结构力学课件6.ppt

1、第 六 章,位 移 法,Displacement method,6-1、位移法的基本概念,一、位移法的提出 从理论上讲，用力法可以分析各种（所有）超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。 上世纪初，在力法的基础上提出了位移法，位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架）。,基本设想：几何不变体系在一定外因（荷载、支移、温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。,FP,FP,C,C,D,D,确定的内力 确定的位移,对应,位移法：先确定结构的某些结点位移，再据此确定其内力。基本未知量为结点位移。,

2、二、基本思路,EI=常数,=,+,B,MB=0 MBA+M BC =0,分析上图所示刚架,刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。 其中，固端C，无任何位移；铰支端A，无线位移，只有铰位移；结点B，为刚结点，联结B结点的两杆杆端有相同的转角B，忽略轴向变形，认为无线位移。 讨论：如何确定每根杆件的内力？ AB杆：可视为一端铰支，一端刚结的梁，在B端发生杆端转角B 杆端弯矩： MBA=3EIB /l (a) （杆端弯矩对杆端顺时针为正）,BC杆：可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向荷载FP ，同时在B 端发生转B。 其杆端弯矩可由两部分叠加而成： M BC= -FPl /8+4EIB /l (b)

3、同理： MCB = +FPl/8+2EIB /l 由（a）、（b）式可见，如B已知，则： MBA、 M BC 、MCB即可知，整个刚架的弯矩图即可画出。 因此，以B为基本未知量，并设法求出，则各杆内力均可定出。,由平衡条件： 刚结点B处，杆端弯矩应满足平衡条件 MB=0 MBA+M BC =0 3EIB /l FPl /8+4EIB /l =0 (c) 7EIB /l FPl /8 =0 B=FPl2/56EI 将B代入(a) (b)式,则: MBA= 3EI/l FPl2/56EI = +3FPl/56 M BC=-FPl/8+4EI/l FPl2/56EI = - 3FPl/56 MCB=

4、+FPl/8+2EI/L FPl2/56EI = +9FPl/56,弯矩图如下图所示:,3FPl/56,9FPl/56,FP l /4,MBA= +3FPl/56,MBC= - 3FPl/56,MCB= +9FPl/56,由简例可见位移法的基本思路:,(1)、根据结构的几何条件(包括变形连续条件和边界支承条件)确定某些结点位移作为基本未知量。 (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内力与杆端位移之间的关系。 (3)、根据平衡条件求解结点位移。 (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。,整体结构,（变形协调）,拆,搭,(还原),原结构,若干根杆件,（平衡条件）,三、需解决的问题,1

5、、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种位移作用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因（包括荷载等因素）作用下的杆端力。 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本未知量。 3、位移法方程的建立及其求解。, 6-2 等截面直杆的刚度方程,在各类结构中，常可发现如下几种类型的单跨杆。 因为是从结构中取出来的，杆件两端并不一定是真正的固定端、铰支端、滑动端、，各杆端都可能有线位移和角位移。,本教材采用a)图模型代替上图所述各单跨杆件，有普遍性。 梁的两端均为从结构(梁、刚架）中截出的。b)图与a)图相互可替代。（参考分段叠加法）,EI,A,B,MAB,FQAB,MBA,FQBA,一、由杆端位移引起的杆端力 1 、杆

6、端力和杆端位移的正负号规定,（1）、杆端转角A 、 B ，弦转角 = /l均以顺时针方向转动为正。 （2）、杆端弯矩MAB 、 MBA规定对杆端以顺时针方向为正。（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。 （3）、杆端剪力FQAB 、 FQBA的正方向规定同前。,FP,D,BE= / l BE,CD= / l CD,注意：杆端弯矩的正负号规则与通常关于弯矩的正负号规则不同。,（1）、此处规则是针对杆端弯矩，而不是针对杆中任一截面的弯矩。,（ 2 ） 、当取杆件（或取结点）为隔离体时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立隔离体平衡方程时，力矩一律以顺时针（或逆时针）转向为正。,杆端弯矩有双重身份：既是杆件

7、的内力又是隔离体外力。,因此，这里的规则是把杆端弯矩视为外力，为了便于建立平衡方程而规定的。,l,EI,B,A,A,B,由单位荷载法，得：,其中 i=EI/l 为杆件线刚度。,二、由杆端位移求杆端力,1、杆端转角与杆端弯矩之间的关系,A,B,2、杆端转角与杆端相对线位移之间的关系,3、考虑两种因素,解联立方程，得,（6-5）,由平衡条件：,（6-6）,注： （8-5）（8-6）公式也可由力法导出。上下两图等效。,4、矩阵形式：,（6-7）,其中：,称为弯曲杆件的刚度矩阵,称为弯曲杆件的刚度矩阵,5、不同支座时的刚度方程 （杆件在一端具有不同支座时的刚度方程）,（1）B端为固定支座,A,B,EI

8、,A,MBA,MAB,(6-8),（2）B端为铰支座,（6-9）,（6-10）,（3）B端为定向支座,三、由荷载求固端弯矩,图示两端固定梁承受荷载的情况。 MFAB， MFBA 称为固端弯矩 。 FFQAB ， FFQBA 称为固端剪力。 正负号规定同杆端力。,A,B,MFAB,MFBA,FFQAB,FFQBA,根据荷载的不同，可用力法计算出固端弯矩和固端剪力。,对于下列三种杆件： （1）两端固定（刚结）的梁。 （2）一端固定、另一端简支的梁。 （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。 表8-1给出了几种常见荷载作用下个杆端弯矩和杆端剪力。由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称为载常数。,表中

9、的杆端弯矩，固端剪力的正负号均按位移法正负号规定给出。使用是应注意弯矩的受拉方向。 各类杆件在各种荷载作用下杆端弯矩、固端剪力的计算，均可应用力法算出，在此不再讨论，可自学。 由于实际结构中，各杆方向有所不同，不会与表中情况完全一样，在使用中应具体情况，具体分析。,四、等截面单跨超静定梁的转角位移方程,（1）、两端固定梁 等截面两端固定梁同时承受已知的杆端位移和荷载的作用，杆端弯矩的一般公式为：,(6-12),(6-13),杆端剪力的一般公式为：,(2)、一端刚结，一端铰结,(3)、一端刚结，一端滑动, 6-3、 6-4 刚架的计算,一、位移法基本未知量的确定 上一节讨论了杆端位移与杆端力之间

10、的关系。可以认为：如果结构上每根杆件的两端的角位移和相对线位移成为已知，则由此可以得到整个结构的所有内力。 各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即为结点位移。由此可知，位移法的基本未知量是刚结点的角位移和结点线位移。,1、变形假定（传统）,（1）、受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形的影响。 （2）、受弯直杆弯曲变形是微小的（小变形）。 、假定弯曲后，杆端间距不变； 、圆弧可用垂直于半径的一小段直线代替。,弯曲变形是微小的。,FP,1,FP,1,2,2、位移法的基本未知量,（1）、刚结点转角位移。每个刚结点有一个独立的角位移未知量。 （2）、独立的结点线位移。,在传统的位移法中，由于考虑了杆件的变形假

11、定，结点独立线位移的确定有一定的难度。,、一般刚架（简单），可直接观察判断。,判断方法：,n=n+n=2+1=3,、附加链杆法，由两个已知不动点出发（无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆的相交点也不动。 控制所有结点成为不动点，所需添加的最少链杆数,则为独立线位移的个数。,n=n+n=2+1=3,、几何法，把刚结点（包括固定端支座）变成铰结点，则此铰结体系的自由度数目即为原结构独立结点线位移的个数。（将此机构变为几何不变体系，所需加上的最少链杆数，即为独立线位移的个数。),因为不考虑各杆长度的改变，所以结点独立线位移的个数，可以用几何构造分析方法得出。,n=n+n= 4+2=6,举例： （

12、1）、等高刚架。,位移法： n=n+n=6+2=8。,位移法： n=n+n=7+3=10 。,力法： n=34=12 。,力法： n=34=12 。,（2）、刚架有组合结点,位移法： n=n+n=4+2=6,力法： n=3+2=5 。,组合结点,（3）、刚架有刚性杆,(EI1=) n=n+n=0+1=1 (EI1) n=n+n=2+1=3,n=n+n=0+1=1,(EA=),n=n+n=0+2=2,(EA),（4）、有斜杆的刚架,n=n+n=2+1=3 n=3+2=5 (0) n=2+1=3 (=0) （分析计算较麻烦）,（5）、考虑受弯直杆的轴向变形， 考虑受弯曲杆的变形情况,各杆 EI=c

13、 ， EA=c n=n+n=2+4=6,各杆EI=c n=n+n=2+2=4,（6）、,n= n+n =2+1=3 注意13，32杆,（7）、刚架有内力静定的杆件,n= n+n =2+1=3,n= n+n =2+0=2,（8）、用位移法计算桁架结构,n= n+n =0+5=5,二、刚架的计算 （举例说明）,1、无侧移刚架,1,2,3,FP,EI1,a,a/2,a/2,EI2=2EI1,原结构,1,1,（1）、图示刚架有一个基本未知量1。,（2）、利用杆端弯矩的一般公式（8-12）等，写出各杆端弯矩的表达式。,杆13： M13=4i1313+2i1331 - 6i1313 /l+MF13,注意：

14、 13 = 1 ， 31=0， 13=0，MF13=0,M13=4i1,同理：M31=2i 1,令：EI1/a=i,杆12：M12=3i1212 - 3i1212 /l+MF12,M21=0,注意： 12 = 1 ， 12=0,MF12= - 3FP a /16,M12=32i1 3FP a / 16,1,M13,M12,由结点1的力矩平衡条件M1=0 ：,M13+M12=0,1 = 3FP a /160i,10 i1 3FP a / 16 =0,解出：,求各杆的杆端弯矩。作最后弯矩图。,M13=4i（3FP a2 /160i）=3FP a /40,M31=2i（3FP a2 /160i）=3

15、FP a /80,M12=6i（3FP a2 /160i）- 3FP a /16= - 3FP a /40,FP,M 图,2,3,1,17FP a /80,3FP a /80,3FP a /40,2、有侧移刚架,FP,B,C,A,D,l,l/2,l/2,EI=常数,B,B,举例说明。,（1）、图示刚架有两个基本未知量。,（2）、利用公式（8-8）或（8-9），并叠加固端弯矩后，可写出各杆端弯矩的表达式。,MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8,令：EI/l=i,MAB=2i B 6i /l FP l/8,MBC = 3i B,MDC= 3i /l,由结点B的力矩平衡条件 MB=0 ：

16、,MBA+MBC=0,B,MBA,MBC,MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8,MAB=2i B 6i /l FP l/8,MBC = 3i B,MDC= 3i /l,7i B 6 i/l +FP l/8=0 （a）,与横梁水平位移相对应，截取两柱顶以上部分为隔离体的投影平衡条件Fx=0,FQBA+FQCD=0,B,C,FQBA,FQCD,-6i/l B +15i/l2 - FP /2=0 (b),（3）解如下联立方程：,7i B - 6i/l +FP l/8=0,-6i/l B +15i/l2 - FP /2=0,解得：,（4）、将B 、代入各杆杆端转角位移方程，即得出各杆端弯矩

17、。,FP,MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8= 27/552 FP l,MAB=2i B 6i /l FP l/8 = -183/552 FP l,MBC = 3i B =27/552 FP l,MDC= 3i /l= 66/552 FP l,小结：,从计算过程可见，位移法的基本方程都是平衡方程。 对应每一个转角未知量，有一个相应的结点力矩平衡方程。 对应每一个独立的结点线位移未知量，有一个相应截面上的力的平衡方程。 直接平衡法先拆后搭，根据结点或截面平衡列基本方程。,6-5、位移法的基本体系,为了分析计算的需要，引用两种附加约束装置： 附加刚臂：只阻止结点转动，不能阻止结点移动

18、。 附加链杆：只阻止结点沿某一方向的移动，不能阻止结点转动。,本节介绍通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的方法。,如图：,F,P,基本结构,1,、位移法基本体系,结点,B,被完全固定。,杆,AB,两端固定（,刚结）的单跨梁；,杆,BC,一端固定,（刚结）一端铰支的单,跨梁。,实际为单跨超静定,杆的组合体。,基本体系与原结构的区别在于：增加了人为约束，把基本未知量由被动的位移变成为受人工控制的主动的位移。,基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算又比较简单。,整体结构,（变形协调）,锁住,放松,(还原),原结构,若干根单跨杆件的组合体,（平衡条件）,利

19、用基本体系建立位移法基本方程。,分两步考虑：,第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零，这时，刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷载后，可求出基本体系中的内力，同时，在附加约束上会产生约束力矩。,第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结点位移，这时，附加约束中的约束力将随之改变。如果控制结点，使与原结构的实际值正好相等，则约束力即完全消失。这是基本体系形式上虽然还有附加约束，但实际上它们已经不起作用，基本体系实际上处于放松状态，与原结构完全相同。,基本体系转化为原结构的条件是： 基本结构在给定荷载以及结点位移的共同作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等于零。,以两个基本未知量的结构为例。 基

20、本体系转化为原结构的条件： 基本体系在给定荷载和结点位移 1， 2共同作用下，在附加约束中产生的总约束反力F1，F2应等于零。 即： F1 =0 F2 =0,FP,B,C,A,D,l,l/2,l/2,EI=常数,B,C,A,D,1,1,2,基本结构,（6-15）,F1 =0,FP,1,2,基本体系,1,MBA,MBC,F1=0,F2=0,FQBA,FQCD,F2 =0,F11,F21,2,F12,F22,F1P,F2P,F1 =F11+F12+F1P=0,F2=F21+F22+F1P=0,1,1=1,k11,k21,2=1,k11 1+k122+F1P=0,k21 1+k222+F2P=0,位

21、移法典型方程。,计算系数和自由项：,k12,4i,3i,k11 =7i,k21= - 6i/l,3i,4i,2i,-6i/l,0,0,k12 = - 6i/l,k22=15i/l2,-6i/l,12i/l2,3i/l2,6i/l,6i/l,3i/l,k22,1,0,F1P=FP l/8,F2P= -FP /2,FP l/8,FP l/8,FP l/8,- FP /2,0,k11=3i+4i=7i,k21= - 6i/l,k12= - 6i/l,k22=12i/l2+3i/l2=15i/l2,F1P= FP l/8,F2P= - FP /2,由反力互等，有： k12 = k21,将系数和自由项代

22、入位移法典型方程,7i 1 - 6i/l 2 +FP l/8=0,-6i/l 1+15i/l2 2 - FP /2=0,解出：,所设的 1 、 2方向与实际位移方向一致。,求出 1 、 2后，可用叠加法计算刚架最后弯矩图。,FP,183/552 FP l,27/552 FP l,60/552 FP l,66/552 FP l,注意：,（1）、基本体系与原结构变形相同： 荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同的转角 1 ，附加链杆产生与原结构相同的水平线位移 2。 （2）、基本体系与原结构受力相同： 原结构上无附加人为约束，结点力为零。 基本体系上使附加人为约束后令反力为零。,四、位移法典型方程（

23、n个基本未知量）,k11 1+k12 2+ k1n n+F1P=0 k21 1+k22 2+ k2n n+F2P=0 (6-1a) kn1 1+kn2 2+ knn n+FnP=0 可写成矩阵形式： k +FP=0 (6-19),其中， k 称为结构刚度矩阵,讨论：,1、主系数、副系数（反力系数，刚度系数）、自由项 主系数kii（主反力）： i=1时，附加约束i方向的反力（或反力矩）。 恒为正，不为零。,副系数kij（ij）（副反力）： j=1时，附加约束i方向的反力（或反力矩）。 可正，可负，可为零。由反力互等定理 ： kij = kji 自由项FiP ： 荷载单独作用下，附加约束i方向上的

24、反力（或反力矩）。可正，可负，可为零。,2、基本方程是按一定规则写出的，它不依结构的形式不同而异。基本方程中每一个系数都是由结构的结点单位位移引起的附加约束反力。结构的刚度愈大，反力（或反力矩）数值愈大。 因此，基本方程又成为刚度方程；位移法称为刚度法。,1、基本体系法与转角位移方程法（直接利用平衡方程法），本质完全相同，所用方法（途径）不同。 直接平衡法先拆后搭，根据结点或截面平衡列基本方程。 基本体系法先锁后松，根据放松原则建立位移法基本方程。 2、请同学们想一想，力法只能计算超静定结构，不能计算静定结构。而位移法既能计算超静定结构，也可计算静定结构。为什么？,进一步讨论：,提问：,从概念

25、出发，请同学们考虑： 图示结构，选两种基本体系，计算出的内力是否一样？为什么？ 基本体系与横梁单元的刚度系数是否一样？为什么？,FP,FP,FP,提问：,左图所示刚架，用位移法求解时有两个未知量D 、DE。 1、当写各杆的杆端弯矩，杆端剪力表达式时，应注意些什么？ 2、取什么样的隔离体，建立什么样的平衡方程。,杆AD,杆BE的侧移为正;杆CD的侧移为负。,取结点D为隔离体，建立力矩平衡方程。 取杆DE为隔离体，建立截面剪力平衡方程。,6-6 、 对称结构的计算,对称结构在工程中应用很多。 对称结构在正对称荷载作用下，结构的变形和受力均为正对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，结构的变形和受力均

26、为反对称的。 在以上情况下，可取半结构计算。,什么是结构的对称性 （1）、结构的几何形状和支承情况，对某轴（或点）对称。 （2）、杆件的截面和材料性质，对此轴（或点）也对称。,考虑两种荷载情况（1）、对称荷载作用,X1,X2,（2）、反对称荷载,一、奇数跨对称刚架 1、正对称荷载,2、反对称荷载,FP,FP,FP,FP,FP,FP,思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。,二、偶数跨对称刚架 1、正对称荷载,FP,2、反对称荷载,思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。,上图所示结构最终可简化成什么样的半结构，进行

27、计算？,上图所示结构最终可简化成什么样的半结构，进行计算？,FP,FP,2EI,2EI,2EI,EI,EI,例：求图示结构内力,作内力图。EI=常数,解： （1）取半结构如图。基本未知量：A点转角A,(2)、求杆端弯矩：,令EI/a=i,（3）、由结点A的力矩平衡条件 MA=0 ：,MAB+MAD=0,MAD,MAB,D,A,B,C,例:求图示结构内力,作内力图。EA=EI/20,解： （1）取半结构如图。 基本未知量：B点转角B和竖向线位移。 （2） 求固端力： MFBC =-ql2/3=-10102/3 = -333kNm MFCB=-ql2/6=-10102/6 = -167kNm FQ

28、BC=q l=1010 = 100kN,(3)、求杆端力: 杆AB： MAB=2iAB B - 6iAB/l =2EI/20B-6EI/202 MBA=4iAB B - 6iAB/l =4EI/20B-6EI/202 FQBA=-(MAB + MBA)/l =-6EI/202B-12EI/203 杆BC: MBC=EI/10 B 333 MCB=-EI/10 B 167 FQBC= 100kN,杆BD: 杆BD伸长3/5,其轴力为: FNBD=EA/l(3/5 )=(EI/20/25) (3/5)=3EI/(52025),(4)、列位移法方程： MB= MBA+MBC=0 Y=3/5FNBD+

29、 FQBA- FQBC= 0 0.3B 0.015=333/EI -0.015B +0.00222=100/EI (5)、解方程： B =5080/EI ;=79400/EI。,（6）、求杆端力，作内力图。 将求得的未知量代入杆端弯矩，杆端剪力表达式，求出各杆端力。并作内力图。,6-7 支座移动时的计算,一、支座移动时的计算 用位移法计算支座移动时的结构内力时，计算方法与荷载作用下的计算相同，不同的地方是固端弯矩、固端剪力的计算。需要将已知的支座移动转化为固端弯矩和固端剪力。 举例说明。,例：图示刚架支座A发生水平位移a，竖向位b=4a，转角位移=a/l，用位移法求解，作M图。,l,l,a,b,EI,2EI,解： 1、基本未知量，基本体系。,基本体系,Z