第9章 因子分析(王斌会).pptx

1、问题：影响因素很多，采用什么方法寻找有限个不可观测的隐变量解释原始变量间的相关性？而不是原始变量的线性组合（主成份分析方法）,问题提出,第9章 因子分析,9.1 因子分析思想 9.2 因子分析模型 9.3 因子载荷的估计与解释 9.4 因子旋转方法 9.5 因子得分计算 9.6 因子分析步骤 9.7 实际中如何进行因子分析,9.1因子分析思想,基本思想：是一种把多个变量化为少数几个综合变量的多变量分析方法，其目的是用有限个不可观测的隐变量来解释原始变量之间的相关关系。,9.2 因子分析模型,模型思想：将观测变量进行分类，将相关性较高的分在同一类，不同类变量之间相关性较低，每一类变量代表一个基本

2、结构，即公共因子。用最少个数的不可测公共因子的线性函数与特殊因子之和描述原来观测每一分量。,分类,基本结构：,R型因子分析模型结构,其中：X为可观测随机向量(标准化),E(X)=0,cov(X)=, F为不可测向量,E(F)=0,cov(F)=I 独立且与F独立,E()=0,cov()=为对角阵 aij为因子载荷，表示第i个变量在第j个因子上 的相关系数,矩阵形式：,（1）因子载荷统计意义,取值：因子载荷aij 是xi 与Fj 的协方差和相关系数,含义：表示xi依赖Fj的程度，可将aij看作第i个变量在第j个公共因子上的权数，绝对值越大，相依程度越大，即公共因子Fj对于xi的载荷量越大。,标准

3、化：,已知：E(X)=0,cov(X)=，E(F)=0,cov(F)=I 独立且与F独立,E()=0,cov()=为对角阵,（2）因子载荷的分解：变量共同度,含义：表示全部公共因子对变量xi的影响。hi2大表明xi对于每一分量F1，F2，Fm的共同依赖程度大。,aij按行平方和，即共同度hi2为：,Xi标准差：,（3）因子载荷的分解：方差贡献,aij按列平方和，即方差贡献gi2为：,含义：表示公共因子Fj对于x的每一分量xi(i=1,2,p)所提供方差的总和，gi2越大，贡献越大, 对x影响越大。,9.3 因子载荷的估计与解释,1、主因子估计法,其中：为x协方差阵的特征根，1p0; 为组成的对

4、角矩阵 为对应的标准正交化特征向量 因子个数=变量个数，且特殊因子方差为0,（1）X变量协方差阵的（正交矩阵）谱分解,（2）谱分解与因子载荷关系,实际：公共因子数m 小于变量个数p，当最后p-m个特征根较小时，可省略，即：,结论：因子载荷是谱分析部分，也是主成份系数。因子模型是描述原变量X协方差阵结构的一种模型，每个因子的相应系数不唯一，即因子载荷阵不是唯一的。,2、极大似然估计法,假设条件：公共因子F和特殊因子e服从正态分布,结论：当AD-1A=(对角阵)，可以得到唯一A和D估计值，因子载荷A即为所求。极大似然估计法中对F和e正态分布条件较为苛刻，故估计效果较差。,假定条件：变量x1,x2,

5、xm来自正态总体 Np(,)的随机样本,=AA+D,可以不考虑D.,3.实证分析,问题：采用因子分析方法对水泥行业上市公司经营业绩进行因素影响分析。,（1）数据标准化，计算相关系数,X=read.table(clipboard,header=T) Y=scale(X) #标准化 cor(Y) #计算相关系数,结论：自变量间存在相关性，可以采用因子分析方法提取因子,library(mvstats) (Fac=factpc(X,3) #主成份因子分析,结论：3个综合因子累计贡献率为0.92190.8,基本可以全面反映所有和指标信息，但各因子对各变量贡献系数差不多，经济含义不够明晰。,（2）计算特征

6、根，因子载荷和共同度,(FA0=factanal(X,3,rot=none)#极大似然因子分析,结论：3个综合因子累计贡献率为0.8610.8,基本可以全面反映所有和指标信息，但由于要求数据来自多元正态分布，效果不如主成份好。同样，各因子对各变量贡献系数差不多，经济含义不够明晰。,9.4 因子旋转方法,基本目的：在共同度保持不变的条件下，使因子载荷矩阵中因子载荷的绝对值向0和1两个方向分化，大的载荷更大，小的载荷更小。,方法,1、旋转方法,因子载荷矩阵：,因子载荷矩阵与正交阵乘积：,载荷类标准化和方差：,极值原理：,总方差最大：,证明得知：,2.因子旋转,Fa1=factanal(X,3,ro

7、t=“varimax”) #varimax法旋转因子分析,结论：旋转前各综合因子代表的具体经济意义不很明显，而旋转后各因子代表的经济意义则十分明显。因子F1代表企业的盈利能力，反映企业投资收益的情况，因子F2代表了企业的偿债能力。因子F3代表了企业的发展能力，是反映企业持续经营发展能力的指标。,9.5 因子得分计算,基本目的：运用因子分析模型去评价每个样品在整个模型中的地位，即进行综合评价。,方法,因子得分回归模型：,1.回归估计法,因子载荷阵：,标准化处理后：,因子得分：,因子分析模型：,2.Bartlett估计法,转化符合条件等方差随机误差：,该模型是以X为因变量，A为自变量，为随机误差的回归模型，计算系数F即为因子得分,因子得分：,Fac1=factpc(X,3,scores=“regression”) Fac1$scores#主成份因子得分,Fa1=factanal(X,3,scores=regression) Fa1$scores #极大似然因子分析,3.综合得分,以各因子的方差贡献率为权，由各因子的线性组合得到综合评价指标，即：,计