材料力学5-2.ppt

1、 5 -2 纯弯曲时的正应力,在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时 ， 要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。,取图 5-1 b 所示纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩，其值等于外力偶 m。梁在加力前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn ,并在两横向线间靠近顶面和底面处分别划将条纵向线 aa 和 bb （图5-1 a ）,(a),(b),m,m,(a),(b),m,m,1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线；,根据观察，梁变形后：,横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且 与弯曲后的 aa ，bb垂直；,3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而

2、靠近顶面的纵线 aa 缩短；,两点假设：,（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。,（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层 。,中间层与横截面的交线 中性轴,梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。,用两个横截面从梁中假想地截取长为 dx 的一段（图5-1 b）,由平

3、面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d,中性轴与横截面的对称轴成正交 。,将梁的轴线取为 x 轴，横截面的对称轴取为 y 轴，中性轴取为 z 轴。,(d),在横截面上取距中性轴为 y 处 的纵向线 AB。, 为 A 点的纵向线应变。,中性层的曲率为,因为是个非负的量于是,该式说明 ， 和 y 成正比 ,，而与z 无关 。因而， 与这些纵向线段沿变 z 轴的位置无关 。,(a),该式说明 ， 和 y 成正比 , 而与 z 无关 。因而， 与这些纵向线变段沿 z 轴的位置无关 。,物理方面,由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系,假设：, =E,上式说明，横截面上任一点处的

4、正应力与该点到中性轴的距离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力均相等 。这一变化规律可用下图表示。,上式为横截面上正应力变化规律的表达式,在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。,因此，只可能组成三个内力分量,(e),(f),通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中的 FN 和 My均等于零， 而Mz就是横截面上的弯矩M。,(d),O,(g),(h),(I),这就确定了中性轴的位置。即过形心与 y 轴垂直。,因为 y 是对称轴，所以,该式自动满足,中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。,拉,压,拉,压,EIz称为抗弯刚度,（5-2）,该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。,式中 ：,(b),（,各纵向线段间互不计压的假设 ；,材料在线弹性范围内工作 ；,材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。,称为抗弯截面模量,梁横截面上最大正应力的计算公式为,矩形截面梁横截面上正应力分布图如左图所示,矩形截面的抗弯截面系数