八年级数学上册 勾股定理学案(新版)北师大版

1、勾股定理一、引入：除地球人外，别的星球上有没有生命呢？自古以来，人类不断发出提出这样的疑问。特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么交流呢？我国著名的数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发出一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果是外星人是“文明人”，也必定认识这种图形。那么，到底是一种什么样的图形有这样大的魅力？今天我们就一起来探索。二、新知：1. 活动（每一小方格表示1平方厘米)（1）图2可以把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。（2）图3可以把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。P的面积(单位长度)Q的

2、面积(单位长度)R的面积(单位长度)图2图3P、Q、R面积关系直角三角形ABC三边关系2.勾股定理直角三角形两直角边的平方的和等于斜边的平方.BbcCAa对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2 几何语言：在ABC中，a2+b2=c2 C=90（已知）（勾股定理）两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于

3、四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。 3.证明勾股定理：勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。证法一 课本证法 以AB为直角边，以C为斜边，作4个全等的直角三角形，把这四个直角三角形拼成下图所示的形状，使得A、E、B三点共线，B、F、C三点共线。C、G、D三点共线。试说明（1）四边形HEFG为正方形（2）证法二 邹元治证法 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜

4、边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。证法三 总统证法 用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法。ABCDE二、典型例题类型一：勾股定理的直接用法 图1BbcCAa 例1 如图1，直角的主要性质是：（用几何语言表示）1 锐角之间的关系： ；2 若，则的对边和斜边的数量关系： ；3 边之间的关系： 变式 在，1），若，则 2），若，则 3），若，则 4），若，则 5），若，则 6）若，则 例2 如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出A=40B50，AB5公里，BC4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？变式1. 如图

5、，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于_.2. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是_.3. 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.ABCD7cm4、若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 类型二：勾股定理的构造应用 CABD例1 如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9。(1)求DC的长。(2)求AB的长。变式1 已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE

6、，则DE=变式2 已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 三 常用方法：（一） 转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决10402040出发点70终止点例2 如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.变式1 如图，已知：，于P. 求证：. 变式2 如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段

7、EF的长。 （二）方程的思想方法ADEBC例3 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？变式 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离例4 如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 变式1把一根长为10的铁丝弯成一个直

8、角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是92，那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好2如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）A3B4 C D5 ECDBA3、如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？4.个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？EDBCA中考链接：1（2014十堰）如图，在四边形ABCD中，ADBC，DEB

9、C，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，ACD=2ACB若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ） A B C D 2（2014德阳）如图，在RtABC中，ACB=90，点D是AB的中点，且CD=，如果RtABC的面积为1，则它的周长为（）AB+1C+2D+33.（2013湘西州）如图，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3（1）求DE的长；（2）求ADB的面积 4（2013沈阳）如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长培

10、优：1在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4_2如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1=；再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP2012=3如图，四边形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60，BCD=30，BC=6，那么ACD的面积是（） A. B. C.2 D.课后作业：1、如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A48

11、 B60 C76 D802、如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A6 B8 C10 D123、已知：如图在ABC，ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE以下四个结论：BD=CE；BDCE；ACE+DBC=45；BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是_ 4、一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为_5勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪