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文档简介

4.3 平面曲线的曲率,问题: 如何定量化的刻画曲线的弯曲程度及其计算,10 曲率的概念,可以看出：,问题在于: S S , 即两弧段不等长,称为曲线在 A 点的曲率,下面考虑如何计算曲率 K,解,由于 =,曲率,设,则,对于曲线上的一点 A ,弧的概念：,至此我们有下对应关系:,设 s 对应于点 A, s + s 对应于B ,即曲率,由于,下面考虑计算弧微分ds,设 t A (x , y) , t+t B (x+x , y+ y) ,则,可以证明:,所以,所以有,式 (2) 称为弧微分公式 (参数方程情形),说明:,(a) 式 (1) 可表为:,(b) 若曲线, 则有,( 极坐标情形的弧微分公式 ),( 直角坐标情形的弧微分公式 ),将曲线表为参数方程:,此时,解,所以曲率,下面考虑曲率半径的计算:,（直角坐标情形）,定义,曲线 y = f (x) 在原点处的曲率半径为,由于 y =f (x) 在原点与 x 轴相切 f (0) = 0,证明,为了求出 f (0) 的表达式 , 我们利用泰勒公式,(介于0与x之间),又由于在原点相切 , 所以 f (0) = f (0) = 0,

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