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文档简介
1、6 常微分方程数值解法,常微分方程 欧拉方法 龙格-库塔方法,引子,人口模型(看书上) 人口理论 一阶常微分方程的初值问题 数值解:离散点上的近似值,一阶线性常微分方程初值问题,数值方法的基本思想,连续 离散,一阶线性常微分方程初值问题,6.1 欧拉方法与Runge-Kutta法 一、欧拉(Euler)方法,xn=x0+nh,h为步长,一. 欧拉方法,差分和差商,用差商代替导数,将微分方程离散化,得到递推公式,1. 差分方法,几何意义:用折线近似曲线y=y(x), 欧拉法又称为折线法,已知初值y0,依据递推公式 逐步算出y1,y2, , yn,yn+1 , 递推公式又称为差分格式或差分方程,它
2、与常微方程的误差称为截断误差,2. 数值积分方法(也可导出欧拉公式),(1)显式差分格式,(单步)显式格式,左矩形公式,(2)隐式差分格式,由右矩形公式,还有一种隐式:积分用梯形公式,也是隐式,思索,显式的欧拉公式,好用,粗糙 隐式的梯形公式,通常具有较好的数值稳定性,每次计算得求解方程 组合之? 组合:预报-校正,预测-校正公式,也叫预报-校正公式 改进的欧拉公式,例6.1 欧拉公式求解,f(0,0)的处理(也可以理解为一种近似) 表6-1 图6-1 本身有解析解,可与数值解比较,二、欧拉方法的局部截断误差与精度,前提:一个假设(重要!即所谓的局部),一阶精度,看书上,泰勒公式:,关于精度:,常微分方程数值方法理论中 同阶无穷小 精度 :p阶,类似地,梯形公式/改进的欧拉公式-局部截断误差,有二阶精度,参考第5章5.1节P66页,三、几种差分格式的数值稳定性比较例6.2,三种方法的比较 注意:取最大误差(有多个点,有多个误差) 有精确解,一起比较 看教材,例 用欧拉法求初值问题,补例子:欧拉(Euler)方法,当h = 0.02时在区间0, 0.10上的数值解,欧拉(Euler)方法,再补例子:,例,在区间0, 1.5上,取h = 0.1。,(1)用欧拉法计算公式如下:,(2)用改进
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