarctan)1ln( 2 1 2 ，求dy. 3已知2 2 sec 211 lncos+arctan 211 x x x x ye x 求dy。 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 1.证明（1）设( )f x在0, 上连续，在(0, )可导，证明：(0, ) ，使得 ( )sin( )cos0ff。 8 （2）设)(

19、xf在,ba连续，在),(ba可导，且baf)(abf)(,， 证明：),(ba， 使 0)()(ff. （3）设)(xf可导, 证明:)(xf的两个零点之间一定有)()(xfxf的零点. 2.证明下列各题： （1）设在 1 , 0上0)( x f，则)0() 1 (),1 (),0(ffff的大小顺序是_; （2）已知( )f x在1，2上连续，在（1，2）内可导，证明：在（1，2）内至少存在一点， 使2 (2)(1)( )( )ffff （3）证明：) 11(arccos2arcsin2xxx. （4）设0ab,证明 22 2lnln1aba abbaab . 3.证明下列各题 （1） 设

20、函数( )f x在ba,上可导.证明： 存在ba,， 使得 fabafbf 22 2。 （ 2 ） 证 明 ： 若( )f x在ba,上 可 导 ，1 ab, 则 存 在ba, 使 得 ()()() l n b fbfaf a 。 4.综合题 （1）设)(xf在 2 , 0 内连续，) 2 , 0( 内可导，求证：在) 2 , 0( 内至少存在两点,使得 cos)()( 2 ff. （2）设函数)(xf在闭区间ba,上连续，在开区间),(ba内可导，证明：存在两点 ),(,ba，使得 2 )()( )( fab f 。 补充：补充：1.已知( )f x在1，2上连续，在（1，2）内可导，证明：

21、在（1，2）内至少存在 一点，使2 (2)(1)( )( )ffff 2.2.证明题：证明题：1. 设)(xf可导, 证明:)(xf的两个零点之间一定有)()(xfxf的零点. 3.3.设)(xf在4 , 1 上可导，且) 1 ( )( 2 1 4 2 fdx x xf ，证明：至少存在一点)4 , 1 (，使得 9 0)()(ff. 4.4.设)(xf在6 , 1上可导，且)2( )( 3 6 3 2 2 fdx e xfe ，证明：方程至少存在一个大于 2 的根； 5.5.设函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内二阶可导且 b a dxxf ab bfaf)( 1 )()(。试 证：存

22、在一点),(ba使0)( f. 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 1.（1） 0 11 lim ln(1) x xx （2） 2 0 11 lim tan x xxx （3） xarc x x cot ) 1 1ln( lim （4） xx xxxex x sin )1 (sin lim 2 0 .（5） 2 0 21 lim 1 cos x xx （6） tan 0 1 lim x x x （7） x x x ln 1 0 )cot1 (lim （8） 1 lim(1)tan 2 x x x 第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 1.填空题填空题 （1）函数( ) x f xxe的n阶麦克劳林公

23、式为_ （2）将)2ln()(xxf展成麦克劳林级数后， 50 x项的系数为 _ . （3）函数( )cosf xxx的 5 阶麦克劳林公式（带皮亚诺型余项）为_ （4） x axf)(按) 1( x展开成带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式为： _ （5）xxxfsin)( 2 的 7 阶迈克劳林公式为：)(xf_. （6）函数( )2xf x 在0 x 点的n阶带皮亚诺型余项的麦克劳林展开式是_. （ 7 ）1n阶 可 导 函 数)(xfy 在 0 x处 的n阶 泰 勒 公 式 的 拉 格 朗 日 型 余 项 ： )(xRn , 位于 0 x与x之间. 2.下列极限 （1）)23(lim 43

24、4323 xxxx x （2） )1ln( cos lim 2 2 0 2 xxx ex x x 10 3.证明下列各题 （1）设)(xf在区间 1, 0连续,在) 1, 0(内二阶可导,0) 1 ()0( ff，2max 10 ）（xf x . 证明: 存在），（ 10,使16 ）（f. （2）已知函数( )f x在0,1上连续，(0,1)上二阶可导，(0)(1)ff，且 ( )(0)fxM M，证明：对任意(0,1)x，有( ) 2 M fx 第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 1.填空题 （1）函数 x xxf2)(取极小值的点是x _. （2）函数 32

25、 )52()(xxxf在),(内取得极大值的点为x . （3） 曲线 2 ln(1)yx的凹区间是_ （4）曲线) 1ln( 2 xy的拐点为_. （5） x exy ，则 10 y的极值点是_，拐点是_. （6）设函数cbxaxxy33 23 在1x处取极大值, 点)3, 0(是对应曲线的拐点, 则a= ， b= ，c= 。 2.已知函数 2 ) 1( 12 x x y，求 函数的增减区间及极值，凹凸区间及拐点. 3.证明下列不等式 （1）证明：)0()1 ( 1 xxee x . （2）当0 x时,xx1 2 1 1. （3）证明： 2 ln(1),(0) 2 x xxx （4） 设)0)

26、()(),0()0(),0()0( xxgxfgfgf， 证明： 当0 x时，)()(xgxf. 第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值 1. 求函数xxxfsin2cos 2 1 )() 4 3 0( x的极值. 2. 讨论a为何值时，函数 1 ( )sinsin3 3 f xaxx在 3 x 处取极值？它是极大值还是极 11 小值，并求出此极值. 3. 求函数 3 2 ) 1(xxy在区间)2 , 1上的极值、最大值和最小值. 4. 讨论函数)0( 54 2 x x xy在何处取得最小值,并求出最小值. 5. 求点(0,1)到曲线 2 yxx的最短距离. 6.欲做一

27、个底面为长方形的带盖的盒子，要求体积为 72cm 3,底面二边长比为 1：2，问该盒 子的长、宽、高分别为多少时，才能使其表面积最小？ 第六节第六节 函函数图形的描绘数图形的描绘 1. 已知 42 6 )( 2 xx xf，求其单调区间、凹凸区间、拐点、渐近线。 2. 已知函数10 x yxe，解答如下问题（1）函数的定义域； （2）函数曲线的 渐近线； （3）函数的单调区间、极值与最值； （4）函数曲线的凹凸区间、拐 点； 第七节第七节 曲率曲率 1. 曲线1xy 在点)1 , 1 (处的曲率半径是_. 2. 抛物线 2 4xxy在顶点处的曲率半经是_. 3. 曲线 3 xy 在点)1 ,

28、1 (处的曲率是_. 4.已知函数10 x yxe,求函数曲线在其极值对应点处的曲率K和曲率半径R。 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 1. 求下列不定积分 （1）x x x d) 1 e2( （2） xx x d)sec2 1 1 ( 2 2 （3）xx x d)sin 1 1 ( 2 （4）x x xxx d tan 2 22 （5）x x xx d 1 331 2 42 （6）xxd)(1 22 （7）dxxxx)tan(secsec（8） 1 cos2 dx x （9）dx xx x 22 sincos 2cos （10） dx x

29、x x sincos 2cos 2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的 方程. 第二节第二节 换元积分法换元积分法 1.（1） 3 (12 ) dxx （2）sin(13 )dx x （3） 3 12 d x x （4） 2 d 1 4 x x （5） 2 d 1 x x x 12 （6） dx x x 2 32 （7） dx x x 2 49 1 （8） dx x x 2 3 9 （9） dx xx)2)(1( 1 （10）xdxxsectan3 2. （1）xxxd4 23 （2） 32 ) 1( d x x （3） 1 d 2 x

30、x x （4） dx x x9 2 （5） 2 11x dx （6） 2 1 xx dx （7） x dx 21 （8）dx x x 9 2 第三节第三节 分部积分法分部积分法 1. （1）cos dxx x （2）xxxdsin) 1(（3）xxxd2sin 2 （4） xx xd e 2 （5）xx d)1ln( （6）xdxx 2 tan（7）dxe x 3 （8）xdxlncos（9）dxx 2 )(arcsin （10） 39x edx 第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分 （1） )2)(1( d xx x （2） 544 d 2 xx x （3）x xx x d 22 1

31、2 （4）x x x d )2( 4 3 （5）x xx x d 1 3 3 （6） x dx 2 sin3 （7） dx xsin2 1 （8） dx x 3 11 1 （9） dx x x 11 11 （10） 4xx dx 第五章第五章 定积分定积分 一、计算下列各导数（1） 3 2 4 1 x x ddt dx t （2） 2 ln x e x d tdt dx 二、求下列极限（1） 2 1 0 lim ln x t x e dt x （2） 2 0 5 0 cos lim sin x x t dtx x 三、计算下列各定积分 （1） 2 1 4 2 ) 1 (dx x x（2） 1

32、0 2 4 x dx （3） 3 3/1 2 1 d x x （4） 2 0 1 sin2xdx 四、求由下列方程所确定的隐函数对x的导数 dy dx （1）函数( )yy x由方程 2 1 1 y xyu exe du ，求(0),( ),(0)yy xy； （2）求由方程 xy t dtedttyx 0 1 0 22 2 arctan确定的隐函数y对x的导数. 第三节第三节 一、 （1） 1 23 )511(x dx （2）2 0 3 cossin d（3）dyy 2 2 2 28（4）x x x d 1 9 1 13 （5） 2 1 2 102 d xx x （6）xxxdsinsin

33、0 3 （7）若 cos 0 ( ) 1 0 1 x xx f x x e ，计算 3 1 (2)f xdx 二、求定积分（1） 1 0 dxxe x （2） e xdxx 1 ln（3）dxx e e 1 |ln|（4） 4 1 d ln x x x （5） 1 0 x e dx （6）设)(xf的一个原函数是xx/sin，求 2 ( )xfx dx . 第四节第四节 （1）x axd e 0 （0a） （2） 2 0 d 1 x x （3） 1 3 d x x （4） 2 23 dx xx （5） 2 0 x xedx （6） 0 dexx x 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 二、求下列各平面图形绕指定坐标轴旋转一周所产生的旋转体的体积 （1）由xy ，0y与2x围成，绕x轴旋转； （2）由 2 2xy， 2 xy 及y轴围成，分别绕x轴、y轴旋转； 补充补充：1.1.计算由曲线 2 xy 与 2 yx 设围成的图形的面积，并计算此图形绕y轴旋转一 周所成的立体的体积。 2.2.求曲线 2 xy 及其过点（2，4）的切线与x轴所围成图形绕x轴旋转一周所成的立体的 体积。 3 3. .求