正方形的判定

1、正方形的判定,正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)：矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。由,从图(1)中可以知道，平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是正方形，可以从两步来着手，一步先判定四边形是矩形，再一步判定这个矩形又是菱形； 或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。,范例精讲 例1：已知：如图(2)，点A、B、C、D分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点， 求证：四边形ABCD是正方形。,分析（1）你能证明四

2、边形是矩形吗？ （2）你能证明四边形是菱形吗？ （3）你能证明四边形是正方形吗？,请大家完成证明,证明： 四边形ABCD是正方形ADABBC， AB90又ADADAAABABBBBCADAAABBB123445 DAB18013180454590同理：ABC90BCD90四边形ABCD是矩形,在DAA和ABB中,DAAABB(SAS)ADAB四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。,已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线 AC、BD相交于点O，且ACBD， AOCO，BODO，ACBD。 求证：四边形ABCD是正方形。,请大家

3、先根据题意，画出图形然后写出已知，求证，,求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。,已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线,证明：,AOCO,BODO 四边形ABCD是平行四边形,又ACBD 平行四边形ABCD是矩形 又ACBD 平行四边形ABCD是菱形，,即四边形ABCD是正方形,解题小结： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形。因而得到这个四边形是正方形。事实上，我们可以把本例作为正方形的一个判定定理：即：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。,AC、BD相交于点O，且ACBD，AOCO， B

4、ODO，ACBD。求证：四边形ABCD是正方形。,例2已知：如图(4)矩形ABCD中，A、B、C、D的平分线组成四边形ABCD，,分析： 判定一个四边形是正方形可以选择：,求证：四边形ABCD是正方形。,下面请大家进行证明。,(1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等；,(2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90,已知：如图(4)矩形ABCD中，A、B、C、D的 平分线组成四边形ABCD，,证明：在四边形ABCD中,求证：四边形ABCD是正方形。,又ABBD 且AABA(已证)ABAABDBAABAD四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),AB、BD、CD、DB分别平分DA

5、B、ABC、BCD、CDA,BD90,123445,ADBCABDBDC(ASA)ABBDCDDB同理可证：DABDCB90且AABACCDC四边形ABCD是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形),1四个内角都相等的四边形一定是： A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,2在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是： AAOBOCODO，ACBD BADBC ACCAOCOBODOABBC DACBD,3 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,练习：,请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系？,掌握正方形的判定的方法。 正方形中，课本上没有给出明显的判定定理，它只告诉我们，要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：,平行四边形它包含了矩形、菱形、正方