数理方程 特殊函数

1、1,数理方程与特殊函数,2,本次课主要内容,格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式复习,(一)、Green函数问题,(二)、贝塞尔函数问题,(三)、勒让得多项式问题,3,(一)、Green函数问题,1、三个格林公式,第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：,第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：,4,设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：,第三格林公式：,M0,M,S,V,x,y,z,5,

2、例1、写出稳态场方程洛平问题的解。,要求:(1)掌握三个公式的推导；,(2)稳态场方程洛平问题的解。,解:(1)泊松方程洛平问题为：,6,拉普拉斯方程洛平问题为：,例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解,7,解：由第三格林公式：,例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解,解：由第三格林公式：,8,2、调和函数,要求:(1)掌握概念和性质的证明；,(2 ) 性质的应用(极值原理),例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。,证明：泊松方程狄氏问题为：,(a ) 解的唯一性证明：,设定解问题有两个解u1与u2,则：,9,令:U=u1-u2,则：,由极值原理有： ，即,(b ) 解的稳定性证明：,设在S上给

3、定了函数 使得： 且：,10,令:U=u1-u2,则：,由极值原理有： 即证明了稳定性。,3、泊松方程狄氏问题格林函数,要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质,(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式,(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式,例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？,11,答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：,(a) 若G(M,M0)满足：,则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。,(b) 若G(M,M0)满足：,则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。,(2) 物理意义是:,12,(a) 物理意义：首先

4、，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4r；,其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内M0处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4r-v (x, y, z)。,（b) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/2lnr；

5、,其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4lnr -v(x,y)。,13,例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？,答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：,(1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。,(2) 在边界上格林函数恒等于零。,(3) 在区域V内，有：,(4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即,14,例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？,答：,例

6、8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？,答：,例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？ 采用什么方法求？,15,答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。,平面上的求法类似。,求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).,(2) 采用镜像法,例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限

7、内的格林函数表达式,16,答: (1)球域,(2)上半空间,17,(3) 上半平面狄氏问题的Green函数,(4) 圆域上狄氏问题的Green函数,(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数,18,例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式,解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：,由于泊松方程狄氏问题的解为：,在球面上,19,在球域上，由于：,20,所以：,所以，球域上狄氏问题的解为：,21,(2) 上半空间狄式问题的解,泊松方程狄氏问题的解为：,由于：,22,所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：,而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：,23,(

8、3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：,所以得：,拉氏方程狄氏解为：,24,例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：,解：由公式：,25,(4) 圆域上狄氏问题的解,26,解：,因为：,例12、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。,所以：,所以，狄氏解为：,27,所以：,由于：,所以，在极坐标系下，有：,从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：,在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：,28,(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数为：,例12、求第一象限上拉氏方程狄氏解。,解：假定定解问题为：,29,由于,其中：,对于L1:,对于L2:,30,对于L2:,31,所以，拉氏解为：

9、,例13、求上半圆域上狄氏问题格林函数,格林函数满足的定解问题为：,32,设想在 放置电量为0的电荷,(1)对于 在 放置电量为-0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。,(2)若要同时使(2)满足，对于圆周边界来说，M0的对称点为：,33,在M1放置电量为 的电荷,对于 M1的对称点为：,置电量为 的电荷,四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：,34,4、三种典型方程的基本解问题,要求: (1) 知道三种典型方程的基本解的定义、基本解表达式；,(2)能利用基本解求相应的定解问题。,例14、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本解；并求出 的一个特解。,答: (1)方程

10、 的解称为泊松方程 的基本解。,(2) 基本解为：,35,(3) 特解应该为基本解与函数f的卷积。设U*为特解，则有：,注：平面泊松方程基本解为：,例15、叙述热传导方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：,答: (1) 定解问题：,36,的解，称为如下定解问题的基本解。,(2) 基本解为：,(3) 定解为基本解与初始函数的卷积。设u为定解，则有：,37,注：二维、三维类似。,例16、叙述热传导方程混合问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：,答: (1) 定解问题,38,的解称为如下定解问题的基本解,(2) 基本解为：,(3) 定解与基本解的关

11、系为：,39,例17、叙述波动方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解。,答: (1) 定解问题,40,的解称为如下定解问题的基本解,(2) 基本解为：,(3) 定解与基本解的关系为：,41,例18、叙述波动方程混合问题基本解的定义；写出其基本解。,答: (1) 定解问题,的解为有界波动方程问题,的基本解。,42,(2) 基本解为：,(3) 定解与基本解的关系为：,例19、用格林函数法求定解问题,解：对应的基本解为：,43,(二)、贝塞尔函数问题,主要要求: (1) 贝塞尔方程的通解形式；,(2) 贝塞尔函数表达式及其主要性质；,(3) 贝塞尔函数的递推公式及正交定理、函数展开定理。,44,例1

12、9、写出贝塞尔方程的标准形式和通解形式,解: (1) 贝塞尔方程的标准形式为：,(2) 贝塞尔方程的通解形式：,例20、写出n阶第一类贝塞尔函数的级数形式、母函数表达形式。,45,例21、计算：,例22、写出贝塞尔函数递推公式，并计算：,例26、计算：,46,例23、证明：,例24、叙述正交性定理与展开定理,(三)、勒让得多项式问题,主要要求: (1) 勒让得方程的通解形式；,(2) 勒让得多项式表达式及其主要性质；,(3)勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。,47,例25、写出 勒让得方程及通解形式；,(1) 当n不是整数时，方程的通解为：,48,其中Q n (x)称为第二类勒让得函数，在-1,1上无界。,(2) 当n是整数时，方程的通解为：,例26、