北师大版高中数学必修四23《从速度的倍数到数乘向量》教案

1、课题：3从速度的倍数到数乘向量 三维目标：三维目标： 1.知识与技能 （1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. （2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。 （3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个 向量。 （4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解， 并能用来解决一些简单的几何问题。 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1 “模”与“方向”两点) 2三 个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） ） ，在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正 交

2、分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质） 。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教 材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度与价值观 备注 通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深 的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和 积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 重点与难点重点与难点: : 重点：1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点：1. 实数与向量积的几何意义的理解.2. 平面向量基本定

3、理的理解. 教学方法：教学方法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:多媒体、三角板. 教学过程教学过程 【探究新知探究新知】 1 思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a+a+a和(a)+(a)+(a) a a a a a O aaa ABC OC=OA AB BC=a+a+a=3a PN=PQQM MN=(a)+(a)+(a)=3a 讨论：3a与a方向相同且|3a|=3|a| 3a与a方向相反且|3a|=3|a| 2从而提出课题：实数与向量的积；实数与向量a的积，记作：a 定义：实数与向量a的积是一个

4、向量，记作：a |a|=|a| N M Q P 备注 0 时a与a方向相同； 时 两边向量的方向都与a同向 当0 且1 时在平面内任取一点 O， 作OA=aAB=b OA 1 =aA 1B1 =b B1 B 则OB=a+bOB1 a+b O A A1 由作法知：ABA 1B1 有OAB=OA1B1 |AB|=|A 1B1 | |OA 1 | | OA | |OB 1 | | OB | | A 1B1 | | AB | OABOA 1B1 AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|OB1|=|OB| OB 1 与OB方向也相同 (a+b)=a+b A 1 当0 时 可类似证明：(a

5、+b)=a+b 式成立 【探究新知】 B1 O B A 备注 若有向量a(a0)、b，实数，使b=a则由实数与向量积的定义知：a与 b为共线向量 若a与b共线(a0)且|b|：|a|=，则当a与b同向时b=a；当a与b反向 时b=a 从而得： 向量b与非零向量a共线的充要条件是： b 有且只有一个非零实数，使=.a 例题讲评例题讲评 例 2. （见 P82例 2）略 OA，OB不共线， 例3. （P82例3改编） 如图：P点在AB上， 求证： 存在实数.且1 使 OP OAOB （证明过程与 P82例 3 完全类似；略） 思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线） O 【探究新知】【探究

6、新知】 1思考： 是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表 示？ 2教师引导学生分析 设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量 备注 P B A e 1 a M C NB e 2 O OA=e 1 OM= 1 e 1 OC=a=OM+ON= 1 e 1 +2e2 OB=e 2 ON= 2 e 2 得平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2. 注意几个问题注意几个问题： e1、e2必须不共线，且它是这

7、一平面内所有向量的一组基底. 这个定理也叫共面向量定理. 1，2是被a，e1，e2唯一确定的数量. 同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 例题讲评例题讲评 例 41kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图） ，已知两细绳与水平线 分别成 30, 60角，问两细绳各受到多大的力？ 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90 | OP |=1 (kg) P1OP=60P2OP=30 |OP 1 |=| OP |cos60=1 1 =0.5 (kg) 2 30 60 P1 3 |OP 2 |=| OP |cos30=1 =0.87 (kg) 2 备注 P2 P

8、即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和 0.87 kg 例 5.如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且AB=a，AD=b， 用a，b表示MA，MB，MC和MD 解：在 ABCD 中 D b b A M B C AC=AB+AD=a+b DB=ABAD=ab a a 11 1 1 MA= AC= (a+b)=a b 2222 11 1 1 11 1 ACMB=DB= (ab)=a bMC= =a+ b 2222222 11 1 MD=MB=DB=a+b 222 例 6. 如图，在ABC 中，AB=a, BC=b，AD 为边 BC 的中线，G 为ABC 的重心，求向 量AG 1 1 解法

9、 1：AB=a, BC=b 则BD= BC=b A 22 a a B b b DC 2 1 AD=AB+BD=a+ b而AG=AD 23 备注 A 2 1 AG=a+ b 33 a a 解法 2：过 G 作 BC 的平行线，交 AB、AC 于 E、F E F G B 2 2 b b D C AEFABCAE=AB=a 33 2 1 2 1 1 2 EF=BC=bEG=EF=bAG=AE+EG=a+b 332333 例 7设e1,e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2, CB=e 1 +3e2, CD=2e 1 e2, 若三点 A, B, D 共线，求 k 的值. 解：BD=CDCB=(

10、2e1e2)(e1+3e2)=e14e2 A, B, D 共线AB,BD共线存在使AB=BD 即 2e1+ke2=(e14e2) （备选题）（备选题） 如图， 已知梯形 ABCD 中， ABCD 且 AB=2CD， M, N 分别是 DC, AB 中点， 设AD=a, AB=b，试以a,b为基底表示DC,BC,MN 2 k=8 k 4 1 1 解：DC= AB=b连 ND 则 DCND 22 1 BC=ND=ADAN=a b 2 D N M O C 11 又DM= DC=b 24 A MB MN=DNDM=CBDM=BCDM 备注 1 1 1 =(a+ b)b=ba 244 课堂练习：课堂练习： P ()练习 1在 ABCD 中，设对角线AC=a，BD=b试用a, b表示AB，BC 2.已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任意一点， 求证：OA+OB+OC+OD=4OE. 课堂小结： 数乘向量的几何意义理解. b 向量b与非零向量a共线的